2.3.2 两点间的距离公式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“两点间的距离公式”核心知识点，从数轴上两点距离复习切入，通过平行坐标轴的特殊情况过渡到一般情况，借助勾股定理推导公式，设置问题链、微思考及例题作为学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 该资料以核心素养为导向，通过特殊到一般的探究提升直观想象，坐标法证明几何问题培养逻辑推理与数学运算能力。分层练习搭配易错警示，课中助力教师引导学生主动建构，课后便于学生巩固知识、查漏补缺，实现教与学的高效衔接。

2.3.2　两点间的距离公式 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数学运算的核心素养. 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　两点间的距离公式 (阅读教材P72－73，完成探究问题1、2) 问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xA－xB｜. 问题2.已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离｜P1P2｜？ 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜； (2)当P1P2与y轴平行时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图所示，在Rt △P1QP2中， ｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2， 所以｜P1P2｜ ＝ . 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离｜P1P2｜＝. 1.两点间的距离公式 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式｜P1P2｜＝. 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离｜OP｜＝. (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜. [微思考]　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成｜P1P2｜＝的形式？ 提示：可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分. 如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4). (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长. 解：(1)根据两点间的距离公式，得 ｜AB｜＝＝， ｜BC｜＝＝2， ｜CA｜＝＝5. 因为()2＋(2)2＝(5)2，即｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜CA｜2， 所以△ABC是直角三角形. (2)因为B(1，2)，C(3，－4)，所以BC的中点D(2，－1)， 所以BC边上中线的长｜AD｜＝＝2. 计算两点间距离的方法 1.对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，｜P1P2｜＝ . 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 对点练1.(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值； (2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有 ｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－. 故所求点P的坐标为. ｜PA｜＝＝. (2)法一：因为｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， 又｜BC｜＝＝2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜， 所以△ABC是等腰直角三角形. 法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB. 又｜AC｜＝＝2， ｜AB｜＝＝2， 所以｜AC｜＝｜AB｜. 所以△ABC是等腰直角三角形. 学生用书⬇第72页 任务二　坐标法在平面几何中的应用 如图，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC边上异于B，C的任意一点.求证：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜. 证明：如图所示，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)， －b＜m＜b. 则｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， ｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， 所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2， 所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜. 利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将对称中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴. 对点练2.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：＝. 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系.如图所示. 设正方形边长为a，则A(0，a)，C，设点P的坐标为. kAP＝－，lPQ：y＝①， lCQ：y＝x－a②. 联立①②可得Q(或利用三角形全等求得点Q坐标). 因为＝，＝， 所以＝. 任务再现 1.两点间的距离公式.2.利用坐标法解决平面几何问题 方法提炼 待定系数法、坐标法 易错警示 依据距离公式求参数易漏解；坐标系建立不适当 1.已知M(2，1)，N(－1，5)，则｜MN｜等于(　　) A. B.4 C.5 D. 答案：C 解析：｜MN｜＝＝5.故选C. 2.已知A，B，C，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案：A 解析：因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故选A.3.已知等腰三角形ABC的顶点是A(3，0)，｜BC｜＝4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为　　　　　　　. 答案：2 解析：｜BD｜＝ ｜BC｜＝2，｜AD｜＝ ＝2 ，所以在Rt△ADB中，｜AB｜＝ ＝2 . 4.已知点A(－2，－2)，B(a，2)且｜AB｜＝5，则a的值为　　　　. 答案：1或－5 解析：因为点A(－2，－2)，B(a，2)，且｜AB｜＝5，所以＝5，所以a＝1或a＝－5. 课时分层评价17　两点间的距离公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则＝(　　) A. B.1 C. D.2 答案：C 解析：由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A(0，).令y＝0，得x＝1，设B.所以＝＝.故选C. 2.已知A，B，C三点，且＝，则a的值为(　　) A. B.－ C.－ D.－ 答案：D 解析：＝，则＝，解得a＝－.故选D. 3.已知三角形的三个顶点A，B，C，则BC边上中线的长为(　　) A. B.2 C.11 D.3 答案：B 解析：设BC的中点为D，由中点坐标公式得所以D，所以＝＝＝2.故选B. 4.已知点A，B，C，D，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形 答案：A 解析：由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，＝＝8＝＝，即lAD∥lBC，＝，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形. 故选A. 5.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确.故选BCD. 6.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标可以是(　　) A.(－4，5) B.(－1，2) C.(－3，4) D.(1，－5) 答案：BC 解析：设所求点的坐标为(x0，y0)，则x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得所以所求点的坐标为(－1，2)或(－3，4).故选BC. 7.已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为　　　　　　. 答案：(－1，0)或(9，0) 解析：设点P的坐标为(a，0)，则｜PA｜＝＝13，即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0). 8.直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：y－2＝a(x－1)分别过定点A和B，则＝　　　　　　. 答案： 解析：直线l1：3ax－y－2＝0经过定点A，直线l2：y－2＝a(x－1)经过定点B，从而＝＝. 9.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是　　　　. 答案：3＋6 解析：由两点间的距离公式及题意得｜AB｜＝＝3，｜BC｜＝＝3，｜CA｜＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝3＋6. 10.(13分)如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系.证明：｜AB｜2＋｜BC｜2－｜AC｜2＝2｜BD｜2. 证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系. 设B(b，c)，C(a，0)，由题意得A(－a，0). ｜AB｜2＋｜BC｜2－｜AC｜2＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2｜BD｜2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以｜AB｜2＋｜BC｜2－｜AC｜2＝2｜BD｜2. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当｜AB｜取最小值时，实数a的值是(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：B 解析：因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以｜AB｜ ＝ ＝＝ ＝，所以当a＝时，｜AB｜取得最小值.故选B. 12.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则＋的值为(　　) A.5 B. C. D.与m的取值有关 答案：A 解析：直线x＋my－m＝0过定点A，直线mx－y－m＋3＝0过定点B，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故＋＝＝12＋22＝5.故选A. 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝　　　　. 答案：10 解析：以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b).所以｜PA｜2＝9a2＋b2，｜PB｜2＝a2＋9b2，｜PC｜2＝a2＋b2，于是｜PA｜2＋｜PB｜2＝10(a2＋b2)＝10｜PC｜2，即＝10. 14.(15分)已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2最小，并求此最小值. 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 因为正三角形ABC的边长为a， 所以B(－，0)，C(，0)，A(0，a). 设P(x，y)，由两点间的距离公式， 得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋(y－a)2＋(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3(y－a)2＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为(0，a). 15.(5分)(新情境)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离.结合上述观点，可得y＝＋的最小值为(　　) A.4 B.2 C.＋ D.3＋ 答案：A 解析：因为y＝f(x)＝＋＝＋，则f(x)可看作x轴上一点P到点A与点B的距离之和，即＋，如图所示.则可知当A，P，B三点共线时，＋取得最小值，即(＋)min＝＝＝4.故选A. 16.(17分)(2025·江苏连云港高二期中)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值. 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系. 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＋＋＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18. 因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 学生用书⬇第73页 学科网（北京）股份有限公司 $