2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 学习目标 1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 任务一　点到直线的距离公式 (阅读教材P74－76，完成探究问题1、2) 问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示：点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长， 如图所示，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为，所以l'的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，解得交点Q(，)， 所以｜PQ｜＝. 问题2.向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示：在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－， 所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量. (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B). (2)在直线l上任取点M(x，y)，设P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0). (3)｜PQ｜＝｜｜＝｜·n｜＝. 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 微提醒　(1)利用公式时直线的方程必须是一般式.(2)分子含有绝对值.(3)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的.(4)点到直线的距离是直线外一点与直线上的点连线长度的最小值. (链教材P77例5)求下列点到直线的距离： (1)原点到y＝x＋3的距离； (2)(－1，2)到＋＝1的距离； (3)(3，6)到y＝1的距离. 解：(1)将y＝x＋3化为一般式x－y＋3＝0， 则d＝＝. (2)将＋＝1化为一般式4x＋3y－12＝0， 则d＝＝2. (3)法一：将y＝1化为一般式y－1＝0， 则d＝＝5. 法二：直接计算纵坐标的差，d＝｜6－1｜＝5. 点到直线的距离的求解策略 1.求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可. 2.若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可. 对点练1.求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. 解：(1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝. 即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为. (2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0. 根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝. 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为. (3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴， 所以d＝＝. 即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为. 学生用书⬇第74页 任务二　两条平行直线间的距离 (阅读教材P78，完成探究问题3、4) 问题3.已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，如图所示.在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4.怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝. 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间的公垂线段的长 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ [微思考]　使用两平行直线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ 提示：两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等. (1)(链教材P78例7)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程. 解：(1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. (2)设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝， 即｜C－4｜＝｜C＋2｜， 解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 变式探究　(变条件)在本例(2)中，求与l1平行且两直线距离为的直线方程. 解：设所求直线的方程为2x－3y＋C'＝0， 由题意得＝，即｜C'－4｜＝6， 所以C'＝－2或C'＝10. 故所求直线的方程为2x－3y－2＝0或2x－3y＋10＝0. 求两条平行线间距离的方法 1.转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. 2.公式法：(1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝. (2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 对点练2.(1)在梯形ABCD中，＝2＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为(　　) A. B.9 C. D.45 (2)已知不过原点的直线l1与直线l2：x－y＋＝0平行，且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)x－y＋2＝0 解析：(1)由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为·d＝××2＝9.故选B. (2)因为直线l1不过原点且与l2平行，所以可设直线l1：x－y＋C＝0，因为l1与l2之间的距离d＝＝1，解得C＝2或C＝0(舍)，所以直线l1的一般式方程为x－y＋2＝0. 学生用书⬇第75页 任务三　点到直线的距离公式的综合应用 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么｜OP｜的最小值为(　　 ) A. B.1 C. D.2 (2)当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是　　　　. 答案：(1)A　(2)－1 解析：(1)｜OP｜的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝.故选A. (2)直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2).由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2，1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 1.点在直线上运动时，与直线外一点最小距离为垂线段长度；直线围绕点转动时，与直线外一点最大距离为两定点距离. 2.注意画图，数形结合在此类问题求解中至关重要. 对点练3.(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求｜OP｜最小时点P的坐标； (2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程. 解：(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1， 所以OP所在的直线方程为y＝x. 由 所以点P的坐标为(2，2). (2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大， 因为kOP＝2， 所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 任务四　 两条平行直线间的距离公式的综合应用 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解：(1)如图所示，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大， 为d＝｜AB｜ ＝ ＝3； 当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0， 所以0＜d≤3， 即所求的d的取值范围是(0，3]. (2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB， 它们的斜率k＝－＝－＝－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 应用数形结合思想求最值 1.解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. 2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 对点练4.(1)P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则｜PQ｜的最小值为(　　 ) A. B. C. D. (2)已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)x＋2y－3＝0 解析：(1)易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故｜PQ｜的最小值即两平行直线间的距离，故d＝＝.故选C. (2)当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以直线l1，l2的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 任务再现 1.点到直线的距离公式.2.两条平行直线间的距离.3.点到直线的距离、两条平行直线的距离公式的综合应用 方法提炼 公式法、数形结合法、解方程(组)法、坐标法 易错警示 运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相等 学生用书⬇第76页 1.点P到直线x＝1的距离为1，则x0＝(　　) A.0或2 B.1或2 C.0 D.2 答案：A 解析：因为点P到直线x＝1的距离为1，所以＝1，解得 x0＝0 或x0＝2.故选A. 2.两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是(　　) A.0 B. C.1 D. 答案：B 解析：3x＋4y－5＝0⇒6x＋8y－10＝0，两平行线间的距离为＝.故选B. 3.若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于　　　　. 答案：－2或8 解析：由题设＝＝4，则｜3－k｜＝5⇒k＝－2或k＝8. 4.已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则的最小值为　　　　. 答案： 解析：由题意可知直线l1：2x＋y－2＝0，直线l2：4x＋2y＋1＝0，即l2：2x＋y＋＝0，所以直线l1∥l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，有最小值，其最小值为平行直线l1与l2的距离，所以｜AB｜min＝＝. 课时分层评价18　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.点A(2，3)到直线3x－4y－11＝0的距离为(　　 ) A. B. C. D. 答案：B 解析：点A(2，3)到直线3x－4y－11＝0的距离为 ＝ .故选B. 2.已知直线x＋3y＋λ＝0与直线2x＋6y＋1＝0间的距离为 ，则λ＝(　　 ) A.－ 或 B.－9 C.－9或11 D.6或－4 答案：A 解析：直线x＋3y＋λ＝0可化为2x＋6y＋2λ＝0，所以 ＝ ，解得λ＝－ 或λ＝ .故选A. 3.已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0(m∈R)过定点A，则点A到直线l1：x＋y＝1的距离是(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案：C 解析：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＋(2x＋y＋4)＝0，令所以点A的坐标为(－1，－2)，故点A到直线l1：x＋y＝1的距离d＝＝2.故选C. 4.已知点A，B，C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为(　　) A.5 B. C. D. 答案：D 解析：因为直线AB的方程为＝，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝＝.又因为＝＝，所以S△ABC＝×d＝.故选D. 5.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m－n的可能值为(　　) A.3 B.－17 C.11 D.－9 答案：CD 解析：因为l1∥l2，所以＝，得n＝－4，l1：x－2y＋m＝0，l2：x－2y－3＝0，所以平行线间的距离d＝＝2，得m＝7或－13，则m－n＝11或－9.故选CD. 6.(多选)已知直线l经过两直线3x＋4y＋1＝0和2x＋y＋4＝0的交点，且M到l的距离与N(2，－4)到l的距离之比为1∶3，则直线l的方程可能为(　　) A.9x－y＋29＝0 B.9x＋y＋25＝0 C.3x＋11y－13＝0 D.3x－11y＋31＝0 答案：AC 解析：联立方程组当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，M到l的距离为2，N到l的距离为5，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k，即kx－y＋3k＋2＝0，由3×＝，解得k＝9或k＝－，所以直线l的方程为9x－y＋29＝0或3x＋11y－13＝0.故选AC. 7.已知点P在直线2x＋y－3＝0上，且位于第一象限，若点P到直线x－2y－4＝0的距离为，则点P的坐标为　　　　. 答案：(1，1) 解析：由点P在直线2x＋y－3＝0上，可设点P，因为点P到直线x－2y－4＝0的距离为，则＝，整理可得＝5，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，P(1，1)位于第一象限，满足题意；当a＝3时，P(3，－3)位于第四象限，不满足题意，所以点P的坐标为. 8.点D到直线l：2x－y＋mx－m＝0距离的最大值为　　　　. 答案：5 解析：直线l：2x－y＋m(x－1)＝0， 令 解得得直线l过定点A，所以直线l表示过定点的直线，如图所示.当DA⊥l时，表示点到直线的距离，当DA不垂直于l时，表示点到直线的距离，显然＜，所以点D到直线l距离的最大值为＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为＝5. 9.(易错题)已知直线l经过P(2，1)，点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为　　　　　　　　. 答案：x＝2或4x－3y－5＝0 解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，点A(5，0)到直线l的距离为3，符合题意；当直线l的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，由A(5，0)到直线l的距离为3，得 ＝3，解得k＝ ，即方程为y－1＝ (x－2)，即4x－3y－5＝0，故l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 10.(13分)已知直线l1：x＋y＋3＝0，l2：x－2y＋2＝0，且l1∥l2. (1)求a的值； (2)直线l过点P与l1，l2交于A，B，＝，求直线l的方程. 解：(1)因为l1∥l2， 所以(2a＋1)×(－2)－(a＋2)(a－1)＝0， 整理得a2＋5a＝a(a＋5)＝0， 解得a＝0，或a＝－5. 当a＝0时，l1：x＋2y＋3＝0，l2：－x－2y＋2＝0，符合题意； 当a＝－5时，l1：－9x－3y＋3＝0，l2：－6x－2y＋2＝0，l1与l2重合，不满足题意. 综上可知，a的值为0. (2)由(1)得l1：x＋2y＋3＝0，l2：x＋2y－2＝0， 所以两直线之间的距离为d＝＝， 而＝，所以直线l与l1，l2均垂直， 由于＝－，所以kl＝2. 又直线l过点P(0，1)， 故直线l的方程为y＝2x＋1. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x＋3y＋2＝0和2x＋3y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为6x－4y＋C1＝0和6x－4y＋C2＝0，则＝(　　) A.4 B.2 C. D. 答案：A 解析：直线2x＋3y＋2＝0与直线2x＋3y＋4＝0之间的距离d1＝＝，直线6x－4y＋C1＝0与直线6x－4y＋C2＝0之间的距离d2＝＝.又由正方形的性质可知d1＝d2，即＝，解得＝4.故选A. 12.(多选)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是(　　) A.30° B.75° C.135° D.165° 答案：BD 解析：如图所示，设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝.因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝＝，所以α＝45°，因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°.故选BD. 13.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x＞0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　　　　. 答案：4 解析：设P，x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4. 14.(15分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点； ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的； ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 ∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0， 所以l1和l2的距离d＝＝， 所以｜a＋｜＝. 因为a＞0，所以a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上，且＝×， 即c＝或c＝. 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. 因为点P在第一象限， 所以3x0＋2＝0不符合题意. 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去. 联立 解得x0＝，y0＝. 所以P(，)即为同时满足三个条件的点. 15.(5分)(新定义)(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使｜PM｜＝4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝2 C.y＝x D.y＝2x＋1 答案：BC 解析：由题意可知，点M到直线的距离小于或等于4即为“切割型直线”.点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2＜4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝＞4，故D不符合题意.故选BC. 16.(17分)(创新题)已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y＝2x和l2：y＝－x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，且知直线l1：y＝2x，求直线l2的方程； (2)已知点Q，直线l1，l2是“Q－2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围. 解：(1)由题意得，l1与l2的交点为原点，且k1·k2＝2k2＝－3，解得k2＝－， 所以直线l2的方程为y＝－x. (2)由题意得，k1·k2＝－2. 设l1：y＋＝k1，l2：y＋＝k2， 点O到l1，l2的距离分别为d1，d2， 则d1·d2＝·＝·. 因为＋≥4，当k1＝±时等号成立， 所以－∈，·∈， 所以点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $