第一章 单元学习四 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“空间中点、直线和平面的向量表示”核心知识点，衔接前三个单元空间向量基础知识，通过点的位置向量、直线方向向量（含向量表示式及求法）、平面法向量（含向量表示式及求法）的系统梳理，构建从向量概念到立体几何元素描述的学习支架，为后续解决空间位置关系及度量问题奠定基础。 该资料以“油纸伞舞蹈”等生活情境引入，通过问题链引导学生用数学眼光观察现实世界，结合正方体、四棱锥等模型，运用坐标法和待定系数法求方向向量、法向量，培养数学抽象和数学运算核心素养。课中助力教师落实核心素养教学，课后通过分层评价与对点练，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

单元学习四　空间向量的应用 　　[单元整体设计]　通过前面3个单元的学习，我们类比了平面向量，得到空间向量的知识，对空间向量有了基本认识.本单元进一步利用空间向量来解决立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这单元的重点.学习计划5课时. 　　本单元内容重点是空间图形基本要素及其关系的向量表示，用向量方法解决空间图形的位置关系和距离、夹角等度量问题.难点是建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题.在研究的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.会求直线的方向向量与平面的法向量，提升数学运算的核心素养. 任务一　空间中点、直线的向量表示 (阅读教材P26－27，完成探究问题1、2) 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂. 问题1.观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙说彩灯在他的右上方，为什么？ 提示：甲、乙观察点的位置不一样. 问题2.当舞蹈演员们向同一个方向举起油纸伞时，伞柄所在的直线是什么位置关系？ 提示：互相平行. 1. 点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2. 空间直线的向量表示式 (1)设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta①， 将＝a代入①式，得＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. (2)性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. [微思考]　直线l的方向向量唯一吗？ 提示：　 不唯一，空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. 学生用书⬇第23页 (1)(双空题、开放题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　　. (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 答案：(1)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一)　(2)A 解析：(1)因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)，故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)，故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1).(答案不唯一) (2)因为A(0，y，3)，B(－1，2，z)，所以＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km.所以所以y－z＝0.故选A. 理解直线方向向量的概念 1.直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量. 2.直线的方向向量不唯一. 对点练1.(1)(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是(　　) A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(－3，0，1) (2)已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　) A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 答案：(1)AB　(2)A 解析：(1)因为＝(1，1，3)，M，N在直线l上，所以向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作为直线l的方向向量.故选AB. (2)因为a∥b，a＝(2，－3，5)，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，即(－4，x，y)＝λ(2，－3，5)＝(2λ，－3λ，5λ)，所以所以x，y的值分别是6和－10.故选A. 任务二　空间中平面的向量表示 (阅读教材P27－28，完成探究问题3) 问题3.当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？ 提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直， 所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变. 1.空间平面的向量表示式 (1)取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＋x＋y. 我们把上式称为空间平面ABC的向量表示式. (2)性质：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 2.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P｜a·＝0}. [微思考]　过空间一点作平面的法向量，法向量唯一吗？ 提示：　过空间一点作平面的垂线有且只有一条，但法向量有无限多个，它们是共线向量. (1)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A.(0，－3，1) B.(2，0，1) C.(－2，－3，1) D.(－2，3，－1) (2)已知n＝是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，则k＝　　　. 答案：(1)D　(2)9 解析：(1)求与n共线的一个向量.易知(2，－3，1)＝－(－2，3，－1).故选D. (2)由A，B，得＝，因为n＝是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝·＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 1.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0.从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取. 学生用书⬇第24页 对点练2.(1)(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　) A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0) B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) (2)已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　. 