2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的实际应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦直线与圆的方程的实际应用核心知识点，前承圆的方程、直线方程及位置关系的理论基础，通过圆拱桥、隧道截面等实际问题，构建从数学模型到问题解决的学习支架。 特色在于以坐标法为主线，结合圆拱桥水面宽度计算、船触礁判断等实例，培养数学建模、逻辑推理与数学运算核心素养。课中助力教师引导学生将实际问题转化为数学问题，课后通过分层练习帮助学生巩固坐标法应用，查漏补缺。

第2课时　直线与圆的方程的实际应用 学习目标 1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　圆的方程的实际应用 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　　　　m. 答案：2 解析：如图所示，以圆拱桥顶点为坐标原点，以过圆拱桥顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的方程，得62＋(－2＋r)2＝r2，解得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'(x0，－3)(x0＞0)，将A'(x0，－3)代入圆的方程，得＋(－3＋10)2＝100，解得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m). 变式探究 (变设问)某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有B(10，0)， P(0，4)，D(－5，0). 设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r， 则这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2， 把B，P两点的坐标代入圆的方程， 得到方程组 解得 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4). 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m，3＜3.1， 所以该船可以从桥下通过. 学生用书⬇第89页 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 　　用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 注意：建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单. 对点练1.如图，隧道的截面是半径为5 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为3 m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为　　　　m. 答案：4 解析：如图所示，矩形OMNP是货车截面图，｜OM｜＝3，则｜MN｜＝ ＝ ＝4，则货车的限高为4 m. 任务二　直线与圆的方程的实际应用 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则 所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D， 则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离 d＝＝10＜10， 故该船有触礁的危险. 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 对点练2.如图，正方形ABCD的边长为10米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，BC上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的“盲区”中持续的时长是多少秒？ 解：以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设P(－5，－5＋1.5t)，Q(5，5－t)，0≤t≤， 则直线PQ的方程为y－5＋t＝ (x－5)，圆O的方程为x2＋y2＝1， 因为直线PQ与圆O有交点， 所以≤1， 化简得t≤ ，解得0＜t≤4， 所以点Q在点P的“盲区”中持续的时长约为4秒. 任务再现 1.直线与圆的方程的应用.2.坐标法的应用 方法提炼 数学建模、坐标法 易错警示 不能正确进行数学建模 学生用书⬇第90页 1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A.x2＋y2＝25 B.x2＋y2＝25(y≥0) C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D.随建立直角坐标系的变化而变化 答案：D 解析：没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定.故选D. 2.(2025·安徽芜湖高二质量监控)“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷.圆拱的水面跨度20米，拱高约5米.现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为(　　) A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 答案：B 解析：如图所示，拱形桥ACB，以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.则A，B，C，圆心在y轴上，设为E，则有＝，即＝，整理可得2b＋15＝0，解得b＝－，所以圆心为E，半径为＝＝，所以圆的方程为x2＋＝.设D，x＞0，则有x2＋＝，解得x＝.所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2.因为6.5＜ ＜7，所以13＜2＜14.故选B. 3.某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为(　　 ) A.1分钟 B.分钟 C.2分钟 D.分钟 答案：C 解析：以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示.则A(50，0)，B(0，50)，可得lAB：x＋y＝50，圆O：x2＋y2＝10 000.记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为｜OO'｜＝＝50(米)，所以｜MN｜＝2＝100(米)，故监测时长为＝2(分钟).故选C. 4.装修房间时，准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型. (1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的方程； (2)现有一个长方体形的冰箱，其长、宽、高分别为100 cm，80 cm，180 cm，用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道. 解：(1)如图所示，以AD所在直线为x轴，以AD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点F(60，160). 设圆的方程为x2＋[y－(200－r)]2＝r2(r＞0)， 因为点F在圆上，所以602＋[160－(200－r)]2＝r2(r＞0)，解得r＝65， 故圆的方程为x2＋(y－135)2＝4 225. (2)当y＝180时，x2＋(180－135)2＝652， 解得x2＝2 200＞402， 故该冰箱可以直立通过此过道. 课时分层评价23　直线与圆的方程的实际应用 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A，距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为(　　 ) A.(x＋20)2＋(y－20)2＝100 B.(x－20)2＋(y＋20)2＝100 C.(x＋20)2＋(y＋20)2＝10 D.(x－20)2＋(y－20)2＝100 答案：D 解析：易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB＝30°，因为｜OA｜＝40，所以｜AB｜＝20，｜OB｜＝＝20，所以暗礁所在区域边界方程为(x－20)2＋(y－20)2＝100.故选D. 2.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为(　　) A.6 km B.(4－1)km C.(4＋1)km D.4 km 答案：B 解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y－8＝0.易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，｜DE｜的最小值为－1＝(4－1)km.故选B. 3.如图，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围为(　　 ) A.(0，］ B.(0，π] C.(0，2－］ D.(0，2－π] 答案：C 解析：如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，此时四边形ABO2O1为矩形，且Smax＝2×1－··12×2＝2－.故选C. 4.设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处三角形舞台，则舞台面积的最小值为(　　) A.3－ B.3＋ C.3－ D. 答案：A 解析：由已知得曲线为圆，圆心为(1，0)，半径为r＝1，直线AB的方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，｜AB｜＝＝2，圆心到直线AB的距离d＝＝，公园边上任意一点P到直线AB的距离的最小值为d'＝d－r＝－1，所以舞台面积的最小值为S＝｜AB｜d'＝×2×(－1)＝3－.故选A. 5.某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为(　　) A.(12－24)m B.(12＋24)m C.(24－12)m D.不确定 答案：A 解析：如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6).设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.将点P2的横坐标x＝6代入上式，36＋y2＋48y－324＝0，结合图形解得y＝－24＋12.故支柱A2P2的长为(12－24)m.故选A. 6.(多选)如图，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　　) A.6 s B.8 s C.10 s D.16 s 答案：AD 解析：设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为＝，得m＝－或m＝－，所以该圆运动的时间为＝6(s)或＝16(s).故选AD. 7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为　　　　. 答案：－2 解析：圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝，则从村庄外围到小路的最短距离为－2. 8.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低　　　　m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m) 答案：1.22 解析：以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示.设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，因为圆经过点B(10，0)，C(0，4)，所以所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞. 9.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为　　　　h. 答案：1　 解析：如图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形，因为AB＝40 km，所以BE＝20 km，在Rt△BEN中，NE＝＝＝10 km，则｜MN｜＝20 km，所以城市B处于危险区内的时间为＝1 h. 10.(13分)如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形(长、宽分别为8 m、4 m)和圆弧构成，截面总高度为6 m，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度＝6 m. (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少？ 解：(1)以圆弧的顶点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为x2＋y2＋Ey＝0， 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得16＋4－2E＝0，E＝10， 则该圆弧所在圆的一般方程为x2＋y2＋10y＝0. (2)令x＝3代入圆的方程得y2＋10y＋9＝0，得y＝－1或y＝－9(舍)， 由于隧道的总高度为6 m，且6－1－0.5＝4.5(m)， 因此，车辆通过隧道的限制高度为4.5 m. (11—13，每小题5分，共15分) 11.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：现有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦｜AB｜＝1尺，弓形高｜CD｜＝1寸，则阴影部分的面积约为(　　 ) A.6.33平方寸 B.5.35平方寸 C.7.37平方寸 D.8.39平方寸 答案：A 解析：连接OD，AO，BO(图略)，设半径为r.由题意知｜AD｜＝5寸，则｜OD｜＝r－1.在Rt△OAD中，｜OA｜2＝｜AD｜2＋｜OD｜2，即r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，则sin ∠AOC＝，所以∠AOC≈22.5°，则∠AOB≈2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝＝≈66.33(平方寸)，△OAB的面积S2＝×10×12＝60(平方寸)，所以阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60＝6.33(平方寸).故选A. 12.已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为　　　　　　. 答案：∪ 解析：由题意知，AB所在直线与圆C相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以C(1，0)到直线AB的距离d＝＞1，即a＞或a＜－. 13.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示(单位：cm)，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝，tan β＝，则该零件的截面的周长为　　　　cm.(结果保留π) 答案：84＋6π 解析：以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心为O(a，b)，则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝＝＝｜12－b｜，解得a＝15，b＝0，r＝12，易得AB＝＝9，CD＝＝16，圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋＝84＋6π(cm). 14.(15分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：(1)如图所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy. 由条件知，A(0，60)， C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－. 又因为AB⊥BC， 所以直线AB的斜率kAB＝. 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝＝－，① kAB＝＝，② 联立①②解得a＝80，b＝120. 所以｜BC｜＝＝150. 因此新桥BC的长为150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m， ｜OM｜＝d m(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 所以 解得10≤d≤35. 故当d＝10时，r＝最大，即圆的面积最大. 所以当｜OM｜＝10 m时，圆形保护区的面积最大. 15.(5分)如图是由线段AB，AC和优弧围成的“水滴”，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为2，则sin∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图所示，设圆心为O，AO与圆弧相交于点F，连接OB，OC，则OB⊥AB，OC⊥AC.设半径OB＝r，则竖直高度为2r，则水平宽度为AF＝4r，则AO＝3r，设∠BAC＝2θ，则∠BAO＝θ.则sin θ＝＝，cos θ＝＝＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.故选D. 16.(17分)如图，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD(包含边界和内部，A为坐标原点)，AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点. (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 解：(1)分别以AD，AB为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则E，F. 设成功点M，可得＝，即＝， 化简得x2＋＝， 因为点M需在矩形场地内，所以0≤x≤， 故所求轨迹方程为x2＋＝. (2)当线段FP与(1)中圆相切时，则sin∠AFP＝＝， 所以∠AFP＝30°，所以＝4tan 30°＝， 若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是. 学生用书⬇第91页 学科网（北京）股份有限公司 $