第一章 单元学习三 空间向量及其运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系，系统构建空间点的坐标表示、空间向量的正交分解与坐标运算，进而延伸至向量平行垂直的坐标条件、夹角与距离公式，形成从基础概念到运算规律再到立体几何应用的完整学习支架。 该资料以任务驱动设计学习过程，通过“微思考”引导数学抽象（如空间点与向量坐标关系），“对点练”强化数学运算（如坐标表示下的向量加减与数量积），结合正四棱锥、直三棱柱等实例培养直观想象与逻辑推理。引入校服型号选择等实际问题，体现数学语言表达现实世界的价值，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，深化知识理解与应用能力。

单元学习三　空间向量及其运算的坐标表示 　　[单元整体设计]　本单元主要内容包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示.其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础.通过本单元的学习，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量及其运算的坐标表示，并会用这些知识解决简单的立体几何问题.学习计划1课时. 本单元内容重点是空间直角坐标系的建立和空间向量运算的坐标表示，难点是空间向量运算的坐标表示及其应用.在研究的过程中，发展数学运算、逻辑推理的核心素养. 学习目标 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，提升数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　空间直角坐标系及点的坐标 (阅读教材P16－17，完成探究问题1) 问题1.利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 提示：在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系. 1.建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 3.建系的常用规则 (1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (2)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 4.点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. [微思考]　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 学生用书⬇第17页 角度1　点的坐标表示 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 所以正四棱锥的高为＝2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2). 答案不唯一. 1.建立空间直角坐标系的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性； (3)一般用右手直角坐标系. 2.求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). 对点练1.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，试建立适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标. 解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1， 可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为1， 所以OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. 因为A，B，C均在坐标轴上， 所以A，B，C. 因为点A1与C1在Oyz平面内， 所以A1，C1. 因为点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1， 所以B1， 即该三棱柱各顶点的坐标为A，B(，0，0)，C，A1，B1，C1.答案不唯一. 角度2　求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标. 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P1(－2，－1，－4). (2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3. 空间点对称问题的解题策略 1.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. 2.对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 对点练2.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　　　. 答案：(2，－3，1) 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 学生用书⬇第18页 任务二　空间向量的坐标及坐标运算 (阅读教材P17－19，完成探究问题2、3) 问题2.在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，如何确定它们的坐标？ 提示：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.所以在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，，，且＝＋＋.设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A(向量)的坐标为(x，y，z). 问题3.平面向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2. 你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？ 提示：能.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.即设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z). 2.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 微提醒　(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.(2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量. 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5). (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标. 解：(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z). 因为＝(4，1，2)， 所以 所以点B的坐标为(6，－4，5). 因为＝(3，－2，5)， 所以 所以点C的坐标为(9，－6，10). (2)因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)， 所以·＝－21－2－35＝－58. (3)设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以 故点P的坐标为. 空间向量坐标运算的规律及注意点 1.由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. 2.直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. 3.由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 对点练3.已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q； (2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q). 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6). (1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9). (2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15). (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2 ＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. 学生用书⬇第19页 任务三　空间向量平行、垂直的坐标表示 (阅读教材P19，完成探究问题4) 问题4.如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？ 提示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)，即a1b2－a2b1＝0，a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＝0(a≠0，b≠0).上述充要条件在空间中仍成立，设空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb，λ∈R，可以用坐标表示为(a1，a2，a3)＝λ(b1，b2，b3)，得到方程组(λ∈R)，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示. a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量). 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； 垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. [微思考]　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则一定有＝＝成立吗？ 提示：当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立. 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 解：(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以2a－b＝(3，2，－2)，又c＝， 所以2a－b＝－2c， 所以(2a－b)∥c. (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或－. 判断空间向量垂直或平行的方法 　　对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行. 对点练4. 已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若λ＜0，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)因为a∥b， 所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)， 所以 所以λ＝，m＝3. (2)因为a⊥c， 所以2(λ＋1)－2λ×1－λ×2λ＝0， 化简得2－2λ2＝0，解得λ＝±1， 又λ＜0，所以λ＝－1. 所以a＝(0，1，－2). 任务四　空间向量夹角与距离的坐标表示 (阅读教材P19－20，完成探究问题5) 问题5.你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是｜｜＝＝，所以P1P2＝｜｜＝. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 ｜a｜＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；P1P2＝｜｜＝. 学生用书⬇第20页 微提醒　(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆.(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则｜｜＝. (链教材P21例3)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积. 解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N. (1)因为＝(1，－1，1)，＝， 所以｜｜＝＝，｜｜＝＝. 故BM的长为，BN的长为. (2)因为cos∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝， 所以sin∠MBN＝＝， S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN＝×××＝. 即△BMN的面积为. 利用空间向量的坐标运算解决 夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题. 对点练5.在四棱锥P -ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系. 因为∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， 所以A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0). 由PD⊥平面ABCD，得 ∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，所以∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2， 所以P(0，0，2). 所以BP＝｜｜ ＝ ＝4. (2)由(1)得，＝(2，0，－2)，＝(－2，－3，0)，所以cos＜，＞＝ ＝＝－， 所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为. [教材拓展1]　向量概念的推广与应用(源于教材P23阅读与思考) 给定空间一个单位基底，任意一个空间向量，都可用三元有序实数组(a1，a2，a3)表示，则由三元有序实数组(a1，a2，a3)表示的空间向量又称为三维向量，一般地，n元有序实数组(a1，a2，…，an)称为n维向量.n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维向量空间.定义n维向量空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的“距离”dAB＝.某校服公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一男生的四种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如表所示： 学生用书⬇第21页 型号 身高/cm 胸围/cm 腰围/cm 肩宽/cm L 170 92 78 42 XL 175 96 82 44 XXL 180 100 86 46 XXXL 185 104 90 48 为了给某中学新高一的男生制作校服，该校服公司测量了每名男生的身高a1、胸围a2、腰围a3、肩宽a4，我们把测量得到的数据按照身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生的身材可以用四维向量(a1，a2，a3，a4)表示，并且可以把它看做四维向量空间中的一个点.依据“距离”来选择衣服型号是一种常用的方法，即计算每个向量与标准点的距离，与哪个标准点的距离最近，就选择哪种型号.若某同学的身材点为P(172，95，80，43)，则该同学应该订的校服的最佳型号为(　　) A.L B.XL C.XXL D.XXXL 答案：B 解析：依题意dPL＝ ＝＝3，dPXL＝＝， dPXXL＝＝， dPXXXL＝＝， 因为＜＜＜，所以该同学应该订的校服的最佳型号为XL.故选B. 任务再现 1.空间直角坐标系及空间点的坐标.2.空间向量的坐标表示及坐标运算.3.空间向量的平行与垂直.4.空间向量的夹角与距离 方法提炼 数形结合思想、类比法、转化法 易错警示 1.混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.2.由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.3.求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况 1.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A.(3，5，4) B. C. D. 答案：C 解析：由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是.故选C. 2.已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　) A.(－3，－2，3) B.(－3，2，－3) C.(－3，2，3) D.(－3，－2，－3) 答案：C 解析：点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3).故选C. 3.(多选)已知a＝，b＝，c＝，则下列结论错误的是(　　) A.b∥c B.a∥b C.a⊥b D.a⊥c 答案：ABD 解析：对于A，因为≠≠，所以向量b与c不共线，故A不正确；对于B，因为≠≠，所以向量a与b不共线，故B不正确；对于C，因为a·b＝2×2＋3×0＋(－1)×4＝0，所以a⊥b，故C正确；对于D，因为a·c＝2×(－4)＋3×(－6)＋(－1)×2≠0，所以向量a与c不垂直，故D不正确.故选ABD. 4.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为　　　　. 答案： 解析：因为＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，所以｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，所以cos〈，〉＝＝＝，又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 课时分层评价4　空间向量及其运算的坐标表示 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.在如图所示的长方体ABCD -A1B1C1D1中，点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，则点C1的坐标为(　　) A.(3，3，2) B.(3，2，2) C.(3，2，3) D.(2，2，3) 答案：B 解析：因为点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，所以AB＝3，AD＝2，AA1＝2，所以点C1的坐标为(3，2，2).故选B. 2.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A.点B1的坐标为(4，5，3) B.点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案：ACD 解析：依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确；设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确.故选ACD. 3.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A. 　B. C. 　D. 答案：C 解析：由题图知，B(1，1，0)，E(1，，1)，所以＝.故选C. 4.(2024·四川广安高二摸底)已知空间向量a＝(3，0，1)，b＝(－2，1，n)，c＝(1，2，3)，且(a－c)·b＝2，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：由题意知，a－c＝(3，0，1)－(1，2，3)＝(2，－2，－2).因为(a－c)·b＝－4－2－2n＝2，解得n＝－4，即b＝(－2，1，－4)，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.故选B. 5.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 答案：B 解析：因为A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，所以＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，可得＝－3，所以∥.又＝(2，0，－2)，所以AB与AC不共线，所以直线AB与CD的位置关系是平行.故选B. 6.(多选)在空间直角坐标系中，向量a＝，b＝，则下列结论正确的是(　　) A.(2a＋b)∥a B.5＝ C.a⊥(5a＋6b) D.a与b夹角的余弦值为 答案：BC 解析：由题意知，2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A错误；＝，＝5，所以5＝，故B正确；a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；a·b＝－5，cos〈a，b〉＝＝－，故D错误.故选BC. 7.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为　　　　　　　　. 答案：(2，－4，5)，(1，2，－3) 解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4，5)，b＝(1，2，－3). 8. 在空间直角坐标系Oxyz中，点M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q在平面Oxy内的射影的坐标是　　　　　　. 答案：(1，1，0) 解析：因为M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，所以Q(1，1，－1)，所以点Q在平面Oxy内的射影的坐标是(1，1，0). 9.(2025·广东八校高二调研)已知向量a＝，b＝的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　　　　　　. 答案：∪ 解析：由a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3t＝－10＋3t＜0，得t＜，当a∥b时，b＝λa，即＝λ，得解得t＝－6，所以当向量a，b的夹角为钝角时，实数t的取值范围为∪. 10.(13分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF； (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长. 解：建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G. 所以＝，＝，＝，＝. (1)证明：因为·＝×＋×＋×0＝0， 所以⊥，即EF⊥CF. (2)因为·＝×1＋×0＋×＝，｜｜＝＝， ｜｜＝＝， 所以cos＜，＞＝＝＝. 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为. (3)CE＝｜｜＝＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(双空题)已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为　　　　；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为　　　　. 答案：(1，1，1)　 解析：由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又因为p＝2a＋b－c，所以解得x＝，y＝，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 12.已知空间三点A，B，C，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为　　　　. 答案：28 解析：由已知＝，＝(－4，－2，6)，所以＝＝2，＝＝2，所以cos〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈，则sin〈，〉＝＝，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝×2×2××2＝28. 13.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，点M，N分别在直线D1E，CD上，则线段MN的最小值为　　　　. 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，E，＝(2，1，－2).由题意，＝λ＝(2λ，λ，－2λ)，则M(2λ，λ，2－2λ).又设N(0，n，0)，所以＝＝.当λ＝n＝时，MN取得最小值，最小值为. 14.(15分)(新情境)如图所示，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥底面ABCD.在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由. 解：因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD. 因为AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直. 所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD. 在Rt△CDE中，因为∠CDA＝45°，CD＝， 所以DE＝CE＝1. 设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t). 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t， 所以E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0). 假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等. 设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0). 由｜｜＝｜｜，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.① 由｜｜＝｜｜，得(4－t－m)2＝m2＋t2.② 由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③ 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等. 15.(5分)(新定义)(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　) A.已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 B.已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z＞0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值 C.已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D.已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ 答案：BC 解析：a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，因为0＜θ＜π，且θ≠， 所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误.故选BC. 16.(17分)(创新题)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1). (1)求证：AP⊥底面ABCD； (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义. 解：(1)证明：因为·＝－2－2＋4＝0， 所以AP⊥AB. 又因为·＝－4＋4＋0＝0， 所以AP⊥AD. 因为AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线， 所以AP⊥底面ABCD. (2)设的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， V＝｜｜·｜｜·sin θ·｜｜＝··＝16. (3)｜(×)·｜＝｜－4－32－4－8｜＝48，它是四棱锥P-ABCD体积的3倍. 猜测：｜(×)·｜在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积. 学生用书⬇第22页 学科网（北京）股份有限公司 $