3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，通过问题导思类比椭圆、双曲线的研究方法，引导学生自主探究范围、对称性、顶点等性质，构建前后知识联系的学习支架。 其亮点是问题驱动的探究式教学，结合数学抽象（自主总结性质）、直观想象（图形分析例题）和数学运算（轨迹方程求解），如正三角形内接抛物线问题培养综合应用能力。规律方法小结提炼思路，随堂与分层评价助力巩固，学生提升探究能力，教师获得系统教学资源与评价支持。

第1课时　抛物线的简单几何性质 　 第三章 3.3.2　抛物线的简单几何性质 学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养. 2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、 数学运算的核心素养. 任务一　抛物线的简单几何性质 1 任务二　抛物线几何性质的应用 2 任务三　抛物线的轨迹方程 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　抛物线的简单几何性质 返回 问题导思 (阅读教材P134，完成探究问题1、2) 问题1.类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点及离心率等. 问题2.试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点.如何研究这些性质？ 提示：(1)范围：抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右， 这条抛物线上的任意一点M(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当 x的值增大时，｜y｜的值也增大，这说明抛物线向右上方和右 下方无限延伸.抛物线是无界曲线.(如图) (2)对称性：观察曲线，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴. (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0). 新知构建 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 _______ _________ _______ ________ 准线方程 _______ _____ _______ _____ 对称轴 _____ _____ 顶点 ________ 离心率 e＝_____ (，0) (－，0) (0，) (0，－) x＝－ x＝ y＝－ y＝ x轴 y轴 (0，0) 1 微提醒 (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直.(3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小. (链教材P134例3)已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程、焦点坐标、对称轴及离心率. 解：当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2＝mx(m≠0). 将点M(1，－2)代入，得m＝4. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝4x. 当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0). 将点M(1，－2)代入，得n＝－. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y， 故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 准线方程分别为x＝－1或y＝；焦点坐标分别为(1，0)或；对称轴分别为x轴或y轴；离心率e都为1. 典例 1 规律方法 把握确定抛物线的简单几何性质三个要点 1.开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. 2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. 3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 对点练1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及准线方程. 解：椭圆的方程可化为 ＋ ＝1，其短轴在x轴上， 所以抛物线的对称轴为x轴， 所以设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0). 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即 ＝3，所以p＝6. 所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3. 返回 任务二　抛物线几何性质的应用 返回 (1)已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长； 解：如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝2px1，＝2px2. 又｜OA｜＝｜OB｜， 所以＋＝＋， 即－＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0， 典例 2 所以x1＝x2，由此可得｜y1｜＝｜y2｜， 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与＝2px1联立，解得y1＝2p. 所以｜AB｜＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. (2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解：如图所示，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0). 因为F是△AOB的垂心， 所以AF⊥OB，所以kAF·kOB＝－1， 即·＝－1，所以＝x0， 又因为＝2px0，所以x0＝2p＋＝. 所以直线AB的方程为x＝. 规律方法 利用抛物线的几何性质可以解决的问题 1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题. 2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. 3.范围：解决与抛物线有关的最值问题. 对点练2.(1)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝ax(a＜0)在第二象限内有一点A，且｜AF｜＝4，设点M为抛物线C准线l上的动点.若△MAF为正三角形，则抛物线C的标准方程为__________. y2＝－4x 如图所示，因为△MAF为正三角形，所以｜AF｜＝｜AM｜ ＝4.又因为抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的 距离，所以AM与准线l垂直，∠MFO＝. 因此有cos∠MFO＝＝＝，所以a＝－4，故抛物线C的标准方程为y2＝－4x. (2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是______. 4 由抛物线方程可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.如 图所示.设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H.在Rt△AFH中， ｜FH｜＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°.故 y0＝｜AH｜＝｜FH｜＝(x0－1)，所以点A的坐标 为(x0，(x0－1)).将此代入抛物线方程可得3－10x0＋3＝0，解得x0＝3或x0＝(舍)，所以点A的坐标为(3，2)，故S△AKF＝｜AK｜·｜y0｜＝×(3＋1)×2＝4. 返回 任务三　抛物线的轨迹方程 返回 若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是 A.y2＝－16x B.y2＝－32x C.y2＝16x D.y2＝32x 典例 3 √ 由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等.所以点P的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，所以p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C. 规律方法 解决轨迹为抛物线问题的方法 　　抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 对点练3.已知F(0，2)，点A与点B的横坐标相等，点B在直线y＝－2上，且·＝·. (1)求点A的轨迹方程； 解：设A(x，y)，则B(x，－2)，而F(0，2)， 则＝(0，y＋2)，＝(－x，4)，＝(x，y－2)，＝(x，－4)， 由·＝·，得4(y＋2)＝x2－4(y－2)，整理得x2＝8y， 所以点A的轨迹方程是x2＝8y. (2)若M(0，8)，求的最小值. 解：点M(0，8)，由(1)知，｜AM｜＝＝＝， 所以当y＝4时，取得最小值4. 返回 课堂小结 任务再现 1.抛物线的简单几何性质.2.抛物线几何性质的应用.3.抛物线的轨迹方程 方法提炼 待定系数法、数形结合法、定义法 易错警示 求抛物线方程时忽略焦点位置 随堂评价 返回 √ 1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 由抛物线y＝4x2，得抛物线标准方程为x2＝y，2p＝，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.故选B. 双曲线的方程可化为－＝1，所以双曲线的左焦点为(－，0).又因为抛物线的准线为x＝－，由题意得－＝－，解得p＝4. 故选C. √ 2.若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为 A.2 B.3 C.4 D.4 由x2＋y2－4x－5＝0，得(x－2)2＋y2＝9，所以圆心为(2，0)，半径为3.y2＝mx(m＞0)的准线方程为x＝－，由题意可得2－(－)＝3，解得m＝4.故选A. 3.若抛物线y2＝mx(m＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则m的值为 A.4 B.－4 C.2 D.－2 √ 返回 设抛物线y2＝x的焦点为F，则F(，0).由题意知，｜PF｜＝ ｜PO｜，所以xP＝，则＝，yP＝± .如图所示，所以点 P坐标可以为(，)，(，－).故选BD. 4.(多选)若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标可以为 A.(，－) B.(，) C.(，) D.(，－) √ √ 课时分层评价 返回 抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－.因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以｜1－(－)｜＝2，解得a＝，或a＝－.故选AB. √ 1.(多选)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为 A. B.－ C. D.－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 A. B. C. D. 由题意知，设线段AB所在的直线方程为x＝a，则y2＝2a，即y＝.所以2＝2，解得a＝1.所以线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为(，0)，则焦点到直线AB的距离为1－＝. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为 A.4 B.5 C.6 D.7 由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，所以点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，所以点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3).由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，所以p＝或p＝.所以y2＝9x，或x2＝－y.故选D. √ 4.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是 A.y＝3x2或y＝－3x2 B.y＝3x2 C.y2＝－9x或y＝3x2 D.y2＝9x或y＝－3x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是 A.0 B.2 C.3 D.4 因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0.因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当x＝0时，z最小，最小值为3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝ A.2 B.2 C.3 D.3 如图所示，由题意可知F(1，0).设A(，y0)，则由抛物线 的定义可知｜AF｜＝＋1，因为｜BF｜＝3－1＝2，所 以由｜AF｜＝｜BF｜，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所 以A(1，2)或A(1，－2).不妨取A(1，2)，则｜AB｜＝＝＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点A(－2，3)在抛物线C的准线上，所以＝2，所以p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 7.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为_____. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且抛物线C与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点为A，若AF⊥x轴，则p＝_____. 由题设F(，0)，且A在第一象限，AF⊥x轴，则A(，p).又A在椭圆上，故＋p2＝1⇒p2＝.而p＞0，故p＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则｜FN｜＝___. 如图所示，过点M作MM'⊥y轴，垂足为M'，｜OF｜ ＝2.因为M为FN的中点，则｜MM'｜＝1，所以M到 准线的距离d＝｜MM'｜＋＝1＋2＝3，所以｜MF｜ ＝3，所以｜FN｜＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 解：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，｜OA｜＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 解：如图所示，由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 则｜OF｜＝｜OM｜. 因为F(2，0)， 所以｜OM｜＝｜OF｜＝3，所以M(3，0). 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 所以m＝2或m＝－2， 所以A(3，2)，B(3，－2)， 所以｜OA｜＝｜OB｜＝， 所以△OAB的周长为2＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝4｜OF｜，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为 A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝x 设M(x1，y1)，则由｜MF｜＝4｜OF｜得x1＋＝4×，即x1＝p，则＝3p2，则｜y1｜＝p.则＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(新定义)(多选)已知点M(1，0)，直线l：x＝－2，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是 A.点P的轨迹是一条线段 B.点P的轨迹与直线l'：x＝－1没有交点 C.y＝2x＋6不是“最远距离直线” D.y＝x＋1是“最远距离直线” √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，等价于点P到点M的距离等于到直线l'：x＝－1的距离，故点P的轨迹是以M(1，0)为焦点，直线l'：x＝－1为准线的抛物线，其方程是y2＝4x，故A错误；点P的轨迹方程是y2＝4x，它与直线l'没有交点，故B正确；要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线y2＝4x有交点，把y＝2x＋6代入y2＝4x，消去y并整理得x2＋5x＋9＝0，因为Δ＝52－4×1×9＝－11＜0，所以此方程无解，所以y＝2x＋6不是“最远距离直线”，故C正确；把y＝x＋1代入y2＝4x，消去y并整理得x2－12x＋4＝0，因为Δ＝(－12)2－4×1×4＝128＞0，所以此方程有解，所以y＝x＋1是“最远距离直线”，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设抛物线y2＝2px上的三个点A(，y1)，B(1，y2)，C(，y3)到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为____. 3 根据抛物线的几何性质可得d1＝＋，d2＝＋1，d3＝＋.由题意可得p＞0，因此可判断d3最大，故d3＝＋＝3，解得p＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程. 解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)， 则其准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为｜AF｜＋｜BF｜＝8， 所以(x1＋)＋(x2＋)＝8，即x1＋x2＝8－p. 因为Q(6，0)在线段AB的中垂线上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以｜QA｜＝｜QB｜， 即＝， 又＝2px1，＝2px2， 所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. 因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线方程为y2＝8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1，2)，B(－1，2)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为 A.2＋ B.1＋ C.3 D.4 √ 如图所示，设抛物线y2＝2x的焦点为F，则四边形 ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜ ＋(2｜MF｜－1)＝1＋2(｜AM｜＋｜MF｜)≥1＋2｜AF｜ ＝1＋，当且仅当A，M，F三点共线时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，满足＋＋ ＝0. (1)求＋＋的值； 解：设A，B，C，F， 所以＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，＝(x3－，y3). 因为＋＋＝0， 所以(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，y1＋y2＋y3＝0， 即x1＋x2＋x3＝. 由抛物线定义知，｜FA｜＝x1－＝x1＋， ｜FB｜＝x2－＝x2＋，｜FC｜＝x3－＝x3＋， 所以＋＋＝x1＋x2＋x3＋＝＋＝3p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为kAB，kBC，kAC，若实数λ满足：＋＝λ·，求λ的值. 解：由(1)知，y1＋y2＋y3＝0. 因为kAB＝＝＝， 同理kAC＝，kBC＝， 所以＋＝＋＝λ·＝λ·，即2y2＋(y1＋y3)＝λ(y1＋y3)， 所以2y2－y2＝－λy2，解得λ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第1课时　抛物线的简单几何性质 返回 $