3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用 -【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 　 第三章 3.1.2　椭圆的简单几何性质 学习目标 1.了解椭圆在实际生活中的应用. 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭 圆的位置关系，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核 心素养. 任务一　点、直线与椭圆的位置关系 1 任务二　弦长问题 2 任务三　中点弦问题 3 课时分层评价 7 任务四　与椭圆有关的最值(范围)问题 4 内容索引 随堂评价 6 任务五　椭圆的实际应用问题 5 任务一　点、直线与椭圆的位置关系 返回 问题导思 问题1.类比点与圆的位置关系，探究点与椭圆的位置关系时，如何确定点与椭圆的位置关系？ 提示：将点的坐标代入椭圆的方程，看满足的不等关系. 问题2.类比直线与圆的位置关系，探究直线与椭圆的位置关系时，如何确定直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆的方程，看公共解的个数. 新知构建 1.点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋＜___； 点P在椭圆外部⇔＋＞___. 1 1 2.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系，判断方法： 当Δ＞0时，方程______________________，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程____________________，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程__________，直线与椭圆相离. 联立消y得一元二次方程. 有两个不相等的实数解 有两个相等的实数解 无实数解 微提醒 　 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况. (链教材P114例7)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m为何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？ 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 由Δ＞0，得－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 典例 1 (2)有且只有一个公共点？ 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 由Δ＝0，得m＝±3时，方程①有两个相等的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)没有公共点？ 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.　① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 由Δ＜0，得m＜－3或m＞3时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点. 规律方法 判断直线与椭圆的位置关系的方法   注意：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 对点练1.已知直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1. (1)若它们有两个公共点，求实数m的取值范围； 解：把直线方程y＝x＋m与椭圆方程＋y2＝1联立，消去y， 得到关于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0(*)， 由Δ＞0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)＞0， 解得－＜m＜. 故实数m的取值范围为(－，). (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 解：由(1)中，Δ＝0，解得m＝－或m＝. 当m＝－时，(*)化为5x2－8x＋16＝0，解得x＝； 当m＝时，(*)化为5x2＋8x＋16＝0，解得x＝－. 返回 任务二　弦长问题 返回 问题导思 问题3.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，如何求｜AB｜？ 提示：　｜AB｜＝， 所以｜AB｜＝＝｜x1－x2｜＝， 或｜AB｜＝ ＝ ｜y1－y2｜＝ . 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得. 新知构建 弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则｜AB｜＝， 所以｜AB｜＝ ＝ ＝， 或｜AB｜＝ ＝ ＝. 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系 求得. 已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，长轴长为焦距的2倍，且过点M，F为左焦点. (1)求椭圆C的标准方程； 解：由条件知a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2， 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 又椭圆过点M，所以 ＋ ＝1. 所以c2＝1，所以a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 典例 2 (2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当｜AB｜＝ 时，求直线l的方程. 解：当直线l斜率不存在时，｜AB｜＝3，不合题意. 当直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x＋1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 所以｜AB｜＝ ｜x1－x2｜ 由 消去y得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， ＝ ＝ ＝ ＝ . 所以k2＝ ，即k＝± ， 所以直线l的方程为 x－2y＋ ＝0或 x＋2y＋ ＝0. 