3.3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

3.3.1　抛物线及其标准方程 学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.掌握抛物线定义的应用，体会数形结合思想和提升直观想象的核心素养. 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　抛物线的定义 (阅读教材P130，完成探究问题1) 问题1.如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线，这条曲线是什么曲线？ 提示：抛物线.由画图过程可得抛物线的定义. 抛物线的定义 定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 焦点 点F叫做抛物线的焦点 准线 直线l叫做抛物线的准线 [微提醒]　“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). [微思考]　在抛物线定义中，为什么强调定点F不能在定直线l上？ 提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. (1)在平面直角坐标系内，到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点的轨迹是(　　) A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 (2)已知动点M的坐标满足方程5＝，则动点M的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.以上都不对 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)设到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点为P(x，y)，由题意得＝，两边平方化简得(x－1)2＝0，即x＝1，即到点A(1，1)和直线y＝1的距离相等的点的轨迹方程为x＝1，为一条直线.故选A. (2)等式5＝＝，因此该等式表示动点M到原点O的距离等于到定直线3x＋4y－12＝0的距离，而直线3x＋4y－12＝0不过原点O，所以动点M的轨迹是抛物线.故选C. 　　利用抛物线的定义处理与之相关的轨迹或轨迹方程问题，处理过程中要注意定点是否在定直线上. 对点练1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 答案：A 解析：设C的坐标为(x，y)，圆C的半径为r，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为A.因为圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝－2相切，所以｜CA｜＝r＋1，C到直线y＝－2的距离d＝r，所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝－3的距离，由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线.故选A. 学生用书⬇第128页 任务二　抛物线的标准方程 (阅读教材P130－131，完成探究问题2) 问题2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示：我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设｜KF｜＝p(p＞0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－.设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}.则M到F的距离为｜MF｜＝，M到直线l的距离为， 所以 ＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p＞0). 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) (，0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) (－，0) x＝ x2＝2py(p＞0) (0，) y＝－ x2＝－2py(p＞0) (0，－) y＝ [微提醒]　(1)标准方程的特征：等号的左边是某个变量的平方，等号的右边是另一个变量的一次单项式.(2)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离.(3)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 角度1　根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程 (链教材P132例1(1))求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2＝x；(2)x2＝－y；(3)x2＋12y＝0；(4)y2＝ax(a≠0). 解：(1)对于y2＝x，焦点在x轴正半轴上， 焦点坐标为，准线方程为x＝－. (2)对于x2＝－y，焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为，准线方程为y＝. (3)对于x2＋12y＝0，即x2＝－12y， 焦点在y轴负半轴上， 焦点坐标为(0，－3)，准线方程为y＝3. (4)当a＞0时，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，2p＝a，所以p＝，＝，因此焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 当a＜0时，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，2p＝－a，所以p＝－，＝－，因此焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 综上可得，当a≠0时，抛物线的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程的基本方法 　　已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程，要注意p＞0，焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数为负，焦点在负半轴. 对点练2.(双空题)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝　　　　，准线方程为　　　　. 答案：2　 x＝－1 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. 角度2　求抛物线的标准方程 (链教材P132例1(2))根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程是y＝3； (2)焦点到准线的距离为； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解：(1)由准线方程为y＝3，知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3， 则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y. (2)由焦点到准线的距离为，所以p＝， 故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y. (3)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0). 当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 学生用书⬇第129页 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数. 对点练3.根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是双曲线－＝1的焦点之一. 解：(1)由已知可得焦点坐标为(0，2)，因此设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)， 所以＝2，即p＝4，所以所求抛物线的标准方程是x2＝8y. (2)因为双曲线－＝1中，c＝＝5. 又因为双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0，－5)或(0，5). 如果抛物线的焦点坐标为(0，－5)，则设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)， 所以＝5，即p＝10，所以所求抛物线的标准方程是x2＝－20y. 如果抛物线的焦点坐标为(0，5)，则设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)， 所以＝5，即p＝10，所以所求抛物线的标准方程是x2＝20y. 任务三　抛物线定义的应用 (1)(一题多解)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，若点A在C上，则＝(　　) A. B. C. D. (2)若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)法一：因为点A在C上，所以＝2p·2，得p＝，所以抛物线的准线方程为y＝－.由抛物线的定义，等于A到准线的距离，即2＋＝.故选C. 法二：因为点A在C上，所以＝2p·2，得p＝，所以F，所以＝＋＝2＋＝，所以＝.故选C. (2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝ ＝. [变式探究] (变条件)若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，其他条件不变，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±，所以点A在抛物线内部.因为点P为抛物线上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是3＋＝. 即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是. 1.抛物线定义的两种应用 实现距离转化 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题 解决最值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 2.标准方程下的焦半径公式 抛物线 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 焦半径公式 x0＋ －x0 y0＋ －y0 由抛物线的焦半径公式可知，抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为，此时该点为坐标原点. 对点练4.(1)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A，则＋的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为抛物线C上一点，若｜MF｜＝6，则点M的横坐标为　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)4 解析： (1)由题意可知，抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0，1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，如图所示.由抛物线定义可知＝，所以＋＝＋，则当A，P，Q共线时，｜PQ｜＋｜PA｜取得最小值，所以＋的最小值为3－(－1)＝4.故选B. (2)设M，由y2＝8x，得p＝4，所以｜MF｜＝6＝x1＋2，解得x1＝4. 学生用书⬇第130页 任务四　抛物线的实际应用 (链教材P132例2)河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时，载货小船开始不能通航？ 解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， 由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，所以42＝(－2p)×(－5)，故p＝，得x2＝－y. 当船面两侧和抛物线接触时，船刚好不能通航. 设此时船面宽为AA'，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－. 又知船面露出水面上的部分高为0.75 m， 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距｜yA｜＋0.75＝2(m)时，载货小船开始不能通航. 求解抛物线实际应用题的5个步骤 对点练5.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图所示，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)(　　) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8.25 cm 答案：C 解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，将点代入，得52＝2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y.设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h，则两抛物线在第一象限的交点为，代入到x2＝4y，得42＝4，解得h＝7.故选C. 任务再现 1.抛物线的定义.2.抛物线的标准方程.3.抛物线定义的应用.4.抛物线的实际应用 方法提炼 待定系数法、定义法、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想 易错警示 混淆抛物线的焦点位置和方程形式；错误理解p的含义 1.(2025·辽宁沈阳高二月考)抛物线y＝ax2的焦点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：易知y＝ax2⇒x2＝y＝2×y，故其焦点在y轴上，坐标为.故选D. 2.(多选)过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A.x2＝－y B.x2＝－8y C.y2＝－8x D.y2＝－x 答案：BD 解析：若焦点在x轴上，设方程为y2＝ax(a≠0)，将点P(－4，－2)的坐标代入，得4＝－4a，解得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by(b≠0)，将点P(－4，－2)的坐标代入，得16＝－2b，解得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选BD. 3.抛物线y2＝12x上一点M的横坐标是3，纵坐标大于0，则点M到焦点的距离是　　　　. 答案：6 解析：由抛物线的定义知，｜MF｜＝3＋＝3＋3＝6. 4.已知点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，点P(2，3)，且点M为抛物线C上任意一点，则｜MF｜＋｜MP｜的最小值为　　　　. 答案：7 解析：因为点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，所以＝4，解得p＝8，所以抛物线C的方程为x2＝16y.由抛物线的定义知：点M到点F(0，4)的距离等于点M到准线y＝－4的距离，结合点P(2，3)与抛物线C的位置关系可知，｜MF｜＋｜MP｜的最小值是点P(2，3)到准线y＝－4的距离，故｜MF｜＋｜MP｜的最小值为3－(－4)＝7. 课时分层评价33　抛物线及其标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.抛物线x2＝ay的焦点坐标为，则其准线方程为(　　) A.x＝－1 B.x＝1 C.y＝－1 D.y＝1 答案：C 解析：由题意可知该抛物线开口向上，又焦点坐标为，所以准线方程为y＝－1.故选C. 2.过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　 ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 答案：D 解析：由题意知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义.故选D. 3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q，则△PQF周长的最小值为(　　) A.13 B.12 C.10 D.8 答案：A 解析： y2＝2×4x，故F(2，0)，记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d'，如图所示.则＋＋＝＋d＋≥d'＋5＝8＋5＝13.故选A. 4.