答案：(1)AC 　(2)x＋2y－3z＝0 解析：(1)对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知＝(0，1，0)是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC知＝(1，0，1)是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1知＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1知＝(0，－1，1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误.故选AC. (2)由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0. 任务三　求平面的法向量 (链教材P28例1)(一题多问)如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求： (1)平面ABCD的一个法向量； (2)平面SAB的一个法向量； (3)平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1). (1)因为SA⊥平面ABCD， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. (2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以＝是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1). 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 所以 所以取y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝(2，－1，1). 所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量. 利用待定系数法求平面法向量的步骤 第一步(设向量)：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； 第二步(选向量)：在平面内选取两个不共线向量，； 第三步(列方程组)：由列出方程组； 第四步(解方程组)； 第五步(赋非零值)：取其中一个为非零值(常取±1)； 第六步(得结论)：得到平面的一个法向量. 对点练3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量. 解：如图所示，建立空间直角坐标系. 依题意可得D(0，0，0)，P(0，0，1)，E，B(1，1，0)，于是＝，＝(1，1，0). 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，于是取x＝1，则y＝－1，z＝1， 所以平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1，1). 学生用书⬇第25页 [教材拓展2]　直线的点向式方程与平面的点法式方程(源于教材P44　17题) 结论： 在空间直角坐标系中，已知向量u＝(a，b，c)(abc≠0)，点P0(x0，y0，z0)，点P(x，y，z). (1)若直线l经过点P0，且以u为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线的点向式方程为＝＝； (2)若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，则平面的点法式方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0. 人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”17题中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面α经过点P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为法向量，设P(x，y，z)是平面α内的任意一点，由u·＝0，可得a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为2x＋2y＋z－7＝0，直线l的方向向量为(1，2，－2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为平面α的方程为2x＋2y＋z－7＝0，所以平面α的一个法向量为m＝(2，2，1)，直线l的方向向量为n＝(1，2，－2)，设直线l与平面α所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜m，n＞｜＝＝＝.故选B. 任务再现 1.空间点、直线、平面的向量表示.2.直线的方向向量.3.平面的法向量 方法提炼 待定系数法、坐标法、赋值法、转化化归 易错警示 不理解直线的方向向量与平面的法向量的不唯一性 1.若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A.(－3，0，－6) B.(9，0，－6) C.(－2，0，2) D.(－2，1，3) 答案：B 解析：＝(3，0，－2)＝(9，0，－6).故选B. 2.过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是(　　) A.(1，1，1) B.(1，1，－1) C.(1，0，1) D.(－1，0，1) 答案：A 解析：＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1).设该平面的法向量为n＝(x，y，z)，由题意知取z＝1，得平面的一个法向量是(1，1，1).故选A. 3.已知向量a＝，b＝都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 答案：A 解析：由题意可得a∥b，所以b＝λa，则＝λ＝，所以解得x＝－1.故选A. 4.已知直线l的一个方向向量为a＝(2，1，1)，且过点M(1，0，－1).若平面α过直线l与点N(1，2，3)，则平面α的一个法向量是　　　　　. 答案：(1，－4，2) 解析：依题意，＝(0，2，4)，显然与a不共线，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝2，得y＝－4，x＝1，因此n＝(1，－4，2)是平面α的一个法向量. 课时分层评价5　空间中点、直线和平面的向量表示 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为(　　) A.(1，1，0) B.(1，0，1) C.(0，0，1) D.(1，1，1) 答案：D 解析：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1).故选D. 2.若直线l过点A(－1，3，4)，B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：＝(2，－1，－3)＝－3.故选D. 3.已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A.(1，1，1) B. C. D. 答案：C 解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，则所以x＝y＝z.又因为单位向量的模为1，故只有C正确. 4.已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是(　　) A.(1，0，0) B.(0，1，0) C.(0，0，1) D.(1，1，1) 答案：B 解析：因为四个选项中，只有a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，所以平面α，β交线的方向向量可以是(0，1，0).故选B. 5.已知平面α的一个法向量n＝(1，2，3)，P(1，1，1)，P∈α，Q∈α，则点Q的坐标可以是(　　) A.(－1，－1，－1) B.(4，2，－1) C.(3，2，1) D.(2，2，0) 答案：D 解析：设点Q(x，y，z)，因为P(1，1，1)，所以＝(x－1，y－1，z－1).由·n＝(x－1)×1＋(y－1)×2＋(z－1)×3＝0得x＋2y＋3z＝6，依次验证选项，只有选项D满足.故选D. 6.(多选)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是(　　) A.直线C1C的一个方向向量为(0，0，1) B.直线CD1的一个方向向量为(－1，0，1) C.平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D.平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 答案：ABC 解析：设正方体的棱长为1，因为AA1∥CC1，且＝(0，0，1)，故A正确；因为BA1∥CD1，＝(－1，0，1)，故B正确；因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故C正确；因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，故D错误.故选ABC. 7.(开放题)已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量n＝　　　　　(坐标表示). 答案：(－3，0，－2)(答案不唯一) 解析：由题意知，在直线l上，A(1，2，3)，B(－2，2，1)，所以直线l的一个方向向量n＝＝(－3，0，－2). 8.(双空题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有　　　　个； (2)平面AA1B1B的法向量有　　　　个. 答案：(1)8　(2)8 解析：(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个.(2)平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个. 9.若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝　　　　　　　　. 答案：2∶3∶(－4) 解析：由已知得，＝，＝.因为n是平面α的法向量，所以n·＝0，n·＝0，即所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4). 10.(13分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝6，AA1＝3，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面ACC1A1. 解：(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，A1(6，0，3)， 所以＝(0，0，3). 因为DD1⊥平面ABCD， 所以为平面ABCD的一个法向量， 所以平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，3)(答案不唯一). (2)设平面ACC1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(－6，2，0)，＝(0，0，3)， 所以取x＝1，则n＝(1，3，0)， 所以平面ACC1A1的一个法向量为n＝(1，3，0)(答案不唯一). (11—13，每小题5分，共15分) 11.在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　) A. B.(1，，1) C.(1，1，1) D.(2，－2，1) 答案：A 解析：由题意知，A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，由取z＝1，则x＝2，y＝2，所以n＝(2，2，1).又＝n，因此平面PAB的一个法向量为. 故选A. 12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为(　　) A.(0，1，0) B.(0，1，1) C.(1，1，1) D.(1，1，0) 答案：B 解析：根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，－1).设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，则有取y＝1，可得z＝1，则n＝(0，1，1).经验证，其他选项均不符合题意.故选B. 13.(多选)已知空间中三点A，B，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是(　　) A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是 C.与夹角的余弦值是 D.平面ABC的一个法向量是 答案：BD 解析：对于A，＝，＝，因为≠，所以不是共线向量，故A错误；对于B，＝，则与＝＝，故B正确；对于C，＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝－，故C错误；对于D，＝，＝，设平面ABC的法向量为n＝，则取x＝1，则得n＝，故D正确.故选BD. 14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 解：如图所示，连接PF，CF，AC. 因为PA＝PB，F为AB的中点， 所以PF⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD. 因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形， 所以CF⊥AB. 所以以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 由题意得F(0，0，0)，P，D，C，E. 所以＝，＝. 设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 所以取y＝2，则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为n＝(，2，－2)(答案不唯一). 15.(5分)(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则下列结论正确的是(　　) A.m＝－1 B.m＝1 C.n＝2 D.n＝－2 答案：AC 解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的一个法向量，得 解得故选AC. 16.(17分)(新定义)17世纪，笛卡儿在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程x＝1在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面.已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0). (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z的关系. 解：(1)因为B(1，－1，－2)，C(－1，0，0)， 所以直线BC的一个方向向量为＝(－2，1，2). (2)因为平面α经过A(1，2，3)且M(x，y，z)是平面α内的任意一点， 则有＝(x－1，y－2，z－3). 又因为是平面α的一个法向量， 所以⊥， 从而·＝0， 即(－2，1，2)·(x－1，y－2，z－3)＝0， 所以－2(x－1)＋(y－2)＋2(z－3)＝0， 整理得2x－y－2z＋6＝0， 所以x，y，z的关系为2x－y－2z＋6＝0. 学生用书⬇第26页 学科网（北京）股份有限公司 $