3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦抛物线标准方程及性质的应用，系统梳理直线与抛物线的位置关系（相离、相切、相交的判别方法）、焦点弦长计算（一般弦长公式、焦点弦长x1+x2+p）、中点弦问题解法（点差法、一般法），构建从抛物线定义到性质应用的递进式学习支架。 资料通过类比椭圆双曲线位置关系培养推理意识，一题多解与变式探究提升数学运算能力，“微思考”引导学生用数学眼光发现问题。课中辅助教师高效授课，课后分层评价助力学生查漏补缺，强化逻辑推理与直观想象核心素养。

第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标 1.掌握直线与抛物线的位置关系. 2.会解决与抛物线有关的焦点弦、中点弦问题. 3.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦和中点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 任务一　直线与抛物线的位置关系 问题1.类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系. 提示：如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交. 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，没有交点. (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. [微思考]　直线与抛物线只有一个公共点，就是直线与抛物线相切吗？ 提示：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，只有一个公共点，直线与抛物线是相交的情况. 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点. 解：联立方程组消去y， 整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， 此时直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k＞1时，l与C没有公共点. 学生用书⬇第134页 直线与抛物线交点问题的解题思路 1.判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数. 2.直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切. 对点练1.已知抛物线的方程为x2＝4y，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 解：由题意知，可设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即y＝kx＋k－2， 联立方程组整理得x2－4kx－4k＋8＝0， 则Δ＝(－4k)2－4(8－4k)＝16(k2＋k－2)， 当Δ＝0时，即k2＋k－2＝0，解得k＝－2，或k＝1，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＞0时，即k2＋k－2＞0，解得k＜－2，或k＞1，此时方程有两个不等的实数解， 即直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＜0时，即k2＋k－2＜0，解得－2＜k＜1，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点. 综上所述，当k＝－2，或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点； 当k＜－2，或k＞1时，直线与抛物线有两个公共点； 当－2＜k＜1时，直线与抛物线没有公共点. 任务二　弦长问题 问题2.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图，如何求弦AB的长度？ 提示：(1)用弦长公式.(2)根据抛物线的定义｜AB｜＝x1＋x2＋p. 直线与抛物线相交的弦长问题 1.一般弦长 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则｜AB｜＝·或｜AB｜＝·(k≠0). 2.焦点弦长 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，｜AF｜＝x1＋，｜BF｜＝x2＋，故｜AB｜＝x1＋x2＋p. (一题多解)已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝p，求AB所在的直线方程. 解：由题意知，焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2). 若AB⊥x轴，则｜AB｜＝2p＜p，不满足题意. 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 联立 法一：消去y，整理得k2x2－x＋＝0. 因为Δ＞0，所以由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋. 所以＝(x1＋)＋(x2＋)＝x1＋x2＋p＝2p＋＝p，解得k＝±2. 所以AB所在的直线方程为y＝2或y＝－2， 即2x－y－p＝0，或2x＋y－p＝0. 法二：消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以｜AB｜＝ ＝·＝·＝2p＝p，解得k＝±2. 所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0，或2x＋y－p＝0. [变式探究] (变设问)若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离. 解：如图所示，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，E.由定义知｜AC｜＋｜BD｜＝p，则梯形ABDC的中位线｜ME｜＝p，所以点M到y轴的距离为p－＝p. 学生用书⬇第135页 求弦长问题的方法 1.一般弦长：设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，｜AB｜＝｜x1－x2｜，或｜AB｜＝｜y1－y2｜(k≠0). 2.焦点弦长：对抛物线y2＝2px，p＞0，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB｜＝x1＋x2＋p. 对点练2.(1)若抛物线y2＝12x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，则｜AB｜等于(　　 ) A.2 B. C .12 D.13 (2)若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，｜AB｜＝8，则k＝　　　　. 答案：(1)B　(2)2 解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－7x＋4＝0，所以x1＋x2＝7，x1x2＝4，所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝×＝.故选B. (2)若k＝0，此时y＝kx－2与抛物线y2＝8x只有一个交点，不符合题意，故k≠0.联立整理得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由Δ＝(4k＋8)2－16k2＝64k＋64＞0，解得k＞－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，因为｜AB｜＝x1＋x2＋4＝8，故＝4，解得k＝－1(舍去)或k＝2，所以k＝2. 任务三　与抛物线有关的焦点弦的相关结论 (1)(一题多解)已知抛物线y2＝8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知抛物线C的方程为y2＝2px，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且＝3，则直线l的倾斜角为　　　　. 答案：(1)C　(2)60° 解析：(1)法一：由题意知p＝4.因为抛物线过焦点的弦满足＋＝，又｜AF｜＝6，所以｜BF｜＝3.故选C. 法二：由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2.因为｜AF｜＝6，所以xA＝4.不妨设点A在第一象限，则yA＝4，所以kAF＝＝2，故直线AB的方程为y＝2x－4.联立整理得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，所以xB＝1，所以｜BF｜＝xB＋2＝3.故选C. (2)如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作AM，BN垂直于m，作BE⊥AM.因为＝，＝，且＝3，所以＝3，则＝4，＝－＝3｜BF｜－｜BF｜＝2.在△ABE中，所以cos∠BAE＝＝＝，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°. 抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常用结论 　　如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾斜角为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D.连接AN，BN，CF，DF，AO，BO. 则有：(1)｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝，｜AB｜＝x1＋x2＋p＝. (2)＋＝. (3)S△AOB＝. (4)以AB为直径的圆与准线l相切，以AF、BF为直径的圆与y轴相切. (5)∠CFD＝90°. (6)y1y2＝－p2，x1x2＝. 对点练3.(多选)已知抛物线y2＝2px经过点M，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A，B，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是(　　) A.p＝2 B.≥4 C.·＝－4 D.k1k2＝－4 答案：ABD 解析：因为抛物线y2＝2px经过点M，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F，设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝m2y1y2＋m＋1＝1.所以＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；对于C，所以＝，＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；对于D，k1k2＝·＝－4，故D正确.故选ABD. 任务四　中点弦问题 (一题多解)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程. 解：法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝8x1，＝8x2， 所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2). 又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)， 即＝4，所以kAB＝4. 所以AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 法二：(一般法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立消去x得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B的纵坐标. 由根与系数的关系得y1＋y2＝. 又y1＋y2＝2，所以k＝4， 所以AB所在直线的方程为y＝4(x－4)＋1，即4x－y－15＝0. 中点弦问题的解题策略 学生用书⬇第136页 对点练4.(1)已知直线l与抛物线C：y＝3x2相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则直线l的方程为(　　) A.12x－y－20＝0 B.12x－y＝0 C.6x－y－10＝0 D.x－2y＋3＝0 (2)若A，B是抛物线y2＝4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P(4，0)，则弦AB中点的横坐标为　　　　　. 答案：(1)A　(2)2 解析：(1)设A，B，由得y1－y2＝3＝3.因为线段AB的中点坐标为，所以x1－x2≠0，x1＋x2＝4，所以＝3＝12，即直线l的斜率为12，所以直线l的方程为y－4＝12，即12x－y－20＝0.故选A. (2)设点A，B的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2)，则＝4x1，＝4x2，两式相减得＝4.因为x1≠x2，即有y1＋y2≠0，设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M(xM，yM)，则k＝＝＝，从而AB的垂直平分线l的方程为y－yM＝－.又点P在直线l上，所以－yM＝－，而yM≠0，解得xM＝2，故弦AB中点的横坐标为2. [教材拓展5]　圆锥曲线的光学性质及其应用(源于教材P140阅读与思考) 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C的右支上一点，直线l与C相切于点M.由点F2出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线(在光线投射点与分界面垂直的直线)交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用.若＝，则C的离心率为　　　. 答案： 解析：如图所示，过点F1作F1A⊥l于点A，延长F1A交MF2的延长线于点B.设l上有一点T，由题意可得∠TMQ＝∠F1MA，∠QMN＝∠F2MN.又NM⊥l，所以∠TMQ＝∠F2MA，所以∠F1MA＝∠F2MA，故＝.由双曲线定义可得－＝2a，故－＝＝2a.因为F1B⊥l，NM⊥l，所以F1B∥MN，故＝⇒＝，故离心率为e＝＝＝＝. 任务再现 1.直线与抛物线的位置关系.2.弦长问题及中点弦、焦点弦问题 方法提炼 待定系数法、数形结合法、点差法 易错警示 混淆焦点弦长公式与一般的弦长公式 1.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 答案：D 解析：当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个公共点，此时直线l与抛物线相交；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个公共点时，直线l与抛物线相切.故选D. 2.(多选)(2025·八省适应性测试)已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则(　　) A.p＝4 B.｜MF｜≥｜OF｜ C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 答案：ABC 解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，即得p＝4，故A正确；对于B，设M在y2＝8x上，所以x0≥0，所以＝x0＋≥＝，故B正确；对于C，因为以M为圆心且过F的圆半径为＝x0＋2等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，故C正确；对于D，当∠OFM＝120°时，x0＞2，结合抛物线的对称性不妨设M在x轴上方，则＝tan 60°＝，且＝8x0，y0＞0，所以－8y0－16＝0，y0＝4或y0＝－舍.所以△OFM的面积为S△OFM＝×＝4，故D错误.故选ABC. 3.已知抛物线y2＝4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，则弦AB的长｜AB｜＝　　　　. 答案：8 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线方程为y2＝4x，知p＝2.又弦AB中点M的横坐标为3，所以x1＋x2＝6，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 4.已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为，则直线l的方程为　　　　　　. 答案：2x－y－1＝0 解析： 因为抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，所以易得抛物线的方程为y2＝4x，设M，N，如图所示，因为线段MN的中点为Q，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x1≠x2，联立－＝4，所以＝＝2，故直线l的方程为y－1＝2，即2x－y－1＝0. 课时分层评价35　抛物线的标准方程及性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知命题p：k＜1，命题q：直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2有两个公共点，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由题意知，联立消去y整理可得x2－kx－1＝0，则Δ＝k2＋4＞0恒成立，则直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2必定有两个交点，则p⇒q显然成立，q⇒p不成立.故选A. 2.(2025·安徽芜湖高二质量监控)抛物线y2＝2px的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能 答案：B 解析：设A，F，则AF的中点坐标为，当a＝0时，线段FA的中垂线方程为x＝0，与抛物线相切，当a≠0时， kAF＝－，所以中垂线的斜率为k＝，所以直线AF的中垂线方程为y＝x＋，代入y2＝2px，可得y2－2ay＋a2＝0，所以Δ＝4a2－4a2＝0，所以线段FA的中垂线与抛物线相切.故选B. 3.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　 ) A.8 B. C. D. 答案：B 解析：联立消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，所以｜AB｜＝·＝×＝.故选B. 4.已知直线y＝x－2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设A，B，则＝4x1，＝4x2，相减得－＝4x1－4x2⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，由于＝kAB＝＝1，所以y1＋y2＝4，所以yD＝＝2，将其代入y＝x－2中可得xD＝4，所以D(4，2)，故kOD＝.故选C. 5.(一题多解)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　 ) A. B. C. D.3 答案：A 解析：法一：设与抛物线相切，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－.所以最小值为两平行线之间的距离d＝＝.故选A. 法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.故选A. 6.(多选)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有(　　) A.直线l的方程为x－y－2＝0 B.原点到直线l的距离为 C.｜AB｜＝16 D.以AB为直径的圆过原点 答案：ABC 解析：如图所示，对于A，抛物线的焦点为F(2，0)，所以直线l的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，故A正确；对于B，d＝＝，故B正确；对于C，联立⇒x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，B，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16，故C正确；对于D，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝2x1x2－2＋4＝2×4－2×12＋4＝－12＜0，故D错误.故选ABC. 7.(易错题)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝　　　　. 答案：0或1 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意得Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1. 8.过抛物线M：y2＝4x的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD，分别交M于A，B，C，D，则＋的最小值为　　　　. 答案：16 解析：由抛物线M：y2＝4x可知F，由题意可知直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为y＝k，A，B.直线AB的方程与抛物线方程y2＝4x联立，得k2x2－x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，＝x1＋x2＋2＝＋4，同理＝4＋4k2，所以＋＝8＋4k2＋≥16，当且仅当k＝±1时等号成立，即＋的最小值为16. 9.已知抛物线C：y2＝2x，斜率为k的直线l过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝　　　　. 答案：3 解析：设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得消去y并整理可得k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2＝0，由根与系数的关系，可得x1x2＝x20，则y1y2＝－＝－2x0.因为·＝3，所以x1x2＋y1y2＝3，即－2x0＝3，解得x0＝3(负值舍去). 10.(13分)(2025·安徽合肥高二期末)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M. (1)求抛物线的标准方程； (2)若斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段的长. 解：(1)抛物线经过点M，且顶点在坐标原点，同时关于x轴对称， 所以设抛物线的方程为y2＝2px，则＝2p×2，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. (2)抛物线y2＝4x的焦点为F， 直线l的方程为y＝x－1， 联立消去y并化简得x2－6x＋1＝0， Δ＝36－4＝32＞0，x1＋x2＝6， 所以＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　 ) A.(1，－1) B.(2，0) C. D.(1，1) 答案：A 解析：因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，所以kPQ＝.又因为P，Q关于直线l对称，所以kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，所以PQ中点的纵坐标为＝－1.又因为PQ的中点在直线l上，所以PQ中点的横坐标为＋2＝(－1)＋2＝1，所以线段PQ的中点坐标为(1，－1).故选A. 12.(多选)已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，下列正确的判断有(　　) A.x1＋x2≥2 B.△AOB为钝角三角形 C.点F在圆M外部 D.直线A1F平分∠AFO 答案：ABD 解析：如图所示，对于A，由抛物线的焦半径公式可知＝x1＋x2＋2≥2p＝4，所以x1＋x2≥2，故A正确；对于B，·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2，令直线l的方程为x＝my＋1，代入y2＝4x得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，所以·＝－3＜0，所以△AOB是钝角三角形，故B正确；对于C、D，由＝可知∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥OF，所以∠AA1F＝∠OFA1＝∠AFA1，所以直线FA1平分∠AFO，同理可得FB1平分∠BFO，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1＝90°，所以圆M经过点F，故C错误，D正确.故选ABD. 13.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上两点A，B在第一象限，且满足＝3，＝7，＝5，则直线AB的斜率为　　　　　. 答案： 解析：设A，B，如图所示，由题意可知AB的斜率存在，设AB的斜率为k.因为A，B都在x轴上方，由题意知k＞0，由抛物线定义知＝x1＋，＝x2＋，则＝4.又因为＝·＝5，所以＝，解得k＝. 14.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为3，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)过点(2，0)作直线交抛物线于点A，B，求△AOB面积的最小值(其中O为坐标原点). 解：(1)由题意知F，准线方程l：x＝－， 由抛物线定义可知：点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离， 所以3＋＝5， 解得p＝4.所以y2＝8x. (2)由(1)知， 抛物线C：y2＝8x，直线AB过(2，0)， 如图所示. 可设直线AB的方程为x＝ty＋2，A，B，不妨设y1＞0， 联立消x得y2－8ty－16＝0， 所以y1y2＝－16，y2＝， 所以S△AOB＝×2×＝＝y1＋≥2＝8， 当且仅当y1＝，即y1＝4时取等号， 所以△AOB面积的最小值为8. 15.(5分)已知抛物线C1：y2＝12x的焦点为F，圆C2：x2＋y2－6x＝0，过点F的直线l与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于M，N两点，且点A，M在同一象限，则＋4的最小值为(　　) A.5 B.12 C.16 D.20 答案：B 解析：圆C2：x2＋y2－6x＝0，圆心(3，0)，半径为3，抛物线C1：y2＝12x的焦点F(3，0).由题意得直线l斜率不为0，设直线l：x＝my＋3，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＞0，x2＞0，联立整理得y2－12my－36＝0，则y1y2＝－36，x1x2＝＝9，则＋4＝＋4＝(x1＋3)－3＋4(x2＋3)－12＝x1＋4x2≥2＝12(当且仅当x1＝6，x2＝时等号成立)，故＋4的最小值为12.故选B. 16.(17分)过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点，求证： (1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB过定点. 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)kOA＝，kOB＝， 因为OA⊥OB， 所以kOA·kOB＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0， 因为＝2px1，＝2px2， 所以·＋y1y2＝0， 因为y1≠0，y2≠0， 所以y1y2＝－4p2， 所以x1x2＝4p2. (2)当直线AB的斜率存在时， 因为＝2px1，＝2px2， 所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 所以＝， 所以kAB＝， 所以直线AB：y－y1＝(x－x1)， 所以y＝＋y1－， 所以y＝＋， 因为＝2px1，y1y2＝－4p2， 所以y＝＋， 所以y＝(x－2p)， 所以直线AB过定点(2p，0). 当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1， 所以直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px， 所以A(2p，2p)，故直线AB过定点(2p，0). 综上，直线AB过定点(2p，0). 学生用书⬇第137页 学科网（北京）股份有限公司 $