3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦双曲线标准方程及性质的应用，系统梳理直线与双曲线的位置关系（类比椭圆，突出渐近线平行时的特殊情况），弦长公式及中点弦问题（点差法应用），直线与双曲线的综合问题，构建从基础到综合的学习支架。 以问题链引导类比探究，培养数学眼光，通过分类讨论直线斜率、判别式应用发展数学思维，借助规范解题步骤强化数学语言。课中助力分层教学，课后通过对点练和评价帮助学生查漏补缺，提升逻辑推理与数学运算素养。

第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 学习目标 1.理解判断直线与双曲线的位置关系的方法. 2.会求解有关弦长问题. 3.会解决直线与双曲线的综合问题. 4.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 任务一　直线与双曲线的位置关系 问题1.类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示：有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况. 问题2.画出一条双曲线，观察并探索可否用公共点的个数来区分三种位置关系？ 提示：当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并非相切关系，所以不能用公共点个数来区分. 直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点. [微提醒]　直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. (1)过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程. (2)直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当a为何值时，A，B在双曲线的同一支上？ 解：(1)若直线的斜率不存在， 则直线方程为x＝，此时仅有一个交点(，0)，满足条件. 若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入到双曲线方程， 整理得(25－7k2)x2－7×2k(5－k)x－7(5－k)2－7×25＝0. 当k＝时，方程无解，不满足条件. 当k＝－时，方程2×5x×10＝875有一解，满足条件. 当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件. 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝和y＝－x＋10. (2)把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1， 整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 当a≠±时，Δ＝24－4a2. 由Δ＞0得－＜a＜且a≠±，此时有两解，直线与双曲线有两个交点. 若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝＞0， 所以a＜－，或a＞. 故当－＜a＜－，或＜a＜时，A，B两点在双曲线的同一支上. 学生用书⬇第123页 [变式探究] (变结论)本例(2)条件不变，当a为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？ 解：把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1， 整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 当a≠±时，Δ＝24－4a2. 由Δ＞0得－＜a＜且a≠±，此时有两解，直线与双曲线有两个交点. 若A，B分别在双曲线的两支上，需x1x2＝＜0，所以－＜a＜， 故当－＜a＜时，A，B两点分别在双曲线的两支上. 1.解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. 2.直线与双曲线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. 注意：(1)对直线的斜率是否存在进行讨论.(2)方程思想和数形结合思想的应用. 对点练1.(1)(一题多解)直线3x－4y＝0与双曲线－＝1的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的左支交于不同两点，则实数k的取值范围是　　　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)法一：联立－＝1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.故选A. 法二：由－＝0知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0.因为直线3x－4y＝0是双曲线－＝1的一条渐近线，因此交点个数为0.故选A. (2)由消去y整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.因为该方程有两个不等且小于0的根，所以 解得－＜k＜－1，所以实数k的取值范围为(－，－1). 任务二　弦长公式及中点弦问题 (链教材P126例6)已知双曲线的方程是－y2＝1. (1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程； (2)过点P(3，1)作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l'的方程. 解：(1)设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， 所以Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)＞0， 所以m2＞3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－m，x1x2＝. 由弦长公式得｜AB｜＝｜x1－x2｜ ＝＝， 所以＝， 即m＝±5，满足m2＞3， 所以直线l的方程为y＝x±5. (2)设直线l'与双曲线交于A'(x3，y3)， B'(x4，y4)两点， 点P(3，1)为A'B'的中点， 则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由－4＝4，－4＝4， 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， 所以＝， 所以l'的方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程， 整理得5y2－10y＋＝0， 满足Δ＞0， 即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0. 　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 对点练2.(一题多解)已知双曲线的方程为x2－＝1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 解：法一：设被点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0， 所以k2－2≠0，且Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜，且k≠±. 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝. 因为点B(1，1)是弦的中点， 所以＝1，所以k＝2＞. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 法二：设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 且 由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以kMN＝＝2， 所以直线MN的方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. 由消去y，得2x2－4x＋3＝0. 又Δ＝－8＜0，所以直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦. 学生用书⬇第124页 任务三　 直线与双曲线的综合问题 已知双曲线E：－＝1的两条渐近线分别为l1：y＝，l2：y＝－. (1)求双曲线E的离心率； (2)O为坐标原点，过双曲线上一点P作直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、第四象限)，且＝2，求△AOB的面积. 解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为l1：y＝， l2：y＝－， 所以＝，e＝＝＝＝， 所以双曲线E的离心率为. (2)由(1)得＝，则可设双曲线E：－y2＝λ，λ＞0. 因为P在双曲线上， 所以λ＝2－1＝1，则双曲线E的方程为－y2＝1. 又点A，B分别在l1：y＝与l2：y＝－上， 设A，B，因为＝2， 所以＝2， 则x1＝，x2＝3－3， 又＝＝x1＝， 同理得＝x2＝， 设OA的倾斜角为θ，且tan θ＝＝，则sin∠AOB＝sin 2θ＝＝＝＝， 所以S△AOB＝sin∠AOB＝×××＝. 　　双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线、轨迹、向量的应用及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 对点练3.设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t.求t的值及点D的坐标. 解：(1)由题意知a＝2， 所以一条渐近线方程为y＝ x， 即bx－2y＝0，所以＝， 又c2＝a2＋b2＝12＋b2， 所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3， 所以双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)， 则由＋＝t，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)，所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方程，消去y得x2－16x＋84＝0， 则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1－2)＋(x2－2)＝(x1＋x2)－4＝12， 所以 由＋＝t， 得(16，12)＝(4t，3t)， 所以t＝4，点D的坐标为(4，3). 任务再现 1.直线与双曲线的位置关系.2.弦长公式及中点弦问题.3.直线与双曲线的综合问题 方法提炼 定义法、数形结合法、方程思想、分类讨论思想 易错警示 直线方程联立双曲线方程消元后，忽视对二次项系数的讨论，代数运算中的运算失误 1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 答案：A 解析：由题意，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，可得其渐近线方程为y＝±x.因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点.故选A. 2.已知直线l与双曲线－＝1交于A，B两点，且弦AB的中点为M，则直线l的方程为　　　　　　　　　　. 答案：3x－2y－6＝0 解析：设A，B，则－＝1①，－＝1②.又弦AB的中点为M，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝3，①－②得－＝0，即有＝y1－y2，可得直线l的斜率为k＝＝，即有直线l的方程为y－＝，化简得3x－2y－6＝0，经检验满足题意. 3.若直线l：y＝k与双曲线C：－＝1恰好有一个交点，则直线l的斜率的所有可能值为　　　　　. 答案：±或± 解析：将y＝k(x－2)代入双曲线方程－＝1中得到：－＝1，展开整理得(7－9k2)x2＋36k2x－36k2－63＝0. 当7－9k2＝0时，即k＝±时，方程为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. 当7－9k2≠0时，方程(7－9k2)x2＋36k2x－36k2－63＝0是二次方程，若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式Δ＝－4(7－9k2)(－36k2－63)＝0，展开得到：1 296k4－(1 296k4＋1 260k2－1764)＝0. 进一步化简为－1260k2＋1764＝0，则k2＝＝. 解得k＝±＝±.综上所得，直线l的斜率的所有可能值±或±. 4.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值. 解：(1)联立 消去y并整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 则 解得－＜k＜，且k≠±1. 所以若直线l与双曲线C有两个不同的交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1，1)∪(1，). (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－， x1x2＝－， 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜ ＝· ＝. 又点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝， 所以S△AOB＝·｜AB｜·d＝··＝＝， 即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±. 经检验，都符合题意. 所以实数k的值为±或0. 课时分层评价31　双曲线的标准方程及性质的应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点.故选B. 2.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 答案：C 解析：设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x.故选C. 3.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案：B 解析：由已知易得直线l的斜率k＝＝1.设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.由①②得＝，从而＝1.又因为a2＋b2＝c2＝9，故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1.故选B. 4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长｜AB｜＝(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：D 解析： 因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，即b＝a.因为左焦点F(－，0)，所以c＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3，所以a2＝1，b2＝2，所以双曲线C的方程为x2－＝1.易知直线l的方程为y＝2(x＋)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y可得x2＋4x＋7＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝7.所以｜AB｜＝×＝×＝10.故选D. 5.双曲线C：x2－y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，则△F1AB的内切圆半径等于(　　) A. B. C. D.2 答案：C 解析：由双曲线C：x2－y2＝4，知a2＝b2＝4，所以c2＝a2＋b2＝8，所以F2(2，0)，＝2c＝4，所以过F2作垂直于x轴的直线为x＝2，代入C中，解得A，B，F1，所以＝＝＝6，＝4.设△F1AB的内切圆半径为r，在△F1AB中，由等面积法得·r＝·，所以·r＝×4×4，解得r＝＝. 故选C. 6.(多选)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点.若以PQ为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线的渐近线方程为y＝±x B.双曲线的渐近线方程为y＝±x C.双曲线的离心率为 D.双曲线的离心率为2 答案：BD 解析：如图所示，设双曲线的左顶点为A，因为以PQ为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得△APQ为等腰直角三角形.又因为过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点，可得｜PQ｜＝，所以a＋c＝.因为b2＝c2－a2，所以c2－ac－2a2＝0，解得c＝2a.所以双曲线的离心率为e＝＝2，故D正确；由b＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，故B正确.故选BD. 7.(开放题)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝x与C无公共点”的e的一个值为　　　　. 答案：2(注：填区间内任何一个值均可) 解析：由题意可知，双曲线的渐近线为y＝±x，离心率e＞1，若满足直线y＝x与C无公共点，则需⇒≤3⇒e2－1≤3⇒1＜e≤2. 8.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝　　　　. 答案：2 解析：设B为双曲线的右焦点，如图所示.因为四边形OABC为正方形且边长为2，所以c＝｜OB｜＝2.又∠AOB＝，所以＝tan ＝1，即a＝b.又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2. 9.已知双曲线E：－＝1的离心率为，直线l的斜率为－，且过点M，直线l与x轴交于点C，点D在E的右支上，且满足＝λ，则λ＝　　　　. 答案： 解析：由题意知e＝＝，所以a＝2b，所以M(2b，b)，故直线l的方程为y－b＝－.令y＝0，得x＝4b，所以C.又因为＝λ，所以D，代入－＝1，化简得4－＝1，解得λ＝. 10.(13分)已知圆A：(x＋2)2＋y2＝，圆B：(x－2)2＋y2＝，动圆P与圆A，圆B都外切. (1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； (2)若直线y＝kx＋1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求实数k的取值范围. 解：(1)设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R， 由题意得｜PA｜＝R＋，｜PB｜＝R＋， 所以｜PA｜－｜PB｜＝2， 因为｜AB｜＝4，所以｜PA｜－｜PB｜＝2＜4， 所以圆P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支， 所以动圆圆心P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)，如图所示. (2)由方程组 消去y得(3－k2)x2－2kx－4＝0(x≥1)， 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 则有 解得 即－2＜k＜－. 