1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量概念、线性运算及共线共面充要条件核心知识点，衔接必修平面向量与立体几何初步，通过概念推广与运算类比构建知识体系，为后续空间向量基本定理及坐标运算奠定基础，形成承上启下的学习支架。 资料以国庆游客位移情境引入空间向量，结合正方体、平行六面体等实例，通过类比迁移培养数学抽象与直观想象素养，分层练习与证明题设计助力逻辑推理与数学运算能力提升，课中辅助教师引导学生从具体到抽象，课后便于学生巩固练习、弥补知识盲点。

单元学习一　空间向量及其运算 　　[单元整体设计]　在必修课程学习“平面向量及其应用”和“立体几何初步”的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量的概念、线性运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，从中体会平面向量与空间向量的共性和差异；运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题，从中体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具.基于以上内容，本章共分四个单元整体设计：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用，学习计划11课时(含习题课、复习课).通过本章的学习，进一步提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 本单元内容是本章的基础，主要包括空间向量及其相关概念、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算等内容，学习计划2课时. 本单元内容的重点是空间向量及其相关概念、空间向量的线性运算、空间向量的数量积.难点是用向量方法解决立体几何问题.在研究的过程中，提升空间想象力，发展直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 1.1.1　空间向量及其线性运算 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律，提升数学运算的核心素养. 3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用，发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务一　空间向量的有关概念 (阅读教材P2－3，完成探究问题1) 问题1.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①所示， (1)游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ (2)如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：(1)如题图①，游客的实际位移是，可以用平面向量的加法来表示这个过程. (2)如题图②，他实际发生的位移是，可以用空间向量来表示这个位移. 1.空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 学生用书⬇第2页 (3)表示法： 2.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量 0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 ｜a｜＝1或＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 －a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 a∥b 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 a＝b或＝ 微提醒　(1)空间向量是平面向量的推广，可以类比平面向量学习.(2)空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.(3)零向量的长度为0，并规定零向量的方向是任意的.有向线段的起点A和终点B重合时，＝0.(4)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度.根据实际情况，“1”可以是1米，也可以是1毫米等. (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　 ) A.若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 B.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量，满足｜｜＞｜｜，则＞ D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　 ) A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，必有＝ C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中任意两个单位向量必相等 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)对于A，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；对于B，｜a｜＝｜b｜只能说明a，b的长度相等而方向不确定； 对于C，向量不能比较大小.故选D. (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等.故选BC. 　　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.特别需要注意的是由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的. 对点练1.(多选)下列说法错误的是(　　) A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：BCD 解析：对于A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小，故A正确；对于B，其终点构成一个球面，故B错误；对于C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量，故C错误；对于D，两个向量不相等，它们的模可以相等，故D错误.故选BCD. 对点练2.如图所示，以长方体ABCD -A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模. 解：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，共3个. (2)向量，，，. (3)A＝AC2＋C＝AB2＋BC2＋C＝9， 故｜｜＝AC1＝3. 学生用书⬇第3页 任务二　空间向量的线性运算 (阅读教材P3－4，完成探究问题2) 问题2. (1)平面向量的线性运算是指哪些运算？空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？为什么？ (2)空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：(1)平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算.能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后是移到同一个平面内的，成为同一平面内的两个向量，接着就可以利用平面向量的线性运算法则进行运算. (2)共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中的任意两个向量共面. 空间向量的线性运算及其运算律 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 运算 当λ＞0时，λa＝λ＝ 当λ＜0时，λa＝λ＝ 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μ a)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μ a，λ(a＋b)＝λa＋λb 微提醒　(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.(2)空间向量加法运算的推广——多边形法则：首尾顺次相接的若干个空间向量a1，a2，…，an相加，等于由起始向量a1的起点指向末尾向量an的终点的向量.(3)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义. (链教材P5练习T2)如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列表达式，并在图中标出化简结果： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋－). 