2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，通过问题导思引入，先以代数法推导点到直线距离公式，再结合向量方法深化理解，衔接直线方程和向量知识，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于注重数学抽象与逻辑推理，通过两种推导方法培养学生思维，典例与综合应用提升数学运算能力，如求动点到直线距离最小值等问题。分层评价设计帮助学生巩固，对学生深化知识理解和应用有帮助，为教师提供系统教学资源和有效评价工具。

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 　 第二章　直线和圆的方程 学习目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离 公式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离，提升数学运 算的核心素养. 任务一　点到直线的距离公式 1 任务二　两条平行直线间的距离 2 任务三　点到直线的距离公式的综合应用 3 课时分层评价 6 任务四　两条平行直线间的距离公式的综合应用 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　点到直线的距离公式 返回 问题导思 (阅读教材P74－76，完成探究问题1、2) 问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)， 直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到 直线l的距离呢？ 提示：点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长， 如图所示，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为，所以l'的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，解得交点Q(，)， 所以｜PQ｜＝. 问题2.向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图， 怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示：在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－， 所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量. (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B). (2)在直线l上任取点M(x，y)，设P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0). (3)｜PQ｜＝｜｜＝｜·n｜＝. 新知构建   点到直线的距离 定义 点到直线的________的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 垂线段 微提醒 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式.(2)分子含有绝对值.(3)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的.(4)点到直线的距离是直线外一点与直线上的点连线长度的最小值. (链教材P77例5)求下列点到直线的距离： (1)原点到y＝x＋3的距离； 典例 1 解：将y＝x＋3化为一般式x－y＋3＝0， 则d＝＝. (2)(－1，2)到＋＝1的距离； 解：将＋＝1化为一般式4x＋3y－12＝0， 则d＝＝2. (3)(3，6)到y＝1的距离. 解：法一：将y＝1化为一般式y－1＝0， 则d＝＝5. 法二：直接计算纵坐标的差，d＝｜6－1｜＝5. 规律方法 点到直线的距离的求解策略 1.求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可. 2.若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可. 对点练1.求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； 解：根据点到直线的距离公式，得d＝＝. 即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为. (2)y＝2x＋3； 解：直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0. 根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝. 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为. (3)2x＋5＝0. 解：直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴， 所以d＝＝. 即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为. 返回 任务二　两条平行直线间的距离 返回 问题导思 (阅读教材P78，完成探究问题3、4) 问题3.已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，如图所示.在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4.怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝. 新知构建   两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间的__________的长 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d ＝__________________ 公垂线段 微思考 使用两平行直线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ 提示：两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等. (1)(链教材P78例7)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； 解：由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. 典例 2 (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程. 解：设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 即｜C－4｜＝｜C＋2｜， 解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 得＝， 变式探究　(变条件)在本例(2)中，求与l1平行且两直线距离为的直线方程. 解：设所求直线的方程为2x－3y＋C'＝0， 所以C'＝－2或C'＝10. 故所求直线的方程为2x－3y－2＝0或2x－3y＋10＝0. 由题意得＝，即｜C'－4｜＝6， 规律方法 求两条平行线间距离的方法 1.转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. 2.公式法：(1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝. (2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. √ 对点练2.(1)在梯形ABCD中，＝2＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为 A. B.9 C. D.45 由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为·d＝××2＝9.