规律方法 求弦长的两种方法 1.求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解. 2.结合根与系数的关系，利用弦长公式求解. 对点练2.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点. (1)求直线AB的方程； 解：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2， 所以直线AB的方程为y＝2(x－1). 即2x－y－2＝0. (2)求弦长AB. 解：法一：由方程组 则交点A(0，－2)，B或(A，B(0，－2)). 所以｜AB｜＝＝＝. 返回 法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝. 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝×＝. 法三：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组消去x，得3y2＋2y－8＝0， 则由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以｜AB｜＝＝×＝. 任务三　中点弦问题 返回 问题导思 问题4.已知椭圆的方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 提示：将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得 ＋＝0， 记弦AB的中点为M(x0，y0). 由x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－，即kAB·kOM＝－. 新知构建 椭圆中点弦的斜率公式 若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝________. － (一题多解)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为________________. 典例 3 x＋2y－4＝0 法一：易知直线AB的斜率k存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，由得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意. 法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2).因为M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则＋4＝16，＋4＝16，两式相减，得(－)＋4(－)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.所以＝－＝－＝－，即kAB＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意. 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于AB的中点为M(2，1)，则另一个交点为B(4－x，2－y).因为A，B两点都在椭圆上，所以①－②，化简得x＋2y－4＝0.显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 规律方法 解决弦的中点问题的办法 1.根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解. 2.点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式. 对点练3.已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x－4y＝0上，则此椭圆的离心率为____. 联立所以直线y＝－x＋1与直线x－4y＝0的交点坐标为，即线段AB的中点为. 设y＝－x＋1与＋＝1(a＞b＞0)的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝，＝，则x1＋x2＝，y1＋y2＝.分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入到椭圆＋＝1(a＞b＞0)中，得＝－，又kAB＝＝－1，且＝，所以－＝×(－1)＝－，即a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以3a2＝4c2，所以e＝＝. 返回 任务四　与椭圆有关的最值(范围)问题 返回 (1)已知椭圆C：＋x2＝1(的离心率为，P为椭圆C上的一个动点，定点A()，则的最大值为 A. B.2 C. D.3 典例 4 √ 因为椭圆C：＋x2＝1，所以椭圆的离心率e＝＝＝，又b2＝1，则a2＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1.设椭圆上一动点P(x0，y0)，则＝2－2，所以＝＝＝＝，因为－1≤x0≤1，所以当x0＝1时，取最大值2.故选B. (2)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点.①若A(1，1)是一定点，则｜PA｜＋｜PF｜的最大值为__________；②若M(3，3)是一定点，则｜PM｜＋｜PF｜的最大值为__________. 6＋ 6＋ 设椭圆的右焦点为F2，①根据椭圆的定义：｜PA｜＋ ｜PF｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PA｜＋｜PF｜ 取得最大值时，即｜PA｜－｜PF2｜最大，如图①所 示.｜PA｜＋｜PF｜≤2a＋｜AF2｜＝6＋＝6＋，当P，A，F2共线且F2在A，P之间时取得最大值.所以｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋﹒ ②根据椭圆的定义：｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋2a－｜PF2｜，所以｜PM｜＋｜PF｜取得最大值时，即｜PM｜－｜PF2｜最大，如图②所示.｜PM｜＋｜PF｜≤2a＋｜MF2｜＝6＋＝6＋，当P，M，F2共线且F2在P，M之间时取得最大值.所以｜PM｜＋｜PF｜的最大值为6＋﹒ 规律方法 求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 1.定义法：利用定义转化为几何问题处理. 2.数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. 3.函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围. √ 对点练4.