3.1.1 椭圆及其标准方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

单元学习十　椭圆 　　[单元整体设计]　圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容.本章在“直线和圆的方程”的基础上，通过行星运动轨道、抛物线运动轨迹等，了解圆锥曲线的背景与应用；在平面直角坐标系中，认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的几何性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题.在本章研究的过程中，数形结合思想和坐标法统领全局，提升直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理、和数学运算的核心素养.本章共分三个单元整体设计：椭圆、双曲线、抛物线，学习计划13课时(含习题课、复习课). 　　本学习单元具体包括椭圆的概念、标准方程与简单几何性质等内容.对其研究是按照“椭圆的几何特征——椭圆的标准方程——通过方程研究曲线的性质——应用”的过程来展开的.本单元最重要、最基本的数学思想方法是坐标法，另外，在解决问题的过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归等也发挥着重要的作用，学习计划3课时. 　　本单元内容重点是椭圆的几何特征，椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.难点是椭圆几何性质的发现，椭圆标准方程的推导.在研究的过程中，发展数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 3.1.1　椭圆及其标准方程 学习目标 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握椭圆的定义和标准方程，提升逻辑推理的核心素养. 3.会求椭圆的标准方程，提升数学运算的核心素养. 任务一　椭圆的定义 (阅读教材P105，完成探究问题1) 问题1.如图，取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 椭圆的定义 定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆 几何表示 ｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a(常数)且2a＞｜F1F2｜ 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离｜F1F2｜ [微思考]　当2a≤时，点的轨迹是什么？ 提示：当2a＝时，点的轨迹是线段F1F2；当2a＜时，点的轨迹不存在. 学生用书⬇第102页 (多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是(　　) A.M到两定点，的距离之和为4 B.M到两定点，的距离之和为6 C.M到两定点，的距离之和为6 D.M到两定点，的距离之和为8 答案：BD 解析：因为两定点，的距离为4＜6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点，的距离为6＜8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.故选BD. 　　在椭圆定义中，要求常数必须大于两定点F1，F2之间的距离，这是椭圆定义中非常重要的一个条件，可以验证：如果这个常数等于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将是一条线段；如果这个常数小于两定点F1，F2之间的距离，动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件. 对点练1.(1)设P(x，y)满足＋＝10，则P点的轨迹为(　　) A.圆 · B.椭圆 C.线段 D.不存在 (2)平面内一点M到两定点F1，F2 的距离之和等于12，则点M的轨迹是　　　　. 答案：(1)B　(2)线段F1F2 解析：(1)因为＋＝10表示P(x，y)到定点F1，F2的距离之和为10，即＋＝10＞＝8，所以P点的轨迹为椭圆.故选B. (2)由题意知＋＝12，且＝12，故＋＝＝12， 所以点M的轨迹是线段F1F2. 任务二　椭圆的标准方程 (阅读教材P105－107，完成探究问题2，3，4) 问题2.观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 提示：观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图①所示；也可以以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图②所示. 问题3.考虑到椭圆的对称性，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立图示平面直角坐标系，试利用椭圆定义推导椭圆方程. 提示：　根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a}.因为｜MF1｜＝，｜MF2｜＝，所以＋＝2a①.为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－②.对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理得a2－cx＝a③，对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)④，将方程④两边同除以a2(a2－c2)，得＋＝1⑤，由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0.令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0). 问题4.如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0， c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示：　＋＝1(a＞b＞0). 椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 [微提醒]　(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)左边是“平方＋平方”，右边是“1”，判断椭圆焦点在哪个轴上就是要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.(3)a＞b＞0，a＞c＞0，b与c大小关系不确定. 角度1　 求椭圆的标准方程 (链教材P107例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； 学生用书⬇第103页 (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以 所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)法一：由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由椭圆的定义知，2a＝＋＝2， 即a＝. 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 所以 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 所以 由a＞b＞0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 所以 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). 所以 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 求椭圆标准方程的方法 1.定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. 2.待定系数法：(1)先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”. (2)当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a＞b＞0这一条件.与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程一般设为＋＝1(λ＜b2). (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程. 对点练2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点. 解：(1)法一：①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由已知条件得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 由已知条件得 则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n). 将两点(2，－)，代入， 所以 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 角度2　椭圆标准方程的理解 (1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A.(－9，25) B.(－9，8)∪(8，25) C.(8，25) D.(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由题意知解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25).故选B. (2)由题意知m≠0，将椭圆方程化为＋＝1， 所以解得m＜－， 即实数m的取值范围是. 根据椭圆方程求参数的取值范围 1.给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. 学生用书⬇第104页 2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C(ABC≠0)，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况. 对点练3.(多选)已知曲线C：＋＝1，则(　　) A.当m＝8时，C是圆 B.当m＝10时，C是焦距为4的椭圆 C.当C是焦点在x轴上的椭圆时，5＜m＜8 D.当C是焦点在y轴上的椭圆时，8＜m＜11 答案：AB 解析：对于A，当m＝8时，曲线C的方程为x2＋y2＝3，此时曲线为圆，故A正确；对于B，当m＝10时，曲线C的方程为＋y2＝1，此时曲线为椭圆且椭圆C的焦距为2＝4，故B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得8＜m＜11，故C错误；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得5＜m＜8，故D错误.故选AB. 任务三　椭圆的焦点三角形 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点. (1)求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解：(1)由｜PF1｜＋｜PF2｜≥2知， ｜PF1｜·｜PF2｜≤＝＝12，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时，等号成立， 所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为12. (2)由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3，从而｜F1F2｜＝2c＝6， 在△F1PF2中，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°， 即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜.① 由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4， 即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜.② 由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4. 所以＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝×4×＝. [变式探究]　(变条件)若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 解：由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3. 从而｜F1F2｜＝2c＝6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得 ｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2， 即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋36， 又由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2×2＝4， 所以｜PF2｜＝4－｜PF1｜. 从而有(4－｜PF1｜)2＝｜PF1｜2＋36， 解得｜PF1｜＝.所以△F1PF2的面积S＝·｜PF1｜·｜F1F2｜＝××6＝， 即△F1PF2的面积是. 椭圆焦点三角形的常用结论 1.椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化. 2.椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a＋2c. 3.利用椭圆定义，结合余弦定理、三角恒等变换等知识可推得焦点三角形的面积S＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2. 对点练4.(1)(2025·安徽马鞍山高二期中)点F是椭圆＋＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且｜ON｜＝2(O为坐标原点)，则线段PF的长为(　　) A.2 B.3 C.4 D.2 (2)设P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，若∶＝2∶1，则△PF1F2的面积为　　　　　. 答案：(1)A　(2)4 解析：(1)如图所示，不妨设F为左焦点，F1为右焦点，连接PF1.因为N为PF的中点，且｜ON｜＝2，所以｜PF1｜＝4.由椭圆方程可知，2a＝6，根据椭圆定义有｜PF｜＋｜PF1｜＝2a＝6，所以｜PF｜＝2.故选A. (2)因为a2＝9，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝9－4＝5，所以a＝3，c＝，所以＝2c＝2.由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6以及∶＝2∶1，解得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以PF1⊥PF2.所以△PF1F2的面积为×4×2＝4. 学生用书⬇第105页 任务四　与椭圆有关的轨迹问题 (1)已知B，C是两个定点，｜BC｜＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程； (2)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程. 解：(1)以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示. 