故实数k的取值范围为. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)经过点M(3，)，并且它的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线C的离心率为 B.双曲线C的渐近线为y＝±x C.若双曲线C的顶点为A，B，则kAM·kBM＝ D.直线x－y－1＝0与C有两个公共点 答案：AC 解析：由题意知，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.因为圆(x－2)2＋y2＝4，所以圆心为，半径为r＝2.因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)经过点M(3，)，并且它的一条渐近线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以圆心到bx－ay＝0的距离为d＝＝，所以2＝2，解得d＝＝1，即c＝2b，所以a＝＝＝b，所以－＝1，解得b＝1，所以a＝，c＝2，即双曲线方程为C：－y2＝1，所以双曲线C的离心率为＝，双曲线C的渐近线为y＝±x＝±x，故A正确，B错误；因为双曲线C的顶点为A(－，0)，B(，0)，所以kAM·kBM＝·＝＝，故C正确；联立方程消去x得y2－2y＋2＝0，因为Δ＝－4×1×2＝0，所以直线x－y－1＝0与C有一个公共点，故D错误.故选AC. 12.(新角度)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E：x2＋y2＝a2－b2上任意一点作双曲线C：－＝1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双曲线W：－y2＝1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若∠PAB＝30°，则△PAB的周长为　　　　. 答案：3＋ 解析：由题意可知，W的蒙日圆方程为x2＋y2＝2，半径为，且PA⊥PB，所以AB为直径，如图所示.所以＝2.又∠PAB＝30°，所以＝，＝＝.所以△PAB的周长为3＋. 13.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4，0)，点A，B在双曲线C：－y2＝1上，且＝3，则直线AB的斜率为　　　　. 答案：± 解析：设直线AB的方程为x＝my＋4.由得(m2－4)y2＋8my＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，m2≠4，Δ＝(8m)2－4×12×(m2－4)＞0，则①.因为＝(4－x1，－y1)，＝(x2－4，y2)，＝3，所以y1＝－3y2，代入①，得＝，化简得m2＝，所以m＝±.因此直线AB的斜率为＝±. 14.(15分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2，2)，且△AF1F2的面积为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M，N，证明：B是MN的中点. 解：(1)由题意，知 解得 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)证明：将l：x＝my＋1代入双曲线C：－＝1，得(2m2－1)y2＋4my－2＝0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，如图所示. 则2m2－1≠0，Δ＝(4m)2－4×(－2)×(2m2－1)＝32m2－8＞0， y1＋y2＝－，y1y2＝－. 直线AE的方程为y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得yM＝＋2； 直线AF的方程为y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得yN＝＋2. 因为＋ ＝＝－4， 所以yM＋yN＝0， 又直线l：x＝my＋1交x轴于点B(1，0)， 所以｜BM｜＝｜BN｜，即B是MN的中点. 15.(5分)(新情境)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上关于原点对称的两点A，B满足·＝·＋·，若∠AF1F2＝，则双曲线C的离心率为　　　　. 答案：＋1 解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2及双曲线上关于原点对称的两点A，B，则＝，＝，可得四边形AF1BF2为平行四边形，如图所示. 又·＝·＋·及托勒密定理，可得四边形AF1BF2为矩形.设｜AF1｜＝m，＝n(m＞n).在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，则m－n＝2a，n＝m·tan，所以n＝c，m＝c，m＝c＋2a，所以c＝c＋2a，解得＝＋1.所以双曲线的离心率为＋1. 16.(17分)已知双曲线过点A(2，1)，它的渐近线方程是x±2y＝0. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的倾斜角互补，求直线l的斜率. 解：(1)若双曲线焦点在x轴上，设方程为－＝1， 则有 所以双曲线方程为－y2＝1. 若双曲线焦点在y轴上，设方程为－＝1， 则有无解. 综上双曲线方程为－y2＝1. (2)易知，直线l的斜率一定存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y可得，(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0， 所以 可得k≠±，1＋m2＞4k2. 由韦达定理可得，x1＋x2＝，x1x2＝－， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， x1y2＋x2y1＝x1＋x2＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝. 因为直线AP，AQ的倾斜角互补， 所以kAP＋kAQ＝0， 即＋ ＝＝0， 即＋ ＝x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4 ＝＝0， 整理得(k＋1)(2k＋m－1)＝0， 解得k＝－或m＝1－2k. 当m＝1－2k时，直线y＝kx＋m为y－1＝kx－2k过定点A(2，1)，不满足题意， 所以k＝－. 学生用书⬇第125页 学科网（北京）股份有限公司 $