已知F是抛物线C：x2＝－4y的焦点，A，B是抛物线C上的两点，＋＝10，则线段AB的中点到x轴的距离为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：抛物线C：x2＝－4y的准线方程为y＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，得｜AF｜＝1－y1，｜BF｜＝1－y2.由＋＝10，得1－y1＋1－y2＝10，解得y1＋y2＝－8.因此线段AB的中点纵坐标为＝－4，所以线段AB的中点到x轴的距离为4.故选B. 5.(多选)设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点M在抛物线C上，点N，若＝10，且NM⊥NF，则抛物线C的方程可以为(　　) A.y2＝3x B.y2＝4x C.y2＝36x D.y2＝18x 答案：BC 解析：设M，因为＝10，所以x1＋＝10，如图所示.因为NM⊥NF，所以·＝0，即·(，－3)＝0，所以x1－3(y1－3)＝0，所以－3＝0，解得y1＝6.所以36＝2px1＝2p，解得p＝2或p＝18.所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝36x.故选BC. 6.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点(　　 ) A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 答案：B 解析：若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图所示，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2p×0.25＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1).所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.故选B. 7.抛物线x＝4y2的焦点到准线的距离为　　　　. 答案： 解析：因为x＝4y2，所以y2＝x.由y2＝2px的焦点到准线的距离为p，可得抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为. 8.已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则｜FA｜＋｜FB｜＋｜FC｜的值为　　　　. 答案：3 解析：设A，B，C，抛物线y2＝2x，则F(，0).因为焦点F恰好是△ABC的重心，则x1＋x2＋x3＝3×＝，故＋＋＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝(x1＋x2＋x3)＋＝3. 9.(2025·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－的最大值为　　　　. 答案： 解析：如图所示，由抛物线的定义知，F(1，0)，d＝｜PF｜，所以d－＝｜PF｜－＝＝，当点P位于射线FA与抛物线交点时，取最大值. 10.(13分)花坛水池中央有一喷泉，水管｜O'P｜＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少m？(精确到1 m). 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， 由题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝，故得抛物线方程为x2＝－y. 设点A(x，－2)，x＞0，在抛物线上，将A(x，－2)，代入抛物线方程得x＝，则｜O'A｜＝(＋1)m， 因此，所求水池的直径至少为2(1＋)m，约为5 m，即水池的直径至少应设计为5 m. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2距离之和的最小值是(　　) A.＋1 B.2 C. D.3 答案：D 解析：由题意可知x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，如图所示.设抛物线的焦点为F，则F(1，0)，所以动点P到l2的距离等于P到x＝－1的距离加1，即动点P到l2的距离等于＋1.所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离加1，即其最小值是＋1＝3.故选D. 12.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度AB＝6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为　　　m. 答案：3.25 解析：如图所示，取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C.设抛物线方程x2＝－2py(p＞0)，将点C代入抛物线方程解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝－4y，因为行车道总宽度AB＝6 m，所以将x＝3代入抛物线方程，解得y＝－2.25 m，所以车辆通过隧道的限制高度为6－2.25－0.5＝3.25 m. 13.(双空题)已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F相交，记上方的交点为B，则m＝　　　　；△FAB周长的取值范围为　　　　. 答案：2　(4，6) 解析：如图所示，设直线l与抛物线Z的准线交于点C，由所以m＝2.由所以A，由所以B(t，1＋).由抛物线的定义得｜AF｜＝｜AC｜，所以△FAB周长＝｜FA｜＋｜FB｜＋｜AB｜＝｜AC｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝｜BC｜＋2＝＋4.因为t∈(0，2)，所以＋4∈(4，6). 14.(15分)已知动点M到点F的距离与到y轴的距离的差为2. (1)求动点M的轨迹方程； (2)若过点F的直线l与动点M的轨迹交于A，B两点，直线x＝－2与x轴交于点H，过A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E，若S△DHF∶S△EHF＝2∶1(S表示面积)，求. 解 ：(1)因为M到F的距离与到y轴的距离的差为2， 则M到F的距离与到直线x＝－2的距离相等， 所以动点M的轨迹是抛物线，其方程为y2＝8x. (2)设A，B. 因为S△DHF∶S△EHF＝∶＝2∶1，则y1＝－2y2，所以＝＝4. 又因为＝＝＝2，即x1－2＝2(2－x2)，则x1＋2x2＝6，解得x1＝4，x2＝1， 故＝x1＋x2＋p＝4＋5＝9. 15.(5分)点P到点F的距离比它到直线l：x＝1的距离大4，则点P的轨迹是(　　) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.以上都不对 答案：D 解析：由点P到点F的距离比它到直线l：x＝1的距离大4，知点P既可以在直线l的左侧，也可以在直线l的右侧，当点P在直线l：x＝1的左侧时，点P到点F的距离等于它到直线x＝5的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝5为准线的抛物线在直线l的左侧部分；当点P在直线l：x＝1的右侧时，点P到点F的距离等于它到直线x＝－3的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线在直线l的右侧部分，所以点P的轨迹包含以上两部分，选项ABC错误，D正确. 故选D. 16.(17分)如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电. (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4). 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离， 所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线. 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4， 故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即｜MA｜＋｜MB｜的值最小.如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H， 由题意得｜MB｜＝｜MH｜， 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时， ｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距4－＝ km处时，所用电线长度最短，最短长度为4＋2＝6 km. 学生用书⬇第131页 学科网（北京）股份有限公司 $