(1)点P为椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2分别为左、右焦点，则·的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.不存在 设P(x，y)，F1(－1，0)，F2(1，0)，所以·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2＋y2－1＝x2＋3－x2－1＝x2＋2(－2≤x≤2)，所以当x＝±2时，取到最大值，最大值为3.故选B. 设直线x＋2y＋b＝0与椭圆＋＝1相切，联立方程得25y2＋16by＋4b2－36＝0①，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(16b)2－4×25(4b2－36)＝0，得b＝±5，结合直线与椭圆的位置关系，当b＝5时，x＋2y＋5＝0与x＋2y－10＝0的距离最大，最大距离为3，把b＝5代入①得，25y2＋80y＋64＝(5y＋8)2＝0，得y＝－，代入x＋2y＋5＝0，得x＝－，所以点M的坐标为(－，－). (2)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大时，点M的坐 标为______________. 返回 任务五　椭圆的实际应用问题 返回 典例 5 已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2 km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？ 解：以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 设四边形的顶点C(x，y)，D(－x，－y)，且A(－1，0)， B(1，0). 根据题意得｜CA｜＋｜CB｜＝4＞｜AB｜＝2， 则点C轨迹为椭圆，且2a＝4，2c＝2，则a＝2，c＝1，b＝， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1(y≠0). 由直线形水沟刚好通过点A，且与AB成30°角，由椭圆对称性，令直线l的方程为y＝(x＋1)， 设直线l与椭圆＋＝1相交于点P，Q两点，则水沟可能被农艺园围进的部分为PQ. 设P，Q，则整理得13x2＋8x－32＝0， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝－， 则＝＝＝， 所以暂不加固的部分长 km. 规律方法 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象) 1.通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. 2.确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. 3.用解得的结果说明原来的实际问题. 对点练5. (多选题)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确 的是 A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.＜ D.＞ √ √ 由图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，故A错 误；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道 Ⅱ中可得，a2－c2＝｜PF｜，所以a1－c1＝a2－c2，故B正 确；所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，得＋＋2a1c2 ＝＋＋2a2c1，所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，即 ＋2a1c2＝＋2a2c1，由图可得，＞，所以2a1c2＜2a2c1，即＜，故C错误，D正确.故选BD. 教材拓展4　椭圆的第二定义(源于教材P113－例6、P115－T8、P116信息技术应用) (1)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分 别为F1，F2，左、右准线方程分别为l1： x＝－，l2：x＝.如图，由椭圆上的动点P向l1，l2分别作垂线，垂足分别为N1，N2.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率e＝＝(a2－b2＝c2，c＞0).请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式＝a＋ex0，＝a－ex0. 典例 6 解：由e＝＝， 得＝e，＝e， 又＝x0－＝x0＋，＝－x0， 所以＝e＝e＝a＋ex0， ＝e＝e＝a－ex0， 即＝a＋ex0，＝a－ex0. (2)借助(1)中焦半径公式解决问题：已知A，B为椭圆＋＝1上两个不同的点，F为右焦点，＋＝6，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，求. 解：由题意，在椭圆＋＝1中，a＝4，c＝2，e＝，F). 设A()，B () ， 则由焦半径公式，得＋＝＋＝6，所以x1＋x2＝4， 所以线段AB的中点为E. 设T()，如图所示. 由题意知，直线AB与坐标轴不平行，且直线AB的斜 率kAB＝， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为－， 则线段AB的垂直平分线方程为y＝－)＋. 代入T()，得m－2＝＝ ＝＝－ ) ＝－， 解得m＝，所以＝2－＝. 返回 课堂小结 任务再现 1.点、直线与椭圆的位置关系.2.弦长及中点弦问题.3.与椭圆有关的最值(范围)问题.4.椭圆的实际应用问题 方法提炼 分类讨论法、点差法、数形结合法、定义法、函数法 易错警示 忽略直线斜率不存在的情况及直线方程与椭圆方程联立消元后的一元二次方程有解的条件Δ≥0问题 随堂评价 返回 √ 1.直线y＝3x－1与椭圆＋＝1的公共点的个数是 A.0 B.1 C.2 D.无数个 由消去y并整理得11x2－6x－7＝0，显然Δ＝(－6)2－4×11×(－7)＞0，所以直线y＝3x－1与椭圆＋＝1相交，有2个公共点.故选C. 设椭圆的左焦点为F'，则F'.由点A在椭圆内部得＋＜1，结合m＞4，解得m＞6＋2.根据椭圆的定义及＋＝8得＝｜(｜PA｜＋｜PF｜)－(｜PF｜＋｜PF'｜)｜＝，又当P，F'，A三点共线时最大，从而＝＝2，解得9≤m≤25.综上，6＋2＜m≤25.故选BCD. √ √ √ 2.(多选)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点A为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得＋＝8，则m的值可以为 A.6＋2 B.6＋4 C.24 D.25 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l与椭圆x2＋4y2＝16相交于A，B两点，所以 作差得，－＋4－4＝0，即(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0，即 · ＝－ .因为点M(2，1)在椭圆内，且为弦AB的中点，所以 · ＝－ ，解得 ＝－ ，故直线l的斜率kAB＝ ＝－ . 3.已知直线l过点M(2，1)且与椭圆x2＋4y2＝16相交于A，B两点，若点M为弦AB的中点，则直线l的斜率为_____. － 返回 根据题意可知，显然(0，1)在椭圆上，不妨取xP＝0，则P(0，1).设Q(x0，y0)，由P，Q不重合可知y0≠1，又Q在椭圆上可知－1≤y0＜1，且＋＝1，即＝4－4，所以｜PQ｜2＝＋(y0－1)2＝4－4＋－2y0＋1＝－3－2y0＋5.根据二次函数性质可知，当y0＝－时，｜PQ｜2取最大值为，即可得｜PQ｜的最大值是. 4.过点(0，1)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于P，Q两点，则｜PQ｜的最大值是______. 课时分层评价 返回 对于直线l：x－y＋2－m＝0，整理得m＋2＝0，令故直线l过定点A(3，2).因为＋＝＜1，则点A在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选A. √ 1.已知椭圆C：＋＝1，直线l：x－y＋2－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆C的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知点P和焦点在y轴上的椭圆＋＝1，且过P作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距c的取值范围是 A.0＜c＜2 B.c＞2 C.0＜c＜ D.c＞ 由题意可得，点P在椭圆的外部，所以＋＞1，所以0＜m＜.又椭圆焦点在y轴上，所以m＞4，所以4＜m＜.又c2＝m－4，所以0＜c2＜，所以0＜c＜.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为 A. B.3 C. D.3 如图所示，由＋＝1，得a2＝4，b2＝3，所以a＝2，b＝， c＝1，所以F1(－1，0)，F2(1，0).当x＝－1时，＋＝1，解得 ＝.因为MF1⊥x轴，所以＝，所以＝＝＝，设F1到直线F2M的距离为d，因为d·＝，所以d＝×2，解得d＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由消去y并整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直线与椭圆有两个公共点，则 解得＋＝1表示椭圆，知m＞0且m≠3.综上可知，m＞1且m≠3.故选B. √ 4.若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数m的取值范围是 A.(－∞，0)∪(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞) C.(－∞，－3)∪(－3，0) D.(1，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.直线l：x＋y－1＝0与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，长轴的右顶点为点P，则△ABP的面积为 A. B. C. D. 直线l与椭圆C联立得3x2－4x－2＝0.设点A()，B ()，则x1＋x2＝，x1x2＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＝＝＝.由椭圆C知点P，故点P到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝＝，所以△ABP的面积为S＝·d＝××＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 6.(多选)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是 A.4a B.2(a－c) C.2(a＋c) D.4c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；②静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；③静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁(非左、右顶点)反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q，则＝，将x2＝4－4y2代入上式中得＝＝.因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，＝＝. 7.已知点P()，点Q为椭圆＋y2＝1上的动点，则＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知椭圆C：＋＝1()，O)，P(2，1)，过点P且斜率为－1的直线与C相交于A，B两点，若直线OP平分线段AB，则C的离心率 等于______. 设A()，B()，则＋＝1，＋＝1，故＋＝0，即＋＝0，故＝－，因为P为AB的中点，所以(－1)×＝－，即＝，所以＝，即e＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(易错题)已知椭圆C1：＋＝1，过点P作椭圆C1的切线，则切线方程为______________________. 因为＋＞1，所以P在C1外部，①当斜率不存在时，易知x＝2为椭圆的一条切线；②当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y－2＝k，代入C1中并整理得x2＋16x＋16k2－32k＋4＝0.因为直线与椭圆相切，则Δ＝－4(3＋4k2)(16k2－32k＋4)＝0，解得k＝，此时切线方程为x－8y＋14＝0.所以切线方程为x－8y＋14＝0，或x＝2. x－8y＋14＝0，或x＝2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M为椭圆C上一点，∠F1MF2＝，且△MF1F2的面积为9. (1)求椭圆C的方程； 解：由∠F1MF2＝，可得＝·＝9，故·＝18. 因为＋＝2a，＝2c＝6，且＋＝， 所以－2·＝36，即4a2－2×18＝36，则a2＝18. 