由｜BC｜＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)， 由｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝18，｜BC｜＝8，得｜AB｜＋｜AC｜＝10， 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，c＝4，但点A不在x轴上. 由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9， 所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0). (2)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由Q是线段OP的中点知，x0＝2x，y0＝2y. 又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1，所以点Q的轨迹方程为x2＋＝1. 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. 2.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法. 注意：相关点法求轨迹问题的四步曲为：设点、求关系式、代换、得方程. 对点练5.已知x轴上一定点A(1，0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ的中点M的轨迹方程. 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)， 利用中点坐标公式，得 因为点Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上， 所以＋＝1. 将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1. 故线段AQ的中点M的轨迹方程是(x－)2＋4y2＝1. 任务再现 1.椭圆的定义及其应用(焦点三角形).2.椭圆的标准方程.3.与椭圆有关的轨迹问题 方法提炼 分类讨论法、待定系数法、定义法、相关点法 易错警示 忽视椭圆定义中a，b，c的关系、混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程 1.椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上运动，则△MF1F2的周长为(　　) A.6 B.2 C.8 D.10 答案：D 解析：由＋＝1，得a2＝9，b2＝5，则a＝3，b＝，c＝＝2，所以＝2c＝4.因为点M在椭圆上运动，所以＋＝2a＝6，所以△MF1F2的周长为＋＋＝6＋4＝10.故选D. 2.已知椭圆＋＝1的一个焦点为(0，1)，则m＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：因为椭圆＋＝1的一个焦点为(0，1)，所以焦点在y轴上，故2－m＝1，m＝1.故选A. 3.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A，B(3，0)，点P为一动点，且＋＝2a，则下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案：AC 解析：对于A，2a＝4＜，故点P的轨迹不存在，故A正确；对于B、C，2a＝8＞，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为＝6，故B错误，C正确；对于D，2a＝6＝，故点P的轨迹为线段AB，故D错误.故选AC. 4.已知两定点F1(5，0)，F2(－5，0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之和是12，则该曲线的标准方程为　　　　　. 答案：＋＝1 解析：由题意可知，＋＝12＞10，所以点P的轨迹是以点F1，F2为焦点的椭圆，且2c＝10，2a＝12，a2＝36，b2＝a2－c2＝11，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 课时分层评价26　椭圆及其标准方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知A，B，动点C满足＋＝10，则点C的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点 答案：C 解析：因为A，B，所以＋＝10＝，知点C的轨迹是线段AB.故选C. 2.(多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是(　　) A.曲线C可能是圆 B.若1＜t＜3，则C为椭圆 C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1＜t＜2 D.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2＜t＜3 答案：ACD 解析：当3－t＝t－1＞0时，即t＝2时，方程＋＝1为x2＋y2＝1，表示圆心为原点，半径为1的圆，故A正确；因为t＝2时，方程为圆，故B错误；若C为椭圆，且焦点在x轴上，则3－t＞t－1＞0，解得1＜t＜2，故C正确；若C为椭圆，且焦点在y轴上，则t－1＞3－t＞0，解得2＜t＜3，故D正确.故选ACD. 3.椭圆可以看作由圆进行伸缩变换得到，模仿圆的面积公式，数学家得到椭圆的面积公式：椭圆C：＋＝1的面积S＝abπ.若椭圆C1：＋＝1的面积是椭圆C2：＋y2＝1面积的4倍，则椭圆C1的焦距为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 答案：B 解析：由题意知，π··2＝4·π·2·1，解得m＝16，故椭圆C1的焦距为2＝2＝4.故选B. 4.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足｜OP｜＝｜OF｜且｜PF｜＝6，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：C 解析：由题意可得c＝5，设右焦点为F'，连接PF'， 由｜OP｜＝｜OF｜＝｜OF'｜知，∠PFF'＝∠FPO，∠OF'P＝∠OPF'，所以∠PFF'＋∠OF'P＝∠FPO＋∠OPF'，所以∠FPO＋∠OPF'＝90°，即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中，由勾股定理，得｜PF'｜＝＝＝8.由椭圆的定义，得｜PF｜＋｜PF'｜＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49.于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选C. 5.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.± 答案：D 解析：因为线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，所以PF2⊥x轴，所以点P的横坐标是±3，因为点P在椭圆上，所以＋＝1，即y2＝，所以y＝±.所以点M的纵坐标为±.故选D. 6.在平面直角坐标系中，A(0，－2)，B(0，2)，平面中动点P满足条件｜PA｜＋｜PB｜＝m＋(m为常数，且m＞2)，则点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.线段 C.直线 D.椭圆或线段 答案：A 解析：因为m＞2，所以m＋＞2＝4，即｜PA｜＋｜PB｜＞4＝｜AB｜，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.故选A. 7.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝　　　　. 答案：3 解析：由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又PF1⊥PF2，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2，所以(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－2｜PF1｜｜PF2｜＝4c2，所以2｜PF1｜｜PF2｜＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1｜｜PF2｜＝2b2.所以＝｜PF1｜｜PF2｜＝×2b2＝b2＝9.所以b＝3. 8.(开放题)(2025·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的边长为2，一个内角为60°，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，以A，C为焦点的椭圆Γ经过B，D两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：　　　　　　. 答案：＋y2＝1(答案不唯一) 解析：根据题意，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点.如图所示.假设A，C在x轴上，B，D在y轴上，∠BCD＝60°，由菱形的性质得∠BCA＝30°.又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝1，BC＝2，OC＝，即b＝1，c＝，则a2＝b2＋c2＝4.故椭圆Γ的一个标准方程为＋y2＝1(答案不唯一). 9.已知点P是圆C：(x－2)2＋y2＝64上的动点，A(－2，0).若线段PA的中垂线交CP于点N，则点N的轨迹方程为　　　　　. 答案：＋＝1 解析：由题意，如图所示.因为N为线段AP中垂线上一点，所以｜AN｜＝｜PN｜，则｜AN｜＋｜CN｜＝｜PN｜＋｜CN｜＝｜CP｜，显然｜CP｜为圆C：(x－2)2＋y2＝64的半径，则｜CP｜＝8，则动点N的轨迹为以定点A，C为焦点的椭圆.其中2a＝8，2c＝AC＝4，解得b＝＝＝2，故其轨迹方程为＋＝1. 10.(13分)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)b＝1，c＝，焦点在y轴上； (2)a＝10，c＝6； (3)经过点P(－2，0)，Q(0，2)两点； (4)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－). 解：(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16. 因为椭圆焦点在y轴上， 所以所求的标准方程为＋x2＝1. (2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64， 因为椭圆焦点位置不确定， 所以所求的标准方程为＋＝1，或＋＝1. (3)由题意得P，Q分别是椭圆与坐标轴的交点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以a＝2，b＝2， 所以所求的椭圆的标准方程为＋＝1. (4)设椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上， 因为c＝＝1，所以F1(－1，0)，F2(1，0)， 故设椭圆方程为＋＝1， 由题意得 (舍去) 所以所求的椭圆的标准方程为＋＝1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知椭圆M：＋y2＝1，若P在椭圆M上，F1，F2是椭圆M的左、右焦点，如图，则下列说法正确的有(　　) A.若｜PF1｜＝｜PF2｜，则∠PF1F2＝30° B.△F1PF2面积的最大值为2 C.｜PF1｜－｜PF2｜的最大值为2 D.｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4 答案：ACD 解析：在椭圆M中，a＝2，b＝1，c＝，且｜F1F2｜＝2.对于A，当｜PF1｜＝｜PF2｜时，则P为椭圆与y轴的交点，故｜PF1｜＝｜PF2｜＝a＝2，在Rt△PF1O中，sin∠PF1O＝＝，所以∠PF1F2＝30°，故A正确；对于B，当点P为椭圆M与y轴的交点时，点P到x轴的距离最大，所以△F1PF2面积的最大值为×2c×b＝bc＝，故B错误；对于C，因为a－c≤≤a＋c，即2－≤2＋，所以≤2a－2(a－c)＝2c＝2，故C正确；对于D，由椭圆定义可知＋＝2a＝4，所以｜PF1｜·｜PF2｜≤＝4，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时取等号，故D正确.故选ACD. 12.已知△ABC的底边长为12，其中点B(－6，0)，C(6，0)，其他两边AB，AC上的中线之和为30，则三角形重心G的轨迹方程为　　　　　　. 答案： ＋ ＝1(x≠±10) 解析：设边AB，AC的中点分别为D，E，故｜CD｜＋｜BE｜＝30，所以｜CG｜＋｜BG｜＝20＞12＝｜BC｜，所以点G的轨迹为椭圆，且其两个焦点分别为点B和C，所以轨迹方程为 ＋ ＝1且x≠±10. 13.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝　　　　. 答案： 解析：由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.则△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆＋＝1上，所以｜BC｜＋｜BA｜＝2a＝10.所以由正弦定理可知＝＝＝. 14.(15分)已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点(－1，). (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，在椭圆M上能否存在动点P，使△PF1F2的面积为1，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 解：(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 则 解得b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，假设存在动点P，满足题设条件. 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×｜y0｜＝1，解得y0＝±. 又＋＝1，所以＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为(，)，(－，)，(，－)，(－，－). 15.(5分)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大值分别为(　　) A.8，11 B.8，12 C.9，12 D.10，12 答案：B 解析：如图所示，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜＝2a＝10. 连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于M，N两点，设r为两圆的半径，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.故选B. 16. (17分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图. (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？ 解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， 所以曲线C的标准方程为＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，又由鱼群距两岛的距离和为8海里，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里. 设P(x，y)，B(2，0)，由｜PB｜＝3，得＝3， 所以 解得 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 学生用书⬇第106页 学科网（北京）股份有限公司 $