故选B. (2)已知不过原点的直线l1与直线l2：x－y＋＝0平行，且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为________________. x－y＋2＝0 因为直线l1不过原点且与l2平行，所以可设直线l1：x－y＋C＝0，因为l1与l2之间的距离d＝＝1，解得C＝2或C＝0(舍)，所以直线l1的一般式方程为x－y＋2＝0. 返回 任务三　点到直线的距离公式的综合应用 返回 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么｜OP｜的最小值为 A. B.1 C. D.2 典例 3 √ ｜OP｜的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.故 选A. (2)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是______. －1 直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2).由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2，1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝ －1. 规律方法 1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离. 2.注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要. 对点练3.(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求｜OP｜最小时点P的坐标； 解：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1， 所以OP所在的直线方程为y＝x. 所以点P的坐标为(2，2). 由 (2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程. 解：由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大， 因为kOP＝2， 所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 返回 任务四　 两条平行直线间的距离公式的综合应用 返回 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； 解：如图所示，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大， 为d＝｜AB｜ ＝ ＝3； 当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0， 所以0＜d≤3， 即所求的d的取值范围是(0，3]. 典例 4 (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解：当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB， 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y －20＝0和3x＋y＋10＝0. 它们的斜率k＝－＝－＝－3. 规律方法 应用数形结合思想求最值 1.解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. 2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. √ 对点练4.(1)P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为 A. B. C. D. 易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故｜PQ｜的最小值即两平行直线间的距离，故d＝＝.故选C. 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以直线l1，l2的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. (2)已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________. x＋2y－3＝0 返回 课堂小结 任务再现 1.点到直线的距离公式.2.两条平行直线间的距离.3.点到直线的距离、两条平行直线的距离公式的综合应用 方法提炼 公式法、数形结合法、解方程(组)法、坐标法 易错警示 运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相等 随堂评价 返回 √ 1.点P到直线x＝1的距离为1，则x0＝ A.0或2 B.1或2 C.0 D.2 因为点P到直线x＝1的距离为1，所以＝1，解得 x0＝0 或x0＝2.故选A. 3x＋4y－5＝0⇒6x＋8y－10＝0，两平行线间的距离为＝.故选B. √ 2.两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是 A.0 B. C.1 D. 由题设＝＝4，则｜3－k｜＝5⇒k＝－2或k＝8. 3.若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于__________. －2或8 返回 由题意可知直线l1：2x＋y－2＝0，直线l2：4x＋2y＋1＝0，即l2：2x＋y＋＝0，所以直线l1∥l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，有最小值，其最小值为平行直线l1与l2的距离，所以｜AB｜min＝＝. 4.已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的 点，则的最小值为__________. 课时分层评价 返回 点A(2，3)到直线3x－4y－11＝0的距离为 ＝ .故选B. √ 1.点A(2，3)到直线3x－4y－11＝0的距离为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知直线x＋3y＋λ＝0与直线2x＋6y＋1＝0间的距离为 ，则λ＝ A.－ 或 B.－9 C.－9或11 D.6或－4 直线x＋3y＋λ＝0可化为2x＋6y＋2λ＝0，所以 ＝ ，解得λ＝－ 或λ＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0(m∈R)过定点A，则点A到直线l1：x＋y＝1的距离是 A. B.2 C.2 D.4 (2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＋(2x＋y＋4)＝0，令所以点A的坐标为(－1，－2)，故点A到直线l1：x＋y＝1的距离d＝＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线AB的方程为＝，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝＝.又因为＝＝，所以S△ABC＝×d＝.故选D. √ 4.已知点A，B，C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为 A.5 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m－n的可能值为 A.3 B.－17 C.11 D.－9 因为l1∥l2，所以＝，得n＝－4，l1：x－2y＋m＝0，l2：x－2y－3＝0，所以平行线间的距离d＝＝2，得m＝7或－13，则m－n＝11或－9.故选CD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选)已知直线l经过两直线3x＋4y＋1＝0和2x＋y＋4＝0的交点，且M到l的距离与N(2，－4)到l的距离之比为1∶3，则直线l的方程可能为 A.9x－y＋29＝0 B.9x＋y＋25＝0 C.3x＋11y－13＝0 D.3x－11y＋31＝0 联立方程组当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，M到l的距离为2，N到l的距离为5，不符合 题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k，即kx－y＋3k＋2＝0，由3×＝，解得k＝9或k＝－，所以直线l的方程为9x－y＋29＝0或3x＋11y－13＝0.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点P在直线2x＋y－3＝0上，且位于第一象限，若点P到直线x－2y－4＝0的距离为，则点P的坐标为________. 由点P在直线2x＋y－3＝0上，可设点P，因为点P到直线 x－2y－4＝0的距离为，则＝，整理可得＝5，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，P(1，1)位于第一象限，满足题意；当a＝3时，P(3，－3)位于第四象限，不满足题意，所以点P的坐标为. (1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.点D到直线l：2x－y＋mx－m＝0距离的最大值为____. 直线l：2x－y＋m(x－1)＝0， 解得得直线l过定点A，所以直线l表示过定 点的直线，如图所示.当DA⊥l时，表示点到直 线的距离，当DA不垂直于l时，表示点到直线的距离，显然＜，所以点D到直线l距离的最大值为＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为＝5. 5 令 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(易错题)已知直线l经过P(2，1)，点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为__________________. 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，点A(5，0)到直线l的距离为3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，由A(5，0)到直线l的距离为3，得 ＝3，解得k＝ ，即方程为y－1＝ (x－2)，即4x－3y－5＝0，故l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. x＝2或4x－3y－5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知直线l1：x＋y＋3＝0，l2：x－2y＋2＝0，且l1∥l2. (1)求a的值； 解：因为l1∥l2， 所以(2a＋1)×(－2)－(a＋2)(a－1)＝0， 整理得a2＋5a＝a(a＋5)＝0， 解得a＝0，或a＝－5. 当a＝0时，l1：x＋2y＋3＝0，l2：－x－2y＋2＝0，符合题意； 当a＝－5时，l1：－9x－3y＋3＝0，l2：－6x－2y＋2＝0，l1与l2重合，不满足题意. 综上可知，a的值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线l过点P与l1，l2交于A，B，＝，求直线l的方程. 解：由(1)得l1：x＋2y＋3＝0，l2：x＋2y－2＝0， 所以两直线之间的距离为d＝＝， 而＝，所以直线l与l1，l2均垂直， 由于＝－，所以kl＝2. 又直线l过点P(0，1)， 故直线l的方程为y＝2x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x＋3y＋2＝0和2x＋3y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为6x－4y＋C1＝0和6x－4y＋C2＝0，则＝ A.4 B.2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线2x＋3y＋2＝0与直线2x＋3y＋4＝0之间的距离d1＝＝，直线6x－4y＋C1＝0与直线6x－4y＋C2＝0之间的距离d2＝＝.又由正方形的性质可知d1＝d2，即＝，解得＝4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是 A.30° B.75° C.135° D.165° 如图所示，设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x－y＋3＝0的距离为d＝＝.因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝＝，所以α＝45°，因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x＞0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是___. 4 设P，x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； 解：l2的方程即为2x－y－＝0， 所以｜a＋｜＝. 因为a＞0，所以a＝3. 所以l1和l2的距离d＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点； ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的； ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由. 解：设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上，且＝×， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即c＝或c＝. 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限， 所以3x0＋2＝0不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去. 联立 解得x0＝，y0＝. 所以P(，)即为同时满足三个条件的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新定义)(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使｜PM｜＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是 A.y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 √ √ 由题意可知，点M到直线的距离小于或等于4即为“切割型直线”.点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，故A不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2＜4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝＞4，故D不符合题意.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(创新题)已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y＝2x和l2：y＝－x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，且知直线l1：y＝2x，求直线l2的 方程； 解：由题意得，l1与l2的交点为原点，且k1·k2＝2k2＝－3，解得k2＝－， 所以直线l2的方程为y＝－x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知点Q，直线l1，l2是“Q－2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围. 解：由题意得，k1·k2＝－2. 设l1：y＋＝k1，l2：y＋＝k2， 点O到l1，l2的距离分别为d1，d2， 则d1·d2＝·＝·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 因为＋≥4，当k1＝±时等号成立， 所以－∈，·∈， 所以点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 返回 $