2.2.2 直线的两点式方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的两点式方程”核心知识点，从两点确定直线的几何要素出发，通过点斜式推导两点式方程，再特殊化为截距式方程，辅以问题引导、例题示范和对点练构建学习支架。 该资料以问题链驱动数学抽象（数学眼光），如通过两点推导方程培养抽象能力，结合分类讨论（含参数两点方程）和基本不等式应用（面积最值）发展数学思维，分层任务与易错警示助力教师教学，课后评价与综合题帮助学生查漏补缺。

2.2.2　直线的两点式方程 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程，培养数学抽象的核心素养. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线的两点式方程 (阅读教材P62，完成探究问题1、2) 问题1.我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，如图，你能否得出直线的方程呢？ 提示：能.由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)，即＝(x1≠x2，y1≠y2). 问题2.给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？ 提示：＝，即 ＝ . 两点式 条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 图示 方程 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 微提醒　(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示.(2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (链教材P63例4)在△ABC中，已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边上的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 学生用书⬇第61页 已知两点求直线方程的策略 1.已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得. 2.在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程. 3.若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论. 对点练1.求经过不重合的两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程. 解：由A(2，m)和B(n，3)两点不重合知，m＝3与n＝2不同时成立. 当m＝3且n≠2时，直线垂直于y轴，方程为y＝3； 当n＝2且m≠3时，直线垂直于x轴，方程为x＝2； 当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为＝. 综上所述，当m＝3且n≠2时，方程为y＝3； 当n＝2且m≠3时，方程为x＝2； 当m≠3且n≠2时，方程为＝. 任务二　直线的截距式方程 (阅读教材P63，完成探究问题3) 问题3.若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：能，直线方程为＋＝1. 截距式 条件 在x轴上截距为a，在y轴上截距为b(a≠0，b≠0) 图示 方程 ＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 微提醒　(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零. 求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 变式探究　(变条件)若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：(1)当截距不为0时， 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 学生用书⬇第62页 应用截距式方程的注意事项 1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. 2.选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 3.要注意截距式方程的逆向应用. 对点练2.(1)在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (2)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　 ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数多条 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)由题意知a＝－3，b＝4，代入＋＝1即得＋＝1 .故选A. (2)当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－x，当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，所以＋＝1或＋＝1，所以满足条件的直线共有3条.故选B. 任务三　截距式方程的综合应用 如图，过点P(2，1)作直线l分别交x，y的正半轴于A，B两点. (1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程； (2)当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，求直线l的方程. 解：(1)显然直线l斜率存在且不过原点，由题意可设直线l的方程为＋＝1， 又点P(2，1)在直线l上，所以＋＝1， 由基本不等式可得＋＝1≥2，即ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号， 所以S△ABO＝＝ab≥×8＝4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号， 此时相应的直线l的方程为x＋2y－4＝0. (2)由(1)可知＋＝1， 又注意到｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b， 所以｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b＝＝3＋＋， 由基本不等式可得｜OA｜＋｜OB｜＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝＋1时取等号， 此时相应的直线l的方程为x＋y－2－＝0. 1.直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便.一条直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝｜a｜｜b｜. 2.当直线l与x，y轴正半轴相交于A，B两点时(截距均为正数)，往往会涉及△ABO的面积的最值问题，常常与基本不等式或二次函数知识结合. 对点练3.过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 解：(1)设A(a，0)，B(0，b)， 因为P(3，2)为AB的中点，所以A(6，0)，B(0，4)， 所以由截距式得直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0. (2)由题意，设直线的截距式方程为＋＝1(a，b＞0)， 因为直线过P(3，2)，所以＋＝1， 所以1＝＋≥2，所以ab≥24， 当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，等号成立， 所以△AOB的面积S＝ab≥12， 所以△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为＋＝1， 即直线l的方程为2x＋3y－12＝0. 任务再现 1.直线的两点式方程.2.直线的截距式方程.3.截距式方程的综合应用 方法提炼 分类讨论思想、数形结合思想 易错警示 容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件；利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况 学生用书⬇第63页 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　 ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：B 解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以所求直线方程是＝.故选B. 2.在x轴、y轴上的截距分别是－5，8的直线方程是(　　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案：A 3.已知A，B，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为　　　　　　. 答案：3x－4y－12＝0 解析：因为A，B，则线段AB的中点为E.又因为所求直线在y轴上的截距为－3，故所求直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 4.已知A，B，直线AB上一动点P，则xy的最大值是　　　　. 答案：5 解析：直线AB的方程为＋＝1，显然xy取得最大值时，x，y＞0，又因为＋≥2，即2≤1，解得xy≤5，当且仅当x＝2，y＝时取等号. 课时分层评价14　直线的两点式方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：A 解析：令y＝0，则2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.故选A. 2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　 ) A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0 C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0 答案：B 解析：由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.故选B. 3.若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为(　　) A.180 B.181 C.182 D.183 答案：D 解析：因为直线l过点，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1.由于点在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183.故选D. 4.两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个(　　) 答案：B 解析：直线－＝1的斜率为k1＝，直线－＝1的斜率为k2＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意.故选B. 5.若直线l：＋＝1经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝(　　) A.2 B. C. D. 答案：D 解析：因为直线l：＋＝1，则＋＝1.则a＋b＝＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3＋2，此时b＝a，则＝＝.故选D. 6.(多选)下列说法正确的是(　　) A.＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程 B.在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1 C.直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b D.过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0 答案：AD 解析：＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线去掉点(x1，y1)，故A正确；在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有ab≠0时，直线方程为＋＝1，故B错误；直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0，b)，交点到原点的距离为，故C错误；过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线当x1≠x2时，直线方程为y－y2＝(x－x2)，变形为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，当x1＝x2时，直线方程为x＝x2，也适合方程(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，故D正确.故选AD. 7.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：易得直线＝，，故l的斜率为＝－. 8.已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为　　　　. 答案：－1 解析：因为直线l的方向向量为，所以直线斜率k＝－2.又直线l过点，所以直线方程为y－4＝－2，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1. 9.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　. 答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析：当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.所以直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 10.(13分)直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若＋＝7，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，(直线l与坐标轴的交点位于正半轴)， 由题意知，a＋b＝7　①， 因为直线l过点P，所以＋＝1　②， 联立①②，解得 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0，或6x＋3y－14＝0. (2)由题意知，ab＝6，即ab＝12③， 联立②③，解得 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0，或3x＋y－6＝0. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A.＞ B.＞ C.(b－a)(b＋a)＞0 D.＞ 答案：AB 解析：因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a＜0，b＞0.由直线的斜率小于1，可得0＜－＜1，结合a＜0，可得a＜0＜b＜－a，由绝对值的性质，可得＞，故A正确；由幂函数y＝的单调性知，＞，故B正确；由b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，故C错误；由＜0，＞0，得＜，故D错误.故选AB. 12.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0 解析：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为＋＝1，则｜a｜＝｜b｜.因为｜a｜·｜b｜＝｜a｜2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6时，b＝±6，当a＝－6时，b＝±6，所以直线的方程为x±y＋6＝0或x±y－6＝0. 13.(双空题)直线l过点(4，1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　　　　，当△AOB的面积取最小值时直线l的截距式方程是　　　　　　　. 答案：8　＋＝1 解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0).因为直线l过点(4，1)，所以＋＝1.又＋≥2，所以1≥2，即ab≥16，当且仅当＝，即a＝8，b＝2时取等号，所以(S△AOB)min＝×16＝8，此时直线l的截距式方程为＋＝1. 14.(15分)一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河边共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 解：如图所示，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系. 则点A(0，300)，B(x，700). 设B点在y轴上的射影为H，则x＝｜BH｜＝＝300， 故点B(300，700). 设点A关于x轴的对称点A'(0，－300)， 则直线A'B的斜率k＝，直线A'B的方程为y＝x－300. 令y＝0得x＝90，得点P(90，0)， 故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省. 15.(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A，B，C，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0 C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0 答案：C 解析：因为△ABC的顶点分别为A，B，C，所以△ABC的重心为G.因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D.因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即4x＋3y－6＝0.故选C. 16.(17分)如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？ 解：以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，设矩形PQCR的面积是S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n). 又因为P(m，n)在直线EF：＋＝1上， 所以＋＝1(0≤m≤30)， 所以n＝20(1－). 故S＝(100－m)(80－20＋m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)， 当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5， 即当点P为线段EF上靠近点F的六等分点时，可使草坪面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $