2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条直线的交点坐标，系统涵盖交点求解、位置关系判断及直线系应用等核心内容。通过问题导思引导学生画图分析交点与方程的关系，衔接直线方程知识，搭建数形结合的学习支架。 其亮点在于任务分层设计，从基础求解到综合应用，结合一题多解和变式探究，培养逻辑推理与数学运算素养。规律方法总结帮助学生系统掌握，典例与练习结合提升应用能力，既助学生深化理解，也为教师提供高效教学资源。

2.3.1　两条直线的交点坐标 　 第二章　直线和圆的方程 　　[单元整体设计]　在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.建立直线方程后，就可以用代数方法对直线的有关问题进行定量的研究.如利用两条直线方程成方程组解的数量，来判断两条直线的位置关系.若相交还能求出交点位置，若平行还能求出两条平行直线间的距离.就距离这个基本几何量来说，在本单元中，还要学习两点间的距离公式、点到直线的距离公式.学习计划3课时. 　　本单元内容重点是两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.难点是点到直线的距离公式的推导.在研究的过程中，体会数形结合的思想，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，提升逻辑推 理、数学运算的核心素养. 2.会根据方程解的个数判断两条直线的位置关系，提升逻辑 推理、数学运算的核心素养. 任务一　两条直线的交点坐标 1 任务二　利用直线的交点判断两直线的位置关系 2 任务三　直线系的综合应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　两条直线的交点坐标 返回 问题导思 (阅读教材P70－71，完成探究问题1) 问题1.已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系. 提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标是方程组的解. 新知构建 两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线____上，也在直线____上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的__________. l1 l2 交点坐标 由即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0，2). (1)(链教材P70例1)直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是__________. 典例 1 (0，2) (2)若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为 A.－24 B.6 C.±6 D.24 法一：联立方程得消去y得x＝.由题意知＝0，解得k＝±6.故选C. 法二：显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，令x＝0，得y＝，在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝.由题意可得＝，解得k＝±6.故选C. √ 规律方法 1.求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系. 2.当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线. 由所以交点为(－4，3).故选B. √ 对点练1.(1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为 A.(4，3) B.(－4，3) C.(－4，－3) D.(4，－3) 解方程组所以这两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)在直线mx＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得4m＋2×(－2)＋7＝0，解得m＝－. (2)已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为_____. － 返回 任务二　利用直线的交点判断两直线的位置关系 返回 问题导思 (阅读教材P70－71，完成探究问题2) 问题2.设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0①，l2：A2x＋B2y＋C2＝0②.由①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＝－(C1B2－C2B1)③.当A1B2－A2B1≠0时，方程③的解为x＝－，l1与l2相交，还有其他情况吗？ 提示：当A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0时，方程③无解，l1∥l2；当A1B2－A2B1＝C1B2－C2B1＝0时，方程③有无数个解，l1与l2重合 新知构建 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 ______ ______ ______ 相交 重合 平行 微提醒 (1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. (链教材P71例2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； 典例 2 解：解方程组 所以l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1). (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； 解：解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾，这个方程组无解， 所以直线l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. ①×2得2x－2y＋2＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合. 解：解方程组 规律方法 两条直线相交的判断方法 1.联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交. 2.两直线斜率都存在且斜率不相等. 3.两直线的斜率一个存在，另一个不存在. 对点练2.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系. (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； 解：解方程组 因此直线l1和l2相交，交点坐标为. (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； 解：方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合. (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 解：方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故 l1∥l2. 返回 任务三　直线系的综合应用 返回 角度1　直线系过定点 (一题多解)求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点. 证明：法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4； 取m＝时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)， 将点P的坐标代入原方程，左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5＝ 右边. 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4). 典例 3 法二：原方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立，则 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4). 规律方法 解含参数的直线恒过定点问题的三个策略 1.任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. 2.含有参数的直线方程若能整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则该直线必过定点(x0，y0). 3.含有参数的直线方程若能整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，则该直线必过定点，其定点可由方程组解得. 对点练3.(一题多解)无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标. 解：法一：因为(m＋1)x－y－7m－4＝0， 所以m(x－7)＋(x－y－4)＝0， 所以点P的坐标为(7，3). 法二：令m＋1＝0，即m＝－1时，有－y＋7－4＝0，所以y＝3，令m＝0时，有x－y－4＝0， 所以过定点(7，3)，即P(7，3). 所以 由 角度2　相交直线系 (一题多解)求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程. 解：法一：解方程组 所以直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2). 又直线l经过原点，所以直线l的方程为 ＝，即2x－y＝0. 法二：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， 因为直线过原点(0，0)，所以8－λ＝0，解得λ＝8， 所以直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0. 典例 4 变式探究 (变条件)将本例“经过原点”改为“与3x－4y＋5＝0垂直”，求直线方程. 解：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋(8－λ)＝0. 因为该直线与3x－4y＋5＝0垂直， 所以3(2＋λ)－4×(3－λ)＝0， 解得λ＝，所以所求直线方程为4x＋3y＋10＝0. 规律方法 求与已知两直线的交点有关的问题的解法 1.先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依据其他条件求解. 2.运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解. 对点练4.已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： (1)过点P与Q(1，4)的直线方程； 解：设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0.① 把点Q(1，4)代入方程①，化简得3－5m＝0，解得m＝， 所以过点P与Q的直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0. (2)过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程. 解：由两直线平行，得－3(m＋1)＝2－2m， 得m＝－5， 所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 返回 课堂小结 任务再现 1.两条直线的交点坐标.2.利用直线的交点判断两直线的位置关系.3.直线系过定点问题 方法提炼 消元法、直线系法 易错警示 对两直线相交条件理解不清楚；容易混淆直线交点与对应方程解的关系 随堂评价 返回 √ 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) 解方程组故选B. (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由故选A. √ 2.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线 A.恒过定点(－2，3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2，3)和点(2，3) D.都是平行直线 由所以两条直线的交点坐标为(4，－2).由题意知点(4，－2)也在直线ax＋2y＋8＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1. 3.三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为_____. －1 返回 法一：联立直线方程，解方程组故l1，l2的交点坐标为(－2，2)，由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10 ＝0. 法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程，设所求直线方程为x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)，将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0. 4.(一题多解)经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程是______________. x－4y＋10＝0 课时分层评价 返回 由则直线x＝2与直线y＝x＋1的交点坐标为(2，3).故选A. √ 1.直线x＝2与直线y＝x＋1的交点坐标为 A.(2，3) B.(－2，－3) C.(0，1) D.(0，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，由 因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐 标为 A. B. C. D. 易知直线2x＋y＋2＝0的斜率为－2，由两直线垂直条件得直线ax＋4y－2＝0的斜率－＝，解得a＝－2.联立.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由，因为直线的一个方向向量v＝，所以直线方程为y－1＝，即.故选D. √ 4.(2025·山东淄博高二质量检测)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝的直线方程为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则 A.m≠－1且m≠3 B.m≠－1且m≠－3 C.m≠1且m≠3 D.m≠1且m≠－1 因为直线l1：x＋my－6＝0与直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，所以两条直线不平行也不重合，所以m(m－2)≠3，解得m≠－1，且m≠3，所以m的取值范围是m≠－1且m≠3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则m的值可以是 A.2 B.－2 C. D.－ √ √ √ 三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况：l1∥l2，则有－ ＝ ，解得m＝－2；l1∥l3，则有－ ＝－6，解得m＝ ；l1，l2，l3相交于同一个点，由 代入3x＋my－1＝0，可得3－m－1＝0，解得m＝2.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由.因为交点在第四象限，所以解得－1＜m＜，所以实数m的取值范围是. 7.已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若关于x，y的方程组 (m，n∈R)有无穷多组解，则mn的值为____. 若方程组 有无穷多组解，即两条直线重合，即 ＝ ＝ ，所以m＝－2，n＝－2，则mn＝(－2)×(－2)＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.过直线2x－y＋4＝0与x＋y＋2＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为______________. 法一：联立 即交点坐标为(－2，0).设垂直于直线x－2y＋1＝0的直线为2x＋y＋m＝0，代入(－2，0)得－4＋m＝0，解得m＝4，所以所求直线方程为2x＋y＋4＝0. 法二：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－1)y＋4＋2λ＝0(*)，因为所求直线与x－2y＋1＝0垂直，所以(2＋λ)×1－2(λ－1)＝0，所以λ＝4，代入(*)式得2x＋y＋4＝0. 2x＋y＋4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，点A在x轴上，求点A和点C的坐标. 解：由方程组得顶点A(－1，0)，则边AB所在直线的斜率kAB＝＝1. 因为∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0， 所以直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1). 因为BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以kBC＝－2. 又点B的坐标为(1，2)， 所以BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2. 综上，A(－1，0)，C(5，－6). 由得C(5，－6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知直线l：(m＋3)x＋(m－2)y－m－2＝0，点A(－2，－1)，B(2，－2)，若直线l与线段AB相交，则实数m的取值范围为 A.(－∞，－4]∪[4，＋∞) B.(－2，2) C.[－ ，8] D.(4，＋∞) 由直线l的方程变形得，(x＋y－1)m＋(3x－2y－2)＝0.由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得 所以直线l恒过点C( ， )，kAC＝ ＝ ， kBC＝ ＝－ ，由图可知直线l的斜率k的取值范围为 k≤－ 或k≥ ，又k＝－ ，所以－ ≤－ 或－ ≥ ，即2＜m≤8或－ ≤m＜2，又m＝2时直线的方程为x＝ ，仍与线段AB相交，所以实数m的取值范围为[－ ，8].故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：(x＋ky＋k＝0，则下列结论正确的是 A.存在实数k，使得直线l2的倾斜角为 B.对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点 C.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合 D.对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直 √ 对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，此时直线l2的倾斜角为，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－1＝0，与l1重合，此时两直线有公共点；当k≠－时，有1×k－(×(＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点，故B正确；对于C，由B可知，当k＝－时，直线l2与l1重合，故C错误；对于D，要使直线l1与直线l2垂直，则应有k＋1－k＝0，该方程无解，所以对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知三条直线ax＋2y－1＝0、3x＋y＋1＝0、2x－y＋1＝0不能围成一个三角形，则实数a的值为_____________. 6或－4或－ 由题知，当直线ax＋2y－1＝0与3x＋y＋1＝0平行，即a＝6时，三条直线无法围成三角形； 当ax＋2y－1＝0与2x－y＋1＝0平行，即a＝－4时，三条直线无法围成三角形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由当直线ax＋2y－1＝0过点(－，)，即－＋－1＝0， 即a＝－时，三条直线无法围成三角形. 综上，当a＝6或a＝－4或a＝－时，三条直线无法围成三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知直线m：()x＋y＋4－3a＝0. (1)求证：直线m过定点M； 解：证明：方程x＋()y＋4－3a＝0化为a)＋()＝0， 故直线m恒过定点M. 由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程. 解：设直线n：＋＝1， 则由题意得 所以直线n：＋＝1，即2x＋y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新角度)若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是 A.2x－3y＋1＝0 B.3x－2y＋1＝0 C.2x－3y－1＝0 D.3x－2y－1＝0 √ 因为A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，所以2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0，所以两点)都在同一条直线2x－3y＋1＝0上，故两点(所确定的直线方程是2x－3y＋1＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知△ABC的顶点A，AB边上的高所在直线为x－y－3＝0，D为AC的中点，且BD所在直线方程为3x＋y－7＝0. (1)求顶点B的坐标； 解：由A及AB边上的高所在直线为x－y－3＝0， 得AB所在直线方程的斜率为－1， 则直线AB的方程为y－3＝－()， 即x＋y－7＝0. 又BD所在直线方程为3x＋y－7＝0， 由求得点B(). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)求BC边所在的直线方程. 解：设C，又A，D为AC的中点， 则D(，). 解得C， 又B，则＝， 化简得直线BC的方程为19x＋y－7＝0. 由已知得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.3.1　两条直线的交点坐标 返回 $