6.3.1 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，通过“西瓜重量”实例导入，从具体问题抽象出均值定义，衔接两点分布均值及线性性质，搭建“实例—概念—性质—应用”的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和数学建模为核心，通过保险获利、比赛策略等实例培养学生用数学思维解决实际问题的能力。采用问题驱动、分层评价等方法，学生能提升运算与建模素养，教师可直接利用系统教学流程提高效率。

3.1　离散型随机变量的均值 　 第六章　§3　离散型随机变量的均值与方差 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计 算简单离散型随机变量的均值，培养数学抽象、数学运 算、数学建模的核心素养. 2.掌握两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题， 培养数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　离散型随机变量的均值 1 任务二　均值的函数性质 2 任务三　均值的实际应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　离散型随机变量的均值 返回 问题导思 问题.已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考： (1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列； 提示：X的分布列为 X 5 6 7 P (2)如何求西瓜的平均重量？ 提示：＝5×＋6×＋7×＝. 新知构建 1.定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称______). 2.意义：均值EX刻画的是X取值的“__________”，反映了离散型随机变量X取值的__________. 3.两点分布的均值：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝___. x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 期望 中心位置 平均水平 p (链教材P205例3)(2025·山东青岛期中)一个袋子里装有编号1，2，3的3个红球与编号1，2的2个黄球，从中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完黄球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 解：由题意知Y的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是黄球， 所以P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，表示前2次中取得1个黄球，1个红球，第3次取得黄球， 所以P(X＝3)＝＝； 典例 1 当X＝4时，表示前3次中取得1个黄球，2个红球，第4次取得黄球， 所以P(X＝4)＝＝； 当X＝5时，表示前4次中取得1个黄球，3个红球，第5次取得黄球， 所以P(X＝5)＝＝. 所以Y的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. 变式探究 (变条件，变设问)在本例中，若条件改为从袋中同时取出2个球，求2球的编号之和Y的均值. 解：由题意知Y的可能取值为2，3，4，5. 当Y＝2时，表示2球的编号都是1，所以P(Y＝2)＝＝； 当Y＝3时，表示2球的编号一个是1，一个是2，所以P(Y＝3)＝＝＝； 当Y＝4时，表示2球的编号一个是1，一个是3；或表示2球的编号一个是2，另一个也是2，所以P(Y＝4)＝＝； 当Y＝5时，表示2球的编号一个是2，一个是3， 所以P(Y＝5)＝＝＝. 所以Y的分布列为 所以EY＝2×＋3×＋4×＋5×＝. Y 2 3 4 5 P 规律方法 求随机变量X的均值的方法和步骤 第一步：理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； 第二步：求出X取每个值的概率P(X＝k)； 第三步：写出X的分布列； 第四步：利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX. 对点练1.(2025·湖南邵阳期中)已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，设X为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量X的分布列及其均值. 解：X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝＋＝＝. 返回 任务二　均值的函数性质 返回 (2025·河南濮阳高二期末)已知随机变量X的分布列为 设Y＝3X－2，则EY＝ A. B. C.－ D.－ 典例 2 X 0 1 2 P m √ 由题可知＋＋m＝1，解得m＝. 法一：随机变量Y的分布列为 所以EY＝－2×＋1×＋4×＝.故选A. 法二：由随机变量X的分布列可得EX＝0×＋1×＋2×＝，而Y＝3X－2，所以EY＝3EX－2＝3×－2＝.故选A. Y －2 1 4 P 规律方法 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b均值的方法 1.定义法：先列出Y的分布列，再求均值. 2.性质法：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b均是常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b. 注意：性质法仅适合线性关系，如果是其他函数关系，一般选用定义法. √ 对点练2.(1)已知离散型随机变量X的分布列如下： 若E＝5，则a＋b＝ A. B.1 C. D. X －1 0 a 2 P b 由题意知＋b＋＋＝1，解得b＝，因为E＝5，所以3EX＋4＝5，即EX＝，则EX＝－1×＋0×＋a×＋2×＝，解得a＝1，所以a＋b＝.故选C. X －1 0 a 2 P b (2)设随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P 则EX2＝　　. . X2的分布列如下： 则X2服从两点分布，故EX2＝. X2 1 0 P 返回 任务三　均值的实际应用 返回 (链教材P205例4)为了丰富学生的课余生活，某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目的比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的均值； 典例 3 解：由题意得，X的可能取值为0，4，10， 所以P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×＝0.24，P＝0.8×0.7＝0.56， 所以X的分布列为 X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 所以EX＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56. (2)为使累计得分的均值最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明 理由. 解：若博文同学先进行“机器人操作”比赛，记Y为博文同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10， 所以P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P＝0.7×＝0.14，P＝0.7×0.8＝0.56， 所以Y的分布列为 Y 0 6 10 P 0.3 0.14 0.56 所以EY＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44， 因为EX＞EY，所以博文同学应选择先进行“无人机表演”比赛. 规律方法 1.实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如在体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 第一步(建模)：即把实际问题概率模型化； 第二步(解模)：确定分布列，计算随机变量的均值； 第三步(回归)：利用所得数据，对实际问题作出判断. 对点练3.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元(a＞100).问a如何取值，可使保险公司从均值角度分析可获利？ 解：设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”， 则X的可能取值为100，100－a，则P(X＝100)＝0.99，P(X＝100－a)＝0.01， 所以EX＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，解得a＜10 000， 又a＞100，因此100＜a＜10 000， 即当a在100和10 000之间取值时可使保险公司从均值角度分析可获利. 课堂小结 任务再现 1.离散型随机变量的均值.2.两点分布的均值.3.E(aX＋b)＝aEX＋b.4.均值函数的性质及应用. 方法提炼 函数与方程思想、转化化归思想 易错警示 不会应用均值对实际问题作出正确分析 返回 随堂评价 返回 √ 1.已知随机变量X的均值为EX＝3，则E(3X＋2)＝ A.9 B.11 C.27 D.29 因为EX＝3，所以E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×3＋2＝11.故选B. √ 2.某同学参加篮球测试，每进一球记5分，不进球记－1分，已知该同学的命中率为80％，则该同学一次投篮得分的均值为 A.3.0 B.3.2 C.3.6 D.3.8 记该同学一次投篮得分为X，则X的可能取值为5，－1，所以EX＝5×0.8－1×0.2＝3.8.故选D. 3.已知X的分布列如下，且Y＝aX＋3，EY＝，则a＝　　. X －1 0 1 P 4 EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－，且Y＝aX＋3，EY＝aEX＋3＝，即 －a＋3＝，解得a＝4. 4.从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则 EX＝　　. . X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 返回 课时分层评价 返回 √ 1.若X是离散型随机变量，则E(X－EX)＝ A.EX B.2EX C.0 D.(EX)2 E(X－EX)＝EX－EX＝0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.随机变量X的分布列如下： 若EX＝，则a的值是 A. B. C. D. X －1 0 1 P a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，EX＝－1×a＋0×＋b＝①，a＋＋b＝1②，联立①②，解得a＝，b＝.故选A. X －1 0 1 P a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.某船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失 2 000元；若不出海，要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的均值效益是 A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元 出海的均值效益EX＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝ 2 200(元).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的均值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设抽取的女生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知随机变量X的概率分布列为P＝asin(n＝1，2)，其中a是常数，则E(X)＝ A. B. C.2 D. 由P＝asin，得P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝a，由P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，得a＝，于是EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＝2a＝，所以E(X)＝EX＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选题)已知＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有 A.P(X＝2)的值最大 B.P(X＝0)＜P(X＝1) C.EX随着p的增大而减小 D.EX随着p的增大而增大 X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由＜p＜1，取p＝，则P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝＞，故A错误；因为＜p＜1，所以p－p2＝p＜1－p，即P(X＝0)＜P(X＝1)，故B正确；EX＝＋2p2＝2＋，因为＜p＜1，所以EX随着p的增大而增大，故C错误，D正确.故选BD. X 0 1 2 P p－p2 1－p p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一个口袋中装有大小相同的3个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X 表示摸出白球的个数，则EX＝　　. . X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设0＜a≤b，随机变量X的分布列为     则EX的取值范围是　　　　. X 1 2 4 P a b a＋b . 由分布列的概率和为1，可知2＝1，可得a＋b＝，又因为0＜a≤b，所以0＜2a≤a＋b＝，即a∈，所以EX＝a＋2b＋4a＋4b＝5a＋6b＝5a＋6＝3－a∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为　　　　；他在一年内参加考试次数的均值为　　　　. 0.976 1.52 小王在一年内领到资格证书的概率为P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.976；设X为小王一年内参加考试的次数，则X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，所以均值EX＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.12＝1.52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某单位年会有这样一个抽奖活动：箱子里装有8个小球，除颜色外完全相同，其中4个黑球，4个白球.