2.1.1 倾斜角与斜率-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，前承平面直角坐标系中点与直线的位置关系，后续为直线方程及位置关系学习奠基。通过问题探究引入概念，构建倾斜角定义（0°≤α＜180°）、斜率公式（k=tanα及两点式），结合方向向量深化理解，形成从几何直观到代数刻画的学习支架。 资料以问题驱动和数形结合为特色，通过“坡度”类比等实例引导学生用数学眼光观察倾斜程度，借助三点共线证明等例题培养数学抽象与逻辑推理能力。课中教师可依托探究任务引导主动建构，课后学生通过分层练习巩固斜率计算与范围分析，有效弥补理解盲点。

单元学习五　直线的倾斜角与斜率 　　[单元整体设计]　直线和圆是平面几何中已经研究过的图形，本章用解析几何的方法进行再研究，可以使学生体会解析几何方法的特点.本章首先在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；然后用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离.在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.基于以上内容，本章共分五个单元整体设计：直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系，学习计划16课时(含习题课、复习课). 　　本单元内容是本章的基础，主要内容是直线的倾斜角与斜率的概念、关系；过两点的斜率公式；以及运用直线的斜率判断直线平行、垂直的位置关系，学习计划2课时. 　　本单元内容重点是直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.难点是用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，培养直观想象的核心素养. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，提升数学抽象的核心素养. 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，发展数学运算的核心素养. 任务一　直线的倾斜角 (阅读教材P51－52，完成探究问题1、2) 问题1.在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 问题2.在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 直线的倾斜角 倾斜角 的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特例 当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0° 倾斜角α 的范围 0°≤α＜180° 具体如下： 倾斜角 α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 直线 与x轴平 行(重合) 由左向 右上升 与x轴 垂直 由左向 右下降 学生用书⬇第51页 微提醒　(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. [微思考]　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的. (1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　 ) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 答案：(1)AC　(2)AB 解析：(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确；当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.故选AC. (2)根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB. 求直线倾斜角的关键及两点注意 1.关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角. 2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；(2)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 对点练1.(1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　) A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180° (2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　. 答案：(1)C　(2)60°或120° 解析：(1)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.故选C. (2)有两种情况：如图①所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 如图②所示，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 任务二　直线的斜率和方向向量 (阅读教材P52－54，完成探究问题3) 问题3.日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度. 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2.斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在. 3.直线的方向向量 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. (1)直线P1P2的方向向量＝(x2－x1，y2－y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为＝(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 学生用书⬇第52页 微提醒　(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.(5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　. (2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　. (3)已知直线l的方向向量的坐标为(1，)，则直线l的倾斜角为　　　 　. 答案：(1)－　(2)1　(3) 解析：(1)k＝tan 120°＝－ .(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. (3)设直线l的斜率为k，则k＝，所以直线的倾斜角为. 应用斜率公式求斜率时应注意的问题 1.运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不存在. 2.斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 3.在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 对点练2.(1)已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为(　　) A.－3 B.3 C.－ D. (2)已知直线l过A，B两点且倾斜角为，则m的值为　　　　. 答案：(1)C　(2)1 解析：(1)因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C. (2)由直线l过点A，B，可得AB的斜率为k＝＝m，因为直线l的倾斜角为，可得k＝tan ＝1，所以m＝1. 任务三　三点共线问题 已知A，B，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围. 解：因为A，B，C， 所以kAC＝＝， 当a＋2＝1，即a＝－1，此时A，B，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在， 此时A，B，C三点能构成一个三角形， 当a＋2≠1，即a≠－1时，kAB＝，要使A，B，C三点能构成一个三角形，则kAB≠kAC，即≠，解得a≠， 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，)∪(，＋∞). 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练3.证明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三点在同一条直线上. 证明：易知直线AB，AC的斜率都存在， 因为kAB＝＝＝－3， kAC＝＝＝－3， 所以kAB＝kAC，又AB，AC过同一点A， 所以A，B，C三点共线. 学生用书⬇第53页 任务四　 倾斜角和斜率的范围问题 已知点A，B，P，点Q是线段AB上的动点.求： (1)直线PQ的斜率的范围； (2)直线PQ的倾斜角的范围. 解：(1)如图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝， 则直线PQ的斜率范围为(－∞，－1]∪[，＋∞). (2)令直线PQ的倾斜角为θ∈[0，π)，而直线PA，PB对应的倾斜角分别为，， 则直线PQ的倾斜角的范围为［，］. 1.过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为： 第一步：连接PA，PB； 第二步：由k＝，求出kPA，kPB； 第三步：结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围. 2.直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜角越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜角也越大. 对点练4.已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2 ，4)为端点的线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围. 解：设点P(0，－2)，由题意作出图形，如图所示， 因为kPA＝ ＝1，kPB＝ ＝－ ， 若要使直线l与线段AB相交， 则kl≥kPA或kl≤kPB， 所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，－ ]∪[1，＋∞). 任务再现 1.直线的倾斜角及其范围.2.直线的斜率的定义和斜率公式.3.直线的方向向量.4.三点共线问题.5.倾斜角和斜率的范围问题 方法提炼 公式法、数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 忽视倾斜角的范围、图形理解不清、忽视斜率公式的使用条件 1.如图，直线l的倾斜角为(　　 ) A.30̊ B.60̊ C.135̊ D.150̊ 答案：D 解析：根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为105̊＋45̊＝150̊.故选D. 2.已知经过A(1－a，1＋a)，B(3，2a)两点的直线l的方向向量为(1，－2)，则实数a的值为　　　　. 答案：－1 解析：由已知可得，＝(2＋a，a－1).又直线l的方向向量为(1，－2)，所以＝(2＋a，a－1)与(1，－2)共线，所以有－2(2＋a)－1×(a－1)＝0，解得a＝－1. 3.(双空题)已知A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x＝　　　　，直线AB的倾斜角为　　　　. 答案：3　 解析：因为A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. 4.直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角α的范围是　　　　　　. 答案：∪ 解析：因为k＝tan α，又斜率k的取值范围是，所以－≤tan α≤，又α∈，tan α＝时，α＝，tan α＝－时，α＝，由图可得，α∈∪. 课时分层评价11　倾斜角与斜率 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(多选)下列命题正确的是(　　 ) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案：ABC 解析：由倾斜角和斜率的定义知，A、B、C正确，D错误.故选ABC. 2.经过A，B两点的直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意得kAB＝＝－，所以直线的倾斜角为.故选A. 3.(2025·河南豫南名校高二联考)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(　　 ) A.k1＞k2＞k3 B.k3＞k1＞k2 C.k2＞k1＞k3 D.k2＞k3＞k1 答案：C 解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，如图所示，直线l3对应的倾斜角为钝角， 则k3＜0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3.故选C. 4.(2025·江苏南京高二期中)若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：A 解析：设A是直线l上任意一点，则平移后得点A'，于是直线l的斜率k＝kAA'＝＝－.故选A. 5.已知直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　 ) A.(－2，0] B.(－∞，－2]∪[0，＋∞) C.[1，2] D.[－2，0] 答案：D 解析：因为直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，所以kOA≤k≤0，又kOA＝ ＝－2，所以－2≤k≤0.故选D. 6.直线l1的方向向量为m＝，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　　) A. B. C. D.－ 答案：D 解析：设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的方向向量为m＝， 所以直线l1的斜率为tan α＝，所以α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝tan ＝－.故选D. 7.已知点A(－1，4)，B(2，7)在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为　　　　. 答案： 解析：直线l的斜率为k＝＝1，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝1，因为0≤α＜π，所以α＝. 8.已知直线l经过三点A，B，C(－1，9)，则y＝　　　　. 答案：－1 解析：因为直线l经过三点A，B，C(－1，9)，所以kAB＝kAC，即＝，解得y＝－1. 9.若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是　　　　. 答案：(－2，1) 解析：由题意知，kAB＝＝.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝＜0，解得－2＜t＜1. 10.(13分)已知A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围. 解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0， kAC＝＝. (2)如图所示， kBC＝＝. 设直线CD的斜率为k， 当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上， 此时k由kAC增大到kBC，所以实数k的取值范围为. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是(　　) A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k2＜k1 C.k3＜k1＜k2 D.k2＜k3＜k1 答案：ACD 解析：由k＝tan x在，分别单调递增，且x∈时，k≥0；x∈时，k＜0，若0≤θ1＜θ2＜θ3＜，或＜θ1＜θ2＜θ3＜π，则k1＜k2＜k3，故A正确；若0≤θ1＜θ2＜＜θ3＜π，则k3＜k1＜k2，故C 正确；若0≤θ1＜＜θ2＜θ3＜π，则k2＜k3＜k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立.故选ACD. 12.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为　　　　. 答案： 解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，即ab＝2a＋2b.两边同除以ab，得1＝＋，即＋＝. 13.已知直线l的方向向量n＝且与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，则直线l'的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：设直线l，l'的倾斜角分别为α，β，由直线l的方向向量n＝可得直线l的斜率为2，即tan α＝2＞0，α为锐角，又因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l'，所以β＝α＋60°，所以直线l'的斜率为k＝tan β＝tan＝＝＝－. 14.(15分)已知A，B，C三点. (1)若直线BC的倾斜角为135°，求m的值； (2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为B，C，直线BC的倾斜角为135°， 所以kBC＝－1＝，解得m＝4，故m的值为4. (2)因为A，B，C三点， 所以当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即＝，解得m＝. 所以存在m使得A，B，C三点共线，此时m＝. 15.(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为(　　) A.{3，4} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{2，3} 答案：B 解析：如图，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B. 16.(17分)已知点M在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围. 解：(1)因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈，记点A，B. 由题意可知点M在线段AB上移动，记点N， 则可看作过点M与点N的直线的斜率，如图所示， 又因为kNA＝－，kNB＝， 由于－1∈，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为(－∞，－］∪. (2)因为＝2×，记点P， 则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率，如图所示， 又因为kPA＝－，kPB＝－，所以. 学生用书⬇第54页 学科网（北京）股份有限公司 $