3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质、标准方程求解及渐近线与离心率问题，通过类比椭圆性质的问题导思构建学习支架，引导学生从范围、对称性等方面逐步探究，形成前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光类比探究性质，通过典例变式（如一题多解求标准方程）和规律总结（如离心率求法）培养数学思维，结合单叶双曲面建筑等新情境题渗透数学语言应用。学生能提升推理与应用能力，教师可借助分层评价高效开展教学。

第1课时　双曲线的简单几何性质 　 第三章 3.2.2 　双曲线的简单几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简 单的几何性质，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.能利用双曲线的简单几何性质求标准方程，提升数学运算 的核心素养. 任务一　双曲线的简单几何性质 1 任务二　由双曲线的几何性质求标准方程 2 任务三　双曲线的渐近线与离心率问题 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　双曲线的简单几何性质 返回 问题导思 (阅读教材P121－124，完成探究问题1、2) 问题1.类比对椭圆几何性质的研究，如图，分析一下 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的范围、对称性、顶点、 离心率等. 提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a，或x≤－a，y∈R. (2)对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心. (3)顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个. (4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越 狭窄. 问题2.如图，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据 此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么 关系？ 提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·. 它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方.它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近.其他象限同理. 新知构建 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 ________________，y∈R ________________，x∈R 对称性 对称轴：________　对称中心：______ 顶点 _____________，___________ ____________，__________ x≥a，或x≤－a y≥a，或y≤－a 坐标轴 原点 A1(－a，0) A2(a，0) A1(0，－a) A2(0，a) 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，实轴长＝____； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，虚轴长＝____ 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 ｜F1F2｜＝2c 渐近线 y＝_____ y＝_____ 离心率 e＝，e∈___________ 2a 2b ±x ±x (1，＋∞) 若双曲线方程已知，则其渐近线方程就能确定；反过来，若双曲线的渐近线方程已知，其对应的双曲线方程是确定的，对吗？ 提示：不对，若双曲线方程已知，则其渐近线方程就能确定，但若双曲线的渐近线方程已知，其对应的双曲线方程是不确定的，其实双曲线－＝λ(λ≠0)的渐近线都是－＝0. 微思考 2.等轴双曲线 实轴和虚轴______的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是__________. 等长 y＝±x (链教材P124例3)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 典例 1 变式探究　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝ ， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 规律方法 确定双曲线几何性质的基本步骤 由题意知2a＝3×2b＝6b⇒a＝3b，而b＝1，故a＝3，则m＝a2＝9，所以双曲线的方程为 －y2＝1，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为 ，故A、B正确，C、D错误.故选AB. √ 对点练1.(1)(多选)已知双曲线C： －y2＝1的焦点在x轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是 A.双曲线C的实轴长为6 B.双曲线C的虚轴长为2 C.双曲线C的焦距为2 D.双曲线C的离心率为 √ 由双曲线方程 － ＝1，得a＝ ，b＝ ，所以c＝ ＝ ＝3，所以右焦点的坐标为(3，0)，渐近线方程为y＝± x，即y＝± x. 返回 (2)(双空题)已知双曲线C： － ＝1，则C的右焦点的坐标为________； C的渐近线方程是______________. (3，0) y＝± x 任务二　由双曲线的几何性质求标准方程 返回 求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； 解：设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0).因为e＝， 所以e2＝＝＝1＋＝，所以＝. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 典例 2 由题意得 (2)(一题多解)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 解：法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.① 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 变式探究　(变条件)本例(2)“渐近线方程为y＝±x”改为“与双曲线－＝1有相同渐近线”，其余条件不变. 解：因为与双曲线－＝1有相同渐近线， 所以设所求双曲线的方程为－＝1()， 将(－＝1⇒λ＝－2， 所以所求双曲线的方程为－＝1. 规律方法 利用双曲线的性质求标准方程的思路 1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. 2.设双曲线方程的技巧 (1)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0， －b2＜λ＜a2). (2)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0). (3)渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； 解：设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知2b＝8，e＝＝， 从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等. 解：当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为－＝λ(λ＞0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝， 故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为－＝λ(λ＞0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 返回 任务三　双曲线的渐近线与离心率问题 返回 角度1　求双曲线离心率的值或取值范围 (1)已知F是双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的焦点，B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线交于点M，且点M恰是线段BF的中点，则双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 典例 3 √ 不妨设F(－c，0)，B(0，b)，则M(－ ，).将点M坐标代入双曲线方程 － ＝1，得 － ＝1，则 ＝5，即 ＝ .故选D. (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜＝c，则双曲线的离心率e的取值范围是__________. 因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a＞0，解得1＜.因此双曲线的离心率e的取值范围是. 规律方法 求双曲线的离心率的方法 1.直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解；若已知a，b，可直接利用e＝ 得解. 2.解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 对点练3.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，满足△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的离心率为 A. B. C.2 D. √ 不妨取点M在第一象限，如图所示.设双曲线的方程为－＝ 1(a＞0，b＞0)，因为△ABM是顶角为120°的等腰三角形，所 以｜BM｜＝｜AB｜＝2a，∠MBx＝60°，所以点M的坐标为(2a， a).又因为点M在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，所以将点M坐标代入方程得4－＝1，整理上式得a2＝b2.而c2＝a2＋b2＝2a2，所以e2＝2，因此e＝.故选A. 角度2　双曲线的渐近线与离心率的综合 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近经过点(－1，－)，则该双曲线的离心率为 A. B.2 C. D.4 典例 4 √ 易知双曲线的渐近线y＝x经过点(－1，－)，将(－1，－)代入渐近线方程得＝，所以e＝＝＝2.故选B. 对点练4.已知双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且｜OP｜＝｜OF1｜，直线PF1的斜率为 ，则该双曲线的离心率为___. 2 由双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)，可得渐近线方程为y＝± x.设点P的坐标为(x0， x0)，且x0＞0，因为｜OP｜＝｜OF1｜，即＋＝c2，解得＝a2，即x0＝a，所以点P的坐标为(a，b).又因为直线PF1的斜率为 ，所以 ＝ ，可得 b＝a＋c，两边平方得3b2＝a2＋c2＋2ac，即c2－ac－2a2＝0，两边同时除以a2，可得e2－e－2＝0，即(e－2)(e＋1)＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去). 返回 课堂小结 任务再现 1.双曲线的简单几何性质.2.由双曲线几何性质求标准方程.3.双曲线渐近线与离心率问题 方法提炼 待定系数法、直接法、解方程组法、数形结合法 易错警示 求双曲线的方程时常因位置关系考虑不全面出错 随堂评价 返回 √ 1.(多选)已知双曲线E：x2－＝1，则下列结论正确的是 A.E的焦距为 B.E的虚轴长是实轴长的倍 C.双曲线－x2＝1与E有相同的渐近线 D.点(，0)到E的一条渐近线的距离为 √ √ 双曲线E：x2－＝1的实半轴长、虚半轴长分别为a＝1，b＝，则半焦距c＝，对于A，E的焦距为2，故A错误；对于B，E的虚轴长2b＝2，实轴长2a＝2，则E的虚轴长是实轴长的倍，故B正确；对于C，双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，E的渐近线方程为y＝±x， 故C正确；对于D，由选项C知，点(，0)到直线x±y＝0的距离为＝，故D正确.故选BCD. 因为一个焦点是F1()，所以c＝6，且焦点在y轴上，所以设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，所以c2＝a2＋a2＝36，解得a2＝18，所以双曲线标准方程为－＝1. 2.如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为F1，那么此双曲线的标准方程为___________. －＝1 如图所示，不妨设AO＝2，D为BC的中点，则OD＝1， AD＝3，BD＝.以AO的中点O'为原点，AD方向为x 轴，AO的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.因为 ＝2，所以＝＝1，即双曲线的实半轴长a＝ 1，所以双曲线的方程可以设为x2－＝1，将B的坐标，代入解得b＝1，所以c＝，所以e＝＝. 3.已知△ABC为等边三角形，点O为△ABC的中心，若以A，O为双曲线E的两顶点，且双曲线E过点B，则双曲线E的离心率为_____. 返回 因为＝，所以＝＝，所以＝，所以＝，所以＝.又因为双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以所求双曲线的渐近线方程为y＝±x. 4.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为__________. y＝±x 课时分层评价 返回 由方程x2－＝1，则a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±3x.故选C. √ 1.(2025·八省适应性测试)双曲线x2－＝1的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±2x C.y＝±3x D.y＝±4x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5，3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，焦距为6，点M在双曲线C上，且MF⊥AF，｜MF｜＝2｜AF｜，则双曲线C的实轴长为 A.2 B.4 C.6 D.8 把x＝c代入－＝1中，得y＝±，即｜MF｜＝.因为｜AF｜＝a＋c，｜MF｜＝2｜AF｜，所以＝2(a＋c)⇒c2－a2＝2ac＋2a2.又c＝3，所以a2＋2a－3＝0，解得a＝1，a＝－3舍去，则2a＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意离心率e＝＝2，则 ＝ ＝2，所以＝(负值舍去).又双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即渐近线的斜率为或－，所以其渐近线的倾斜角为.故选D. √ 4.已知双曲线C：－＝1()的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为 A. B. C.或 D.或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知双曲线C：－y2＝1的左右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，Mn为双曲线右支上的n个点，N1，N2，…，Nn分别与M1，M2，…，Mn关于原点对称，则直线AM1，AM2，…，AMn，AN1，AN2，…，ANn这2n条直线的斜率乘积为 A. B. C.－3n D.－2n 设M1(m，n)，由题意，N1(－m，－n)，又A(－，0)，于是＝·＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又M1(m，n)在双曲线上，故－n2＝1，于是＝＝＝.将2n条直线两两分组，AM1，AN1；AM2，AN2；…；AMn，ANn，类似上面的步骤，这n组直线中的两条直线斜率之积均是，于是这2n条直线的斜率乘积为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 6.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的上、下焦点，以线段F1F2为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则下列结论正确 的是 A.圆M的方程为x2＋y2＝10 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x D.△PF1F2的面积为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由双曲线方程C：－＝1，得实半轴长a＝2，虚半轴长b＝，半焦距c＝＝，圆M的圆心为，半径为，方程为x2＋y2＝10，故A正确；双曲线C的离心率e＝＝，故B正确；双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故C错误；由则点P横坐标xP满足｜xP｜＝，而＝2，于是＝·｜F1F2｜·｜xP｜＝2，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的方程可设为x2－y2＝λ，将点代入双曲线方程，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y2＝1. 7.已知某双曲线的渐近线方程为y＝±x，且该双曲线过点()，则该双曲线的标准方程为___________. x2－y2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知双曲线C：－＝1的离心率是，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则 tan∠MF1F2的值为_____. 由题意得，e＝＝，c＝a.设点M的横坐标为c，将x＝c代入双曲线C的方程，得－＝1，所以y＝±.又y＞0，所以M.所以tan∠MF1F2＝＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(2025·山东东营高二质量监测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线的右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则该双曲线的离心率为_____. 如图所示，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B.因为 F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以 ＝a，＝＝2a，则＝2a，＝ 2＝2b.又点M在双曲线上，所以－＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e＞1解得e＝，所以双曲线的离心率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； 解：设双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1(). 由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， 所以b＝6，c＝10，a＝8. 所以双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点()； 解：因为e＝＝，所以c＝a，b2＝c2－a2＝a2. 又因为焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为－＝1(). 把点代入方程，解得a2＝16. 所以双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x. 解：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，所以2a＝2＝6，得λ＝； 当λ＜0时，a2＝－9λ，所以2a＝2＝6，得λ＝－1； 所以双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.(新情境)单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图①，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图②，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为 A.350 m B.375 m C.400 m D.450 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以地标建筑的最细处所在直线为x 轴，双曲线的虚轴为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，由题意可得A， C(25，－300)，设B，双曲线的方 程是－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1，将点B－＝1，解得y0＝100，所以该地标建筑的高为300＋100＝400.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)已知双曲线E：2x2－my2＝4m的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，则下列结论正确的是 A.m＞0 B.当双曲线E为等轴双曲线时，焦点坐标为F1(，F2( C.焦点F1到双曲线E的一条渐近线的距离是定值2 D.若双曲线E的一条渐近线方程是y＝2x且＝3，则＝1或 ＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，将方程2x2－my2＝4m化为标准形式为－＝1，方程表示双曲线，则m＞0，故A正确；对于B，双曲线E为等轴双曲线时，2m＝4，即a2＝b2＝4，所以c＝2，焦点坐标为，，故B错误；对于C，不妨设双曲线的渐近线方程为y＝x，所以E的一个焦点＝b，故为定值b＝2，故C正确；对于D，双曲线－＝1的一条渐近线方程是y＝2x，所以a2＝2m＝1，c2＝1＋22＝5，2c＝2.由双曲线的定义知－＝±2，又＝3，所以＝1，或＝5，又≥c－a＝－1，所以＝5，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1(m＞0，n＞0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为_______；双曲线N的离心率为___. －1 2 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一 象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一 象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ， 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为，所以椭圆半焦距为2，2a＝｜PQ｜＋｜PF｜＝2＋2，a＝＋1，椭圆M的离心率为＝－1.双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4，所以双曲线N的离心率为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线离心率e的取值范围. 解：因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜， 所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即｜PF2｜＝2a时取等号， 所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a. 因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c⇒e＝≤3， 所以双曲线离心率e的取值范围为(1，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝－，·＝0，则E的离心率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知延长CA，DB，则必过点F1，如图所示.由双曲线的定义知 又因为cos∠BAC＝－，所以cos∠F1AB＝. 又因为·＝0，所以AB⊥BD，设＝13m，m＞0，则＝5m，＝12m，因此＋＝得13m－2a＋12m－2a＝5m，所以a＝5m.则＝a，＝a，＝2c，又因为＋＝，所以＋＝，即37a2＝25c2，即e＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点. (1)求的最小值； 解：设F1，F2)，P(x≥a)， 则＝＝＝＝ ＝＝x＋a≥·a＋a＝a＋c， 当P在右顶点时，最小，所以的最小值为a＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若右支上存在点P满足＝4，求双曲线的离心率的取值范围. 解：法一：由题意 解得 由(1)知，｜PF1｜≥a＋c，所以a≥a＋c， 所以1＜e≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 法二：设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π]， 由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2， 即－1≤－e2＜1，得1＜e2≤，1＜e≤. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第1课时　双曲线的简单几何性质 返回 $