解：(1)因为＝，＝， 所以＋＋＝＋＋＝. (2)因为＝，所以－＋ ＝－＋＝＋＝. (3)设点M为CB'的中点，则 ＋＋－)＝＋－)＝＋＝. 化简后所对应的向量如图所示. 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 巧用相 反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 学生用书⬇第4页 2.利用数乘运算进行向量表示的技巧 数形 结合 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量 明确 目标 在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 对点练3.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是(　　) A.＋2＋2＋ B.2＋2＋3＋3＋ C.＋＋ D.－＋－ 答案：A 解析：对于A，＋2＋2＋＝(＋)＋＋＝＋；对于B，2＋2＋3＋3＋＝2＋3(＋)＋＝3＋3＝0；对于C，＋＋＝＋＋＝＋＝0；对于D，－＋－＝＋＝＋＝0.故选A. 对点练4.已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：(1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 解：(1)如图所示，＝＋，由向量加法运算的平行四边形法则可得＝＋).故＝－－，所以＝＋＝－－. 所以x＝－，y＝－. (2)因为＋＝2， 所以＝2－①，同理＝2－②， 将②代入①得＝2－2＋， 所以x＝2，y＝－2. 任务三　共线向量与共面向量 (阅读教材P4－5，完成探究问题3、4) 问题3.平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量. 问题4.(1)空间中任意三个向量是否共面？ (2)平行于同一平面的两直线的位置关系如何？ 提示： (1)不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. (2)平行于同一平面的两直线的位置关系可能相交、平行或异面. 1.向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. 3.向量与平面平行 如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 4.共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 微提醒　(1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定.向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上.(2)向量p与向量a，b共面的充要条件是在向量a，b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立. 学生用书⬇第5页 角度1　证明向量(或三点)共线 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线. 证明：设BD的中点为O，连接GB，GD，GC1，GO，OC，如图所示， ＝＋＋＝＋＋. 因为G为△BC1D的重心，所以＝＝－)＝＋－)＝＋－， 所以＝＋＝＋＋－＝＝， 所以∥，且有公共点C，即A1，G，C三点共线. 变式探究 (变条件，变结论)将本例条件改为：如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线. 证明：设＝a，＝b，＝c， 由＝＝，所以＝， 则＝＋＝＋＝＋＋)＝－＋××＋)＝－a＋(b－a＋c－a)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋＋)＝－a＋b＋c＝. 所以∥且有公共点B，即B，G，N三点共线. 向量共线的判定及应用 1.判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. 2.判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ. 注意：对空间任意一点O，若＝x＋y且x＋y＝1，则P，A，B三点共线. 对点练5.(1)如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？　　　　(填“是”或“否”). (2)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝　　　　. 答案：(1)是　(2)1 解析：(1)法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋①.又因为＝＋＋＋＝－＋－－②，①＋②得2＝，所以∥，即共线. 法二：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，所以＝－＝＋)－＝＋)－＋)＝－)＝－)＝.所以∥，即共线. (2)由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1. 角度2　证明向量共面 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，＝a，＝b，＝c，在AC1上和BC上分别有一点M和N，且＝k，＝k，其中0≤k≤1.求证：，a，c共面. 证明：因为＝k＝kb＋kc， ＝＋＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb， 所以＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. 由共面向量定理可知，，a，c共面. 向量法证明空间三向量共面 　　设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. 学生用书⬇第6页 对点练6.已知向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由. 解：设r＝xp＋yq，则－7a＋18b＋22c＝x(a＋b－c)＋y＝a＋(x－3y)b＋c， 因为向量a，b，c不共面，故 解得故r＝3p－5q， 由空间向量共面定理得向量p，q，r共面. 角度3　证明空间中四点共面 (链教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， 因为M为线段DD1的中点，所以＝c－a， 又因为AN∶NC＝2∶1， 所以＝＝(b＋c)， 所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋＝＋， 所以，，为共面向量. 又因为三向量有相同的起点A1， 所以A1，B，N，M四点共面. 　　四点共面问题，需利用共面向量的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.一般来说，证明点P在平面ABC内，有如下三种方法： 1.若＝x＋y，则点P在平面ABC内. 2.若对空间任意一点O，有＝＋x＋y，则点P在平面ABC内. 3.若对空间任意一点O，有＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则点P在平面ABC内. 注意：上述中的x，y，z均为实数. 对点练7.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝＋＋＋). 证明：(1)因为＝－＝＋)－＝－＋＋， ＋＝＋＝－)＋＝－＋＋， 所以＝＋，即，，共面，又，，过同一点E， 所以E，F，G，H四点共面. (2)由题意可知四边形EFGH为平行四边形，M为EG的中点， 故＋＋＋)＝(2＋2)＝＋)＝×2×＝. 任务 再现 1.空间向量的有关概念.2.空间向量的线性运算.3.空间向量共线的充要条件.4.空间向量共面的充要条件 方法 提炼 类比法、转化法、数形结合思想 易错 警示 1.应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.2.混淆向量共线与线段共线、点共线 学生用书⬇第7页 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 答案：A 解析：由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量. 2.(多选)下列命题中正确的是(　　) A.如果a，b是两个单位向量，则｜a｜＝｜b｜ B.两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C.若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c D.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 答案：ACD 解析：由单位向量的定义得｜a｜＝｜b｜＝1，故A正确；共线不一定同向，故B错误；因为a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，所以a∥c，故C正确；在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确.