第一章 单元学习四 1.4.2 第1课时 距离问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　点到直线的距离 (阅读教材P33，完成探究问题1) 问题1.如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示：设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝｜a｜cos＜a，u＞·u＝｜a｜u＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝ ＝. 如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝. [微思考]　如何求两条平行线之间的距离？ 提示：两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离. (链教材P34例6)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB＝1，BC＝2，AA'＝3，求点B到直线A'C的距离. 解：因为AB＝1，BC＝2，AA'＝3， 所以A'(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)， 所以直线A'C的方向向量＝(1，2，－3). 法一：取a＝＝(0，2，0)， u＝＝(，，－)， 则a2＝4，a·u＝， 所以点B到直线A'C的距离为＝ ＝. 法二：又＝(0，2，0)，所以＝， 所以点B到直线A'C的距离为d＝ ＝ ＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 第一步(建系)：建立空间直角坐标系； 第二步(求方向向量)：求直线的方向向量； 第三步(求模)：计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影，向量的模； 第四步(求距离)：利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 对点练1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到直线BD的距离. 解：如图所示，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0). 所以＝(3，0，－1)，＝(－3，4，0)， 取a＝＝(3，0，－1)，u＝＝，则a2＝10，a·u＝－， 所以点P到直线BD的距离为＝＝. 学生用书⬇第35页 任务二 　点到平面的距离 (阅读教材P33－34，完成探究问题2) 问题2.已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示：过点P作PQ⊥平面α，垂足为Q，则线段PQ的长度就是点P到平面α的距离，而∥n，所以向量在法向量n方向上的投影向量的长度就等于线段PQ的长度. 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此PQ＝＝＝. [微思考]　当直线与平面平行时，如何求直线与平面的距离？两平行平面间的距离呢？ 提示：如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解；如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. (链教材P34例6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，E为AB中点. (1)求点B1到平面A1EC的距离； (2)求点C1到平面A1EC的距离. 解：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系. A1(1，0，1)，E(1，1，0)， B1(1，2，1)，C(0，2，0). ＝(－1，1，0)，＝(0，1，－1). 设平面A1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝1，可得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1). 又 ＝(0，－1，－1)， 所以点B1到平面A1EC的距离为＝＝. (2)由(1)可知，C1(0，2，1)，＝(－1，2，0)，所以点C1到平面A1EC的距离＝＝. 用向量法求点到平面的距离的步骤 第一步(建系)：建立恰当的空间直角坐标系； 第二步(求点坐标)：写出(求出)相关点的坐标； 第三步(求向量)：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)； 第四步(求距离)：d＝. 对点练2.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离. 解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD， 所以MO⊥平面BCD. 所以以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 所以OB＝OM＝. 则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2). 所以＝(1，，0)，＝(0，，). 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由 即取z＝1，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1，1). 又＝(0，0，2)，所以所求距离d＝＝. 学生用书⬇第36页 任务三　线线距、线面距和面面距 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1)求直线FC1到直线AE的距离； (2)求直线FC1到平面AB1E的距离. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1，1，1)，E(0，0，)，F(1，1，)，A(1，0，0)，C1(0，1，1). 因为＝，＝， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， u＝＝，＝， ＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为＝＝. (2)因为AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离. 由(1)知，＝，＝，＝(－1，0，). 设平面AB1E的一个法向量为n＝， 则 取z＝2，可得n＝， 所以C1到平面AB1E的距离为＝＝， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 　　线面距离或两个平行平面间的距离可以转化为点到平面的距离求解. 对点练3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A＝3，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点. (1)求证：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 解：(1)证明：法一：连接B1D1，NF(图略)， 因为M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点，所以MN∥EF∥B1D1， 因为MN⊄平面EFBD，EF⊂平面EFBD，所以MN∥平面EFBD， 因为NF綉AB，所以四边形ABFN是平行四边形，所以AN∥BF， 因为AN⊄平面EFBD，BF⊂平面EFBD，所以AN∥平面EFBD， 因为AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD. 法二：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz. 则A(2，0，0)，N(1，0，3)，B(2，2，0)，E(0，1，3)，F(1，2，3)，M(2，1，3).所以＝(1，1，0)，＝(－1，－1，0)， ＝(－1，0，3)，＝(－1，0，3). 所以＝－，＝，所以EF∥MN，AN∥BF， 因为MN⊄平面EFBD，EF⊂平面EFBD， 所以MN∥平面EFBD， 因为AN⊄平面EFBD，BF⊂平面EFBD， 所以AN∥平面EFBD， 又MN∩AN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD. (2)法一：平面AMN与平面EFBD的距离等于B到平面AMN的距离h.在△AMN中，AM＝AN＝，MN＝，S△AMN＝×× ＝， 所以由VB-AMN＝VN-AMB可得×h＝××2×3×1，所以h＝. 法二：设平面AMN的一个法向量为n＝， 则取z＝1，得n＝(3，－3，1)， 因为＝， 所以平面AMN与平面EFBD的距离为d＝＝＝. 任务再现 1.点到直线的距离.2.点到平面的距离. 3.直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离 方法提炼 向量法、数形结合法、转化法 易错警示 对距离公式理解不到位，生搬硬套导致失误 1.已知点M( ) ，平面α过原点O，且垂直于向量n＝()，则点M到平面α的距离是(　　) A.7 B. C. D. 答案：D 解析：由题意，＝()，n＝()，则·n＝1＋2＋4＝7，所以点M到平面α的距离为d＝＝＝.故选D. 2.(多选)点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝()的直线l的距离为，则点M的坐标是(　　) A.() B.) C. D. 答案：AB 解析：设M()，则＝()，又直线l的方向向量为s＝()，所以点M到直线l的距离d＝＝＝，所以m＝±3，则M()或M().故选AB. 3.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A，且两平面的一个法向量n＝()，则两平面间的距离是　　　　　. 答案： 解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，故＝(1，2，3).又两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，所以两平面间的距离d＝＝＝. 4.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　　　. 答案： 解析：因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离.易知＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d＝＝＝，即直线AB到平面α的距离为. 课时分层评价8　距离问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：＝(2，0，1)，所以点P(4，3，2)到直线l的距离d＝＝＝.故选D. 2.已知A，B，C，O，则点O到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：＝，＝，＝(0，2，0)，设平面ABC的法向量为n＝，则取z＝6，得x＝2，y＝3，故n＝，故点O到平面ABC的距离为d＝＝＝.故选A. 3.Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P.所以＝(－4，3，0)，＝.所以点P到AB的距离d＝＝＝3.故选C. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图所示，建立空间直角坐标系.则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0).所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，).所以＝，又直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1，又MN⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则所以x＝y＝z，取z＝1，则n＝(1，1，1).又因为＝，所以点M到平面ACD1的距离d＝＝＝.故直线MN与平面ACD1间的距离为.故选D. 5.(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A.－16 B.－4 C.4 D.16 答案：AC 解析：点A(－1，3，0)，P(－2，1，z)，所以＝(－1，－2，z).又n＝(－2，－2，1)，则d＝＝＝＝，解得z＝4或－16.故选AC. 6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在线段CC1上，且＝4，点F为BD中点，则点D1到直线EF的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：连接ED1，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意可得D1(0，0，4)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，则＝(0，－2，3)，＝(1，－1，－1)， 所以点D1到直线EF的距离为＝＝，故选A. 7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，则点B到直线A1C1的距离为　　　　. 答案： 解析：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(4，0，1)，C1，所以直线A1C1的方向向量为＝，而＝，所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝＝. 8.在四棱锥S-ABCD中，＝(4，－1，0)，＝(0，3，0)，＝(－3，1，－5)，则这个四棱锥的高h为　　　　　　. 答案：5 解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则有所以x＝y＝0，所以取n＝(0，0，1)，所以此四棱锥的高h＝＝＝5. 9.已知棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为　　　　. 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1).所以 ＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0).设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝(x，y，1)，则故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 10.(13分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F. 所以＝(1，，－1)，＝(，1，－1)，＝(0，0，1). 法一：设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 所以 取z＝3，得n＝(2，2，3). 所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝. 法二：设DH⊥平面PEF，垂足为H， 则＝x＋y＋z＝，x＋y＋z＝1， ＝，＝， 所以·＝x＋y＋－z＝x＋y－z＝0. 同理，·＝x＋y－z＝0， 又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝，z＝. 所以＝，所以｜｜＝. 因此，点D到平面PEF的距离为. (2)由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离， 由(1)知＝， 平面PEF的一个法向量为n＝(2，2，3)， 所求距离为＝＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案：BC 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3).设P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)，＝(0，3，0).设n＝(x，y，z)为平面AD1P的法向量，则有令z＝t，可得n＝(t，3，t).则点B到平面AD1P的距离为d＝＝，因为0＜t＜3，所以2t2＋9∈，所以d∈(，3).故选BC. 12.(数学文化)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，如图.已知在“鳖臑”P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　　　　. 答案： 解析：以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图所示.则B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0).由M为PC的中点可得M(1，1，1).＝(1，1，1)，＝(2，0，0)，＝(2，0，2).设n＝(x，y，z)为平面MAB的法向量，则取z＝－1，可得n＝(0，1，－1)，点P到平面MAB的距离为d＝＝. 13.(开放题)在空间直角坐标系Oxyz中，A，B，C，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值为　　　　　　　. 答案：1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可) 解析：因为＝，＝，所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋，故取m＝1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可). 14.(17分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB＝3，BC＝5. (1)证明：AA1⊥平面ABC； (2)在线段BC上是否存在点P，使得点P到平面A1C1B的距离为2，若存在，求BP的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：因为AA1C1C是正方形，AA1B1B为矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，且AB，AC⊂平面ABC，AB∩AC＝A， 所以AA1⊥平面ABC. (2)因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，所以AB⊥AC， 因此AB，AC，AA1两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示. 则有B(0，3，0)，C(4，0，0)，A1(0，0，4)，C1(4，0，4). 所以＝(4，－3，0)，＝(0，－3，4)，＝(4，－3，4). 设平面A1C1B的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有 取z＝3，则n＝(0，4，3). 假设在线段BC上存在点P，满足题设条件，设＝λ，0≤λ≤1. 所以＝(4λ，－3λ，0)， 所以点P到平面A1C1B的距离为d＝＝＝2，解得λ＝，满足题意， 故在BC上存在点P，使点P到平面A1C1B的距离为2，此时BP＝BC＝. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(新角度)如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，点H在棱AA1上，且HA1＝，在侧面BCC1B1内作边长为的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示.则F(，1，)，H(1，0，).设P，(0x1，0z1)，因为点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，所以x＝，化简得＝，则06x－14，解得≤x≤，综上可得x≤.所以HP＝＝，所以当x＝时，HP取最小值是.故选D. 16.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝90°，则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点O，M，连接OM，PM，PO，因为PO＝1，OM＝2，AP＝＝，PB＝＝＝，PM＝＝＝，所以OP2＋OM2＝PM2，所以OP⊥OM.又因为PO⊥AD，所以由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD.以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系.则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，1).＝(1，2，－1)，＝(－1，2，－1).设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N(0，1，a)，因为PN＝NA，所以(－1)2＋(1－a)2＝1＋(－1)2＋(－a)2，解得a＝0.所以＝(0，－1，1)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒取z＝2，则n＝(0，1，2).则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离为d＝＝＝＝. 学生用书⬇第37页 学科网（北京）股份有限公司 $