每次抽奖从这个箱子里随机摸出4个球，若摸出的白球不少于3个，则为一等奖，奖励1 000元，若摸出的白球为2个，则为二等奖，奖励600元，若摸出的白球不多于1个，则为三等奖，奖励400元，每个人抽奖一次. (1)若甲参加抽奖活动，求他获得1 000元的概率； 解：由题意可知，若甲获得1 000元，则抽奖获得一等奖，设获得一等奖为事件A， 所以甲获得1 000元的概率为P(A)＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若甲参加抽奖活动，求他获得奖金X的均值. 解：若甲参加抽奖活动，获得的奖金X的取值为1 000，600，400，分别意味着甲获得一等奖、二等奖、三等奖，设获得二等奖为事件B，获得三等奖为事件C， 甲获得二等奖的概率为P(B)＝＝， 甲获得三等奖的概率为P(C)＝＝， 所以甲获得奖金X的分布列为 1 000 600 400 P 所以EX＝1 000×＋600×＋400×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，且对称轴在y轴的右侧，其中a，b，c∈{－2，－1，0，1，2}.在这些抛物线中，记随机变量X为的取值，则X的均值EX＝ A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对称轴在y轴的右侧，即a与b异号，且开口向下，所以a＜0，b＞0，所以a可取－2，－1，b可取1，2，这样的抛物线有2×2×5＝20条；X可取的值有0，1，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，故EX＝0×＋1×＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选题)设离散型随机变量X的分布列如下表： 若离散型随机变量Y＝－2X＋3，且EX＝3.2，则下列正确的是 A.m＝0.3 B.n＝0.1 C.EY＝－3.4 D.P(X≤3)＞P(X＞3) X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知m＋0.1＋0.3＋n＋0.3＝1，所以m＋n＝0.3，因为EX＝3.2，所以1×m＋2×0.1＋3×0.3＋4×n＋5×0.3＝3.2，即m＋4n＝0.6，综上，解得m＝0.2，n＝0.1，故A不正确，B正确；因为Y＝－2X＋3，所以EY＝－2EX＋3＝－2×3.2＋3＝－3.4，故C正确；P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.1＋0.3＝0.6，P＝P(X＝4)＋P＝0.1＋0.3＝0.4，所以P(X≤3)＞P，故D正确.故选BCD. X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.为了备战斯诺克世锦赛，甲、乙两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独 立，比赛停止时已打局数为ξ，则Eξ＝　　　. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为()2＋()2＝，如果该轮结束时比赛还将继续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P＝＝，故Eξ＝2×＋4×＋6×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表： 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，则可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益； 解：设下周一无雨的概率为p. 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6. 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5. P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16. 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益EX＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4. 所以基地的预期收益为14.4万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由. 解：设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益EY＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a， EY－EX＝1.6－a. 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，外聘工人或不外聘工人均 可以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(2025·安徽淮南期中)如图，某考古队在挖掘 一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4 个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1 个入口可以打开，其他的是关闭的.现让一个机器狗 从点O出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的均值是 A. B.2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，4，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(创新题)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设[x]表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X. (1)求在X＞0的条件下，X＝的概率； 解：记抛掷骰子的样本点为(a，b)，则样本空间为，样本空间容量为36， 设事件A为“X＞0”，事件B为“X＝”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则A＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为21，AB＝{(1，1)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(4，2)，(6，2)，(3，3)，(6，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，其包含的样本点数为14， 根据条件概率得P(B｜A)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求X的分布列及其均值. 解：随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝， 所以其分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 3.1　离散型随机变量的均值 返回 $