故选ACD. 3.如图，G是△ABC的重心，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D.a＋b＋c 答案：D 解析：如图，连接OD，因为G是△ABC的重心，则D为AB的中点，CG＝2DG，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋×－＝＋＋＝a＋b＋c.故选D. 4.已知四面体OABC，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C共面，则λ＝　　　　　. 答案： 解析：因为M，A，B，C共面，所以＋＋λ＝1，解得λ＝. 课时分层评价1　空间向量及其线性运算 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.下列命题中正确的是(　　) A.若a∥b，b∥c，则a与c所在直线平行 B.若向量a，b，c共面，则它们所在直线共面 C.空间任意两个向量共面 D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 答案：C 解析：对于A，若a∥b，b∥c，当b＝0时a与c所在直线可以不平行，故A不正确；对于B，向量a，b，c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，故B不正确；对于C，根据向量共面定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确；对于D，若a∥b且b≠0，则存在唯一的实数λ，使a＝λb，故D不正确.故选C. 2.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是(　　) A.＋ B.＋ C.＋－ D.＋－ 答案：B 解析：＋＝，故A错误；＋＝，故B正确；＋－＝＋，故C错误；＋－＝＋＝，故D错误.故选B. 3.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　 ) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案：A 解析：因为＝＋＝2a＋4b＝2，所以A，B，D三点共线.故选A. 4.在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是(　　 ) A.＝3－2－ B.＋＋＋＝0 C.＋＋＝0 D.＝－＋ 答案：C 解析：因为＋＋＝0，所以＝－－，所以点M与点A，B，C必共面.故选C. 5.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N是CD的中点，如图所示，则＋＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析： 连接AN，BN，如图所示，因为N为CD的中点，所以＝，所以＋＋)＝＋＝.故选A. 6.(多选) 如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈，则下列说法正确的是(　　) A.当λ＝0时，点P在棱BB1上 B.当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C.当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D.当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 答案：ACD 解析：当λ＝0时，＝μ，所以∥，又μ∈，则点P在棱BB1上，故A正确；当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，λ∈，所以点P在线段BC1上，故B错误；当μ＝1时，＝λ＋，所以＝λ＝λ，所以∥，又λ∈，所以点P在棱B1C1上，故C正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，λ∈，即＝λ，所以点P在线段B1C上，故D正确.故选ACD. 7.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＋2＝　　　　. 答案： 解析：＋－＋2＝＋＋2＝＋2＝2－＝. 8.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0，则λ＝　　　. 答案：－ 解析：如图所示，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，所以＝，即－＝0，所以λ＝－. 9.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝　　　　. 答案： 解析：由点A，B，C，D共面得＋x＋y＝1①，又由点B，C，D，E共面得2x＋＋y＝1②，联立①②，解得x＝，y＝，所以x＋3y＝. 10.(13分)如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE. 求证：向量，，共面. 证明：因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理，＝＋. 所以＝＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝＋. 又不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选)在以下命题中，不正确的命题是(　　) A.非零向量a，b，c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a，b，c必共面 B.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件 C.若与共线，则AB与CD所在直线平行 D.若Q为△ABC的重心，则＝＋＋ 答案：ABC 解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，令＝a，＝b，＝c，满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a，b，c不共面，故A不正确；若a，b同向共线，则｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜，故B不正确；由向量平行知C不正确；若Q为△ABC的重心，则＋＋＝0，所以3＋＋＋＝3，所以3＝＋＋，即＝＋＋，故D正确.故选ABC. 12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ＝　　　　. 答案： 解析：因为a，b，c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.因为i，j，k是不共面向量，所以所以λ＝. 13.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1的中点，P是棱A1B1上靠近A1的四等分点，过M，N，P三点的平面α交棱BC于Q，设＝λ，则λ＝　　　　　. 答案： 解析：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝a－c，＝＋＋＝－c＋a－b＋c＝a－b，＝＋＝λb－c，由题意可知，，，共面，设＝m＋n，即λb－c＝m＋n＝a－nb－mc，所以m＋n＝0，λ＝－n，－m＝－，解得m＝1，n＝－，λ＝. 14.(17分)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.求证：E，F，G，H四点共面. 证明：如图所示，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH. 因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R分别为所在边的中点. 所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝. 因为四边形MNQR为平行四边形， 所以＝－＝－＝＝＋)＝－)＋－)＝×＋×＝＋. 所以，，为共面向量， 又因为三向量有相同的起点E， 所以E，F，G，H四点共面. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(新情境)光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上边边长与底边边长之比约为，则＋＋＝　　　　. 答案： 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 16.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，＝－＋＋，则三棱锥A-MBC的体积是　　　　. 答案：9 解析：因为＝－＋＋，则15＝－＋3＋4，即15＝－－＋3＋3＋4＋4，即9＝－＋3＋4，所以＝－＋＋，因为－＋＋＝1，则在平面ABC内存在一点D， 如图所示，使得＝－＋＋成立，即＝，所以＝，即＝，则＝，又三棱锥P-ABC的体积为15，则VA-MBC＝VP-ABC＝×15＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $