3.2.1 双曲线及其标准方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过拉链实验引导学生观察轨迹抽象定义，结合椭圆知识对比推导标准方程，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以任务驱动整合动手操作与逻辑推理，如拉链实验培养数学抽象，焦点三角形问题强化运算能力，救援信号问题渗透数学建模。采用典例变式与分层评价，学生提升核心素养，教师可高效实施差异化教学。

3.2.1　双曲线及其标准方程 　 第三章 圆锥曲线的方程 　　[单元整体设计]　本单元包括双曲线的概念和标准方程，以及它的简单几何性质等内容.其研究过程是完全类比椭圆的研究方法进行的，也是按照“几何特征——标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用”的过程来展开.学习计划3课时. 　　本单元内容重点是双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，以及它的简单几何性质.难点是双曲线的形成及其渐近线的发现.在研究的过程中，进一步强化“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的策略，进一步强化“解析几何是一种方法论”的核心定位，进一步明确坐标法和数形结合思想.提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程，培 养数学抽象的核心素养. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算的核心 素养. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题，提升 逻辑推理、数学运算的核心素养. 4.了解双曲线的简单应用，提升数学建模核心素养. 任务一　双曲线的定义 1 任务二　双曲线的标准方程 2 任务三　双曲线定义的应用 3 课时分层评价 6 任务四　双曲线的实际应用 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　双曲线的定义 返回 问题导思 (阅读教材P118－119，完成探究问题1) 问题1.(1)取一条拉链，拉开一部分；(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线.   试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 提示：双曲线.曲线上的点满足条件：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝常数，且常数小于｜F1F2｜. 新知构建 双曲线的定义 定义 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______｜F1F2｜)的点的轨迹叫做双曲线 几何表示 ｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a(常数)(0＜2a＜｜F1F2｜) 焦点 两个定点__________ 焦距 __________的距离，表示为｜F1F2｜ 小于 绝对值 F1，F2 两焦点间 微提醒 (1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a＞｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. (多选)已知平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B，点P为平面内一动点，且－＝2a，则下列说法准确的是 A.当a＝0时，点P的轨迹为一直线 B.当a＝1时，点P的轨迹为一射线 C.当a＝－1时，点P的轨迹不存在 D.当a＝时，点P的轨迹是双曲线 典例 1 √ √ 对于A，当a＝0时，＝，则点P的轨迹为线段AB的垂直平分线，故A正确；对于B，当a＝1时，－＝2＝，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为B，方向为x轴的正方向，故B正确；对于C，当a＝－1时，－＝－2＝－，则点P的轨迹是一条射线，且射线的端点为A，方向为x轴的负方向，故C错误；对于D，当a＝时，－＝1＜，且＞，所以点P的轨迹是以点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，故D错误.故选AB. 规律方法 　　判断点的轨迹是否为双曲线时，依据是双曲线的定义成立的充要条件. 因为M(－2，0)，N(2，0)，于是有－＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一条射线.故选C. √ 对点练1.(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，－＝4，则动点P的轨 迹是 A.线段 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 由x2＋y2－8x＋12＝0，得＋y2＝4，作出两方 程所对应曲线，如图所示.设圆P的半径为r， 因为圆 P与圆O和圆M都外切，所以＝r＋2，＝r＋1， 则－＝1＜4，所以根据双曲线定义知点P在 以O，M为焦点的双曲线的左支上. 故选D. √ (2)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在 A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 返回 任务二　双曲线的标准方程 返回 问题导思 (阅读教材P119－120，完成探究问题2、3) 问题2.类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直 线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段 F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲 线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c＞0.设P(x，y)是双曲线上一点，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a(a为大于0的常数)，因为｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，所以－＝±2a，① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1. 由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得－＝1(a＞0，b＞0). 问题3.设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，其中c＞a＞0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 提示：－＝1(a＞0，b＞0). 新知构建 双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 _____________________ ______________________ 焦点坐标 ________________________ ________________________ a，b，c的关系 c2＝________ ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 微思考 1.如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？ 提示：“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上. 2.双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c有何不同？ 提示：双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝＋b2， 其中c＞a＞0，c＞b＞0，而a，b无大小要求；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝c2＋b2，其中a＞b＞0，a＞c＞0，c与b无大小要求. 角度1　求双曲线的标准方程 (链教材P120例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(； 解：因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上， 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 将点A－＝1，解得b2＝16， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 典例 2 (2)经过A，B两点； 解：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m＝，n＝ －， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (3)过点P，且与椭圆＋＝1有相同焦点的双曲线方程. 解：由题意知，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 所以可设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，其中a2＋b2＝5， 代入点P－＝1，联立解得a2＝1，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 规律方法 1.求双曲线标准方程的两个关注点 规律方法 2.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程. (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 对点练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点A(4，3)，且a＝4； 解：若双曲线的焦点在y轴上， 则－＝1，不成立，可知双曲线的焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)， 代入A(4，3)， 即－＝1，解得b2＝9， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)经过点A，B(3，－2). 解：设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 代入点A，B(3，－2)， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 可得 角度2　双曲线标准方程的理解 给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； 解：将所给方程化为－＝1，若该方程表示双曲线，则有(4＋k)(k－1)＞0，解得k＞1或k＜－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞). 典例 3 (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围. 解：将所给方程化为－＝1，若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k＜－4. 故实数k的取值范围是(－∞，－4). 规律方法 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 1.对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，且当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线. 2.对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线. 3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围. 对点练3.在方程mx2－my2＝3n中，若mn＜0，则该方程表示 A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 方程化为－＝1.因为mn＜0，所以＜0，故方程表示焦点在y轴上的双曲线.故选D. √ 返回 任务三　双曲线定义的应用 返回 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； 解：由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25， 所以a＝3，b＝4，c＝5. 设｜MF1｜＝7，则根据双曲线的定义知 ｜｜MF2｜－7｜＝6，即｜MF2｜－7＝±6， 解得｜MF2｜＝13，或｜MF2｜＝1， 又｜MF2｜＝1＜c－a，则｜MF2｜＝1不合题意， 所以点M到另一个焦点的距离为13. 典例 4 (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解：由双曲线定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6， ｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°， 所以102＝(｜PF1｜－｜PF2｜)2＋｜PF1｜·｜PF2｜， 所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64. 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin ∠F1PF2＝×64×＝16. 变式探究 1.(变条件)若将本例(1)中条件变为“点M在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是MF1的中点，O为坐标原点”，则＝______. 2或8 设双曲线的另一个焦点为F2，连接MF2(图略)，易得ON是△MF1F2的中位线，所以＝.因为＝2a＝6，＝10，所以＝4，或＝16.故＝2，或＝8. 2.(变条件)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”，求△F1PF2的面积. 解：将｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝2a＝6，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36， 所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝ ＝＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16. 规律方法 双曲线的定义的应用 1.已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离. 2.双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.有时要关注代数式的和、差、积等的特征进行运算与化简. 对点练4. (1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，｜AB｜＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为 A.2a＋2m B.4a＋2m C.a＋m D.2a＋4m 由双曲线的定义知｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a.又｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AB｜，所以△ABF1的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋2｜AB｜＝4a＋2m.故选B. √ (2)设F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则｜OM｜＝___. 2 如图所示，延长F1M交PF2于点Q，由PM为∠F1PF2 的平分线及PM⊥F1Q，可得△PMF1≌△PMQ，所以 ｜PF1｜＝｜PQ｜.根据双曲线的定义，可得｜PF1｜ －｜PF2｜＝2a＝4，即｜PQ｜－｜PF2｜＝4，即 ｜QF2｜＝4.在△F1QF2中，由O和M分别为F1F2，F1Q的中点，所以｜OM｜＝｜QF2｜＝2. 返回 任务四　双曲线的实际应用 返回 (链教材P120例2)某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角. 解：如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直 平分线为y轴建立平面直角坐标系. 典例 5 则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2). 因为｜PB｜＝｜PC｜， 所以点P在线段BC的垂直平分线上. 又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)， 所以直线PD的方程为y－＝(x＋4).① 又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜， 所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上. 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则a＝2，c＝3， 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥2).② 联立①②，得P点坐标为(8，5)， 所以kPA＝＝， 因此在A处发现P的方位角为北偏东30°. 规律方法 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 第一步(建系)：建立适当的坐标系； 第二步(求方程)：求出双曲线的标准方程； 第三步(还原)：根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 对点练5.如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中去，已知AA1＝10 km，AA2＝15 km，∠A1AA2＝60°，能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程. 解：以A1A2所在直线为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴建立平面 直角坐标系Oxy，如图所示. 在△AA1A2中，由余弦定理可得＝＋－2｜AA1｜ ｜AA2｜cos60°＝102＋152－10×15＝175， 可得＝5. 设M是边界上任一点，则满足＋＝＋， 所以－＝－＝15－10＝5＜5＝. 由双曲线定义可知，点M所在的界线是以A1，A2为焦点，实轴长为2a＝5的双曲线靠近A2的一支，并且在农贸市场A1A2A3A4内的部分. 由a＝，c＝可得b2＝c2－a2＝－＝， 所以双曲线方程为－＝1，即－＝1. 返回 课堂小结 任务再现 1.双曲线的定义及其应用.2.双曲线的标准方程.3.双曲线在实际生活中的应用 方法提炼 待定系数法、分类讨论法、定义法、转化与化归法 易错警示 忽略双曲线成立的必要条件及双曲线焦点位置的判断 随堂评价 返回 √ 1.在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求.故选D. 设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则｜PB｜－｜PA｜＝340×1＝340＜600，所以P的轨迹是以A，B为焦点，2a＝340的双曲线的左支.所以a＝170，又｜AB｜＝600＝2c，所以c＝300，所以b2＝c2－a2＝90 000－28 900＝61 100，故炮弹爆炸点的轨迹方程为 － ＝1(x≤－170).故选B. √ 2.已知A，B两地相距600 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s，且声速为340 m/s.以线段AB的中点为坐标原点， 的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则炮弹爆炸点的轨迹方程为 A. － ＝1(x≤－170) B. － ＝1(x≤－170) C. － ＝1(x≥170) D. － ＝1(x≥170) 由双曲线的焦点坐标F1(－3，0)，F2(3，0)，可得2c＝6，要使得满足条件－＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则满足解得－＜m＜，且m≠，结合选项，选项B、C符合题意.故选BC. 3.(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件－＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支.则下列数据中，m可以是 A. B.2 C.－1 D.－3 √ √ 返回 因为双曲线－＝1，则a＝2，b＝，所以c＝＝.因为P为双曲线右支上一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝4，又｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2c＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得，｜F1F2｜2＝＋－2·cos∠F1PF2，即＝62＋22－2×6×2cos∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝.又0＜∠F1PF2＜π，所以∠F1PF2＝. 4.设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，且｜PF1｜＝3｜PF2｜，则∠F1PF2的大小为___. 课时分层评价 返回 因为F1，F2()，所以＝10.若动点P满足＝8＜＝10，则动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.而题目中动点P只满足－＝8，有＞，所以动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支.故选D. √ 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2()，动点P满足－＝8，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.一条射线 C.双曲线 D.双曲线的一支 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是()，则m的值是 A.－1 B.1 C.－ D. 显然m≠0，则双曲线的标准方程为－＝1，由焦点坐标＋＝c2＝4，解得m＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且＋＝6，则∠MF1F2＝ A.30° B.45° C.60° D.90° 由题意可得＝2＝2.由双曲线的定义得－＝2，而＋＝6，解得＝4，＝2.在△MF1F2中，由余弦定理得cos∠MF1F2＝＝＝.又0°＜∠MF1F2＜180°，所以∠MF1F2＝30°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于＝，所以b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入点(1，1)，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.故选AB. √ 4.(多选)过点(1，1)，且＝的双曲线的标准方程可以是 A.－y2＝1 B.－x2＝1 C.x2－＝1 D.y2－＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A是双曲线C上一点，且F1A⊥F2A，则点A到x轴的距离为 A. B. C. D. 由双曲线方程可知a＝3，b＝，c＝＝4.不妨设A 位于第一象限，如图所示.因为F1A⊥F2A，所以＋＝ ，即(｜F1A｜－｜F2A｜)2＋2·＝｜F1F2｜2.由双 曲线定义知－＝2a＝6，又＝2c＝8，所以·＝14.所以＝·＝·y0＝4y0＝7，解得y0＝，即点A到x轴的距离为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(2025·湖南长沙四校高二期中)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝4，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(2，0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 A.－＝1(x≤－2) B.－＝1 C.x2－＝1(x≤－1) D.x2－＝1 因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有｜QA｜＝｜QP｜.由(x＋2)2＋y2＝4，得M(－2，0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 该圆的半径为2.因为点P在圆上运动，所以有｜｜QP｜－｜QM｜｜＝2，于是有｜｜QA｜－｜QM｜｜＝2.所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以2c＝4，2a＝2⇒c＝2，a＝1⇒b2＝c2－a2＝3，所以点Q的轨迹方程为x2－＝1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，若方程表示双曲线，则sin α·cos α≠0，又0≤α＜π，则α≠0且α≠，方程化为－＝1，由题意有·＞0，即sin α·cos α＞0，所以0＜α＜. 7.若方程x2sin α－y2cos α＝1(0≤α＜π)表示双曲线，则α的取值范围是 __________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.双曲线－＝1(a＞0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜＝____. 由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2.又｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9.当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去.当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，某拱桥的截面图可以看作双曲线－＝1的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为4米，则当水面宽度为4米时，拱顶M到水面的距离为__________米. 根据题意知，M()，A，故－＝1，解得m＝4，即－＝1.当水面宽度为4米时，即x＝－2时，y＝－4，拱顶M到水面的距离为()米. () 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； 解： 由a＝4， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1()， 把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1， 把点A的坐标代入，得－＝1，即b2＝9. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点()； 解：法一：因为双曲线－＝1的焦点在x轴上， 所以设所求双曲线的标准方程为－＝1()， 所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① 因为双曲线经过点()，所以－＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， 故双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(). 因为双曲线过点，所以－＝1，即λ2＋10λ－56＝0，解得λ＝4或λ＝－14(舍去). 故双曲线的标准方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上. 解：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(). 因为点P，Q在双曲线上， 故双曲线的标准方程为－＝1. 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.过双曲线－＝1的右支上一点P，分别向☉C1：(x＋4)2＋y2＝3和☉C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则(＋)·的最小值为 A.28 B.29 C.30 D.32 由双曲线方程－＝1可知：a＝2，b＝2，c＝＝4，可知双曲线方程的左、右焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0).圆C1：(x＋4)2＋y2＝3的圆心为C1(－4，0)(即F1)，半径为r1＝； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为C2(4，0)(即F2)，半径 为r2＝1.连接PF1，PF2，F1M，F2N，则MF1⊥PM， NF2⊥PN，可得(＋)·＝(＋)·(－) ＝｜｜2－｜｜2＝(｜PF1｜2－)－(｜PF2｜2－)＝(｜PF1｜2 －3)－(｜PF2｜2－1)＝｜PF1｜2－｜PF2｜2－2＝(｜PF1｜－｜PF2｜)· (｜PF1｜＋｜PF2｜)－2＝2a(｜PF1｜＋｜PF2｜)－2≥2a·2c－2＝2×2×2×4－2＝30，当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即(＋)·的最小值为30.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(3，)和点(，0)，下列选项正确的是 A.C的标准方程为－y2＝1 B.C与椭圆＋＝1有共同的焦点 C.曲线x2＋(y－2)2＝4过C的一个焦点 D.设P为C的右支上任一点，F1，F2为焦点，△PF1F2的内切圆过点 (，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，双曲线方程为－y2＝1，a＝，b＝1，c＝2，焦点分别为(±2，0).故A正确，B、C错误；设△PF1F2的内切圆与x轴切于A点，则｜PF1｜－｜PF2｜＝｜F1A｜－｜AF2｜，即A点在双曲线右支上，故A(，0)，故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则＋的最小值为____________. －2 因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2， 所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜ ＋｜AF1｜的最小值.如图所示，连接F1P交双曲线的 右支于点A0.当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. (15分)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早s(注：信号每秒传播V0 km) (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设观察员可能出现的位置为点P(x，y)， 由题意，得｜PB｜－｜PA｜＝ ×V0＝40＜｜AB｜＝60， 故点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支. 设双曲线的方程为 － ＝1(a＞0，b＞0，x≤－a)， 又2a＝40，2c＝60，所以b2＝c2－a2＝500， 故所求的轨迹方程为 － ＝1(x≤－20). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红 外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少？ 解：设轨迹上一点为M(x，y)， 则｜MC｜＝ ＝. 又 － ＝1，所以x2＝ y2＋400， 所以｜MC∣＝ ＝ ≥20 ， 当且仅当y＝ 时，｜MC｜取得最小值20 ，故扫描半径r至少是20 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形.如图②，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝ BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为__________. x2－＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0).因为AB＝BC＝CD＝2，则点C的坐标为(1，0)，将其代入双曲线方程，得a＝1.又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以点在双曲线上，得－＝1，则b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋4y2＝4的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C. (1)求线段AB的长度； 解：因为椭圆的方程为x2＋4y2＝4， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以c＝. 因为A，B分别为椭圆＋y2＝1的左焦点和右焦点，所以A(－，0)，B(，0)， 所以｜AB｜＝2，所以线段AB的长度为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求顶点C的轨迹方程. 解：在△ABC中，根据正弦定理得＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)， 所以sin A＝，sin B＝，sin C＝， 因为sin B－sin A＝sin C， 所以－＝×， 所以｜AC｜－｜BC｜＝｜AB｜＝＜｜AB｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 所以C点的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且不包含右 顶点. 设该双曲线方程为－＝1(x＞a1)， 则｜AC｜－｜BC｜＝＝2a1，｜AB｜＝2＝2c1， 所以a1＝，c1＝，＝－＝， 所以顶点C的轨迹方程为－＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 3.2.1　双曲线及其标准方程 返回 $