又因为b2＝a2－c2＝18－9＝9， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，PQ的中点为，求直线l的方程. 解：设P，Q，则 当直线l的斜率不存在时，则P，Q(x1，－y1)，中点N，不合题意，舍去. 当直线l的斜率存在时， 因为＝(－)×＝(－)×＝，即直线l的斜率k＝， 所以直线l的方程为y－2＝，即3x－4y＋17＝0.经检验，所求直线满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x－4y＋17＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.(新情境)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)，其焦距为2，且过点(1，)，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，O为坐标原点，则△OCD的面积的最小值为 A. B. C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得2c＝2，即c＝1，a2－b2＝1，将点(1，)代入椭圆方程，可得＋＝1，解得a＝，b＝1，即椭圆的方程为＋y2＝1.设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为x＋y2y＝1.令x＝0，得yD＝，令y＝0，可得xC＝.又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x2＞0，y2＞0，＋＝1，所以＝··＝＝＝＋≥2＝，即≥，当且仅当＝＝，即点B的坐标为(1，)时，△OCD的面积取得最小值.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为________________________. x＋4y＝0 设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，由点差法可知，k＝2＝＝(－)×＝ (－)×，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，所以＋ ＜1，解得－＜x＜.所以所求的轨迹方程为x＋4y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，则△MF1F2的内切圆半径的取值范围为_________. 设△MF1F2的内切圆半径为r，椭圆方程为＋＝1，则a＝5，b＝4，c2＝a2－b2＝9，即c＝3.又＝r＝r＝8r，且0＜b·＝×4×6＝12，所以0＜r≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. (15分)如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，水池边缘内切于矩形(即水池边缘与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程； 解：由题意知，b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 所以两个半椭圆方程分别为＋＝1(x≤0)和＋＝1(x≥0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的 一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水 面面积的最大值. 解：设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二 象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1， 可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)(新定义)(2025·安徽合肥高二期中)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是 A.点P的轨迹方程是＋＝1 B.直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线” C.平面上有一点A(－1，1)，则｜PA｜＋2｜PF｜的最小值为5 D.点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＝0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y)，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以 2＝｜x－4｜，化简得＋＝1，故A正确；联立方程 可得(x－1)2＝0，解得x＝1，故存在P(1，)，所以直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”，故B正确；过P作PB垂直于直线l，垂足为B，如图所示，则由题可得｜PB｜＝2｜PF｜，则｜PA｜＋2｜PF｜＝｜PA｜＋｜PB｜.则由图可知，｜PA｜＋｜PB｜的最小值即为点A到直线l：x＝4的距离，即为5，故C正确；由x2＋y2－2x＝0可得(x－1)2＋y2＝1，即圆心为(1，0)，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点(2，0)，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，且点P在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； 解：因为椭圆E：＋＝1的长轴长为4， 所以a＝2. 又点P在椭圆E上， 所以＋＝＋＝1，解得b2＝3. 所以椭圆E的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线与y轴相交于点T，求(O为原点)的最小值，并求此时直线l的方程. 解：由(1)知，F(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消去x并整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 ｜MN｜＝·｜y1－y2｜ ＝· ＝·＝. 线段MN的中点为(，)， 则线段MN的中垂线方程为y＋＝－t(x－)， 令x＝0，得y＝，即点T(0，)， 所以＝＝12(｜t｜＋)≥24， 当且仅当｜t｜＝，即t＝±1时取“＝”，所以当t＝±1时，取得最小值24， 此时直线l的方程为x－y－1＝0，或x＋y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 返回 $