7.§3 独立性检验问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学独立性检验问题，系统梳理2×2列联表的统计意义、随机变量χ²的意义及应用，通过实际问题引入，经列联表整理数据，用χ²检验判断变量关联，构建“问题—概念—应用”的学习支架。 以吸烟与肺癌等实例驱动抽象，培养数据分析（χ²计算）和数学运算（临界值比较）能力，任务分层设计（对点练、变式探究）。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固，提升用数学语言表达现实关联的能力。

§3　独立性检验问题 学习目标 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义，培养数学抽象的核心素养.　2.理解判断两个变量是否有关联的方法.　3.了解随机变量χ2的意义.　4.通过实例，了解独立性检验及其应用，提升数据分析、数学运算的核心素养. 任务一　独立性检验的概念 问题1.为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6 578人，得到如表所示的数据(单位：人)： 吸烟情况 患肺癌情况 患肺癌 未患肺癌 吸烟 56 1 932 不吸烟 23 4 567 我们应研究此表中的哪些量呢？ 提示：需要考虑两个变量：是否吸烟，是否患肺癌；每个变量应取两个值：吸烟、不吸烟，患肺癌、未患肺癌. 1.2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量A和B，它们的取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： A B B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.独立性检验 根据2×2列联表中的数据来判断两变量是否有关系或是否独立的问题，称为2×2列联表的独立性检验. 在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表. 解：根据题目所给的数据作出如下的列联表. 性别 患色盲情况 患色盲 不患色盲 总计 男 38 442 480 女 6 514 520 总计 44 956 1 000 制作2×2列联表的基本步骤 第一步，合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值； 第二步，抽取样本，整理数据； 第三步，作出2×2列联表. 注意：(1)作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误.(2)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别. 对点练1.(双空题)为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表： 爱运动 不爱运动 合计 男生 m 12 30 女生 8 20 合计 n 50 则m＝　　　　，n＝　　　　. 答案：18　24 解析：由题意可得列联表如下： 爱运动 不爱运动 合计 男生 18 12 30 女生 8 12 20 合计 26 24 50 故m＝18，n＝24. 学生用书⬇第192页 任务二　独立性检验的基本思想 问题2.回归分析和独立性检验都是研究两变量之间关系的，是相同的问题，对吗？ 提示：不对.回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析，通过回归分析预测和估计两个变量之间具有的相关关系；独立性检验是分析这两个变量在多大程度上具有关系，但不能100％肯定这种关系. 问题3.对于已经获取的成对样本观测数据，检验结论“两个变量之间没有关联”的实际含义是什么？ 提示：“两个变量之间没有关联”的实际含义是“两个变量之间无关系，相互独立”. 1.χ2的计算公式 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 2.利用χ2临界值对变量的独立性进行判断 当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断. (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2＞2.706时，有90％的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2＞3.841时，有95％的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2＞6.635时，有99％的把握判断变量A，B有关联. [微思考]　设n＝a＋b＋c＋d，用估计P(A1B1)，用估计P(A1)，用估计P(B1)，在什么情况下，A1与B1独立？ 提示：当＝·时，A1与B1独立. 某学校想了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，由得到的2×2列联表算得：χ2≈7.82.下列结论正确的是(　　) 附： P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.有99.9％的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有99.9％的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99％的把握认为“爱好该项运动与性别无关” D.有99％的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：D 解析：因为χ2≈7.82＞6.635，χ2≈7.82＜10.828，所以有99％的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选D. χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中判断变量相关联的规则是：当χ2大于某设定临界值，就有相应多大的把握判断两变量有关联；当χ2小于某设定临界值，就没有充分的证据判断两变量有关联，即可以认为两变量是没有关联的. 对点练2.有两个变量X与Y，X的取值为X1，X2，Y的取值为Y1，Y2，得到下表： Y X Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，则当a＝　　　　时，有90％的把握认为X与Y之间有关系. 答案：8或9 解析：要有90％的把握认为X与Y之间有关系，则χ2＞2.706，即χ2＝＝＞2.706.因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝6，7，8，9，代入不等式验证可知8，9均满足要求.所以当a＝8或9时，有90％的把握认为X与Y之间有关系. 学生用书⬇第193页 任务三　独立性检验的综合应用 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表： 物理方向 历史方向 总计 男生 13 a 23 女生 7 20 27 总计 b c 50 (1)计算a，b，c的值； (2)问是否有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由13＋a＝23，得a＝10， 由a＋20＝c，得c＝10＋20＝30， 由b＋c＝50，得b＝50－30＝20. (2)χ2＝≈4.844， 因为4.844＜6.635. 故没有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关. [变式探究] (变条件)本例2×2列联表中的数据均变为原来的2倍，是否有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？ 解：2×2列联表如下： 物理方向 历史方向 总计 男生 26 20 46 女生 14 40 54 总计 40 60 100 所以χ2＝≈9.689， 因为9.689＞6.635， 故有99％的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关. 1.独立性检验问题常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系. 2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照如下独立性检验的步骤得出结论. 对点练3.某学校有两个学生食堂，学生在就餐时，一食堂有2种套餐选择，二食堂有4种套餐选择；一食堂距离教学楼相比于二食堂要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生在选择食堂就餐时，有如下表格： 男 女 在一食堂就餐 40 20 在二食堂就餐 15 25 (1)若学生选择每种套餐的可能性相同，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐的概率； (2)能否有99.5％的把握认为性别与选择食堂之间有关系？ 附：χ2＝. P(χ2≥k0) 0.025 0.01 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)一共有6种套餐，甲和乙各选择一种，共有62＝36种方法，甲和乙两名同学选择同一种套餐有6种方法，所以甲、乙两名同学选择同一套餐的概率P＝＝. (2)χ2＝≈8.249，因为8.249＞7.879， 所以有99.5％的把握认为性别与选择食堂之间有关系. 任务再现 1.2×2列联表.2.统计量和独立性检验的基本思想.3.独立性检验的综合应用 方法提炼 公式法 易错警示 计算出错；计算后不能得出合理的结论 学生用书⬇第194页 1.如果有95％的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据(　　) A.χ2＞3.841 B.χ2＜3.841 C.χ2＞6.635 D.χ2＜6.635 答案：A 解析：χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度.当χ2＞6.635时，有99％的把握判断A与B有关联；当χ2＞3.841时，有95％的把握判断A与B有关联；当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断A与B有关联.故选A. 2.若变量X和Y的列联表如下： X Y Y1 Y2 总计 X1 a b a＋b X2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 则下列说法正确的是(　　) A.ad－bc越小，说明X与Y的相关联程度越弱 B.ad－bc越大，说明X与Y的相关联程度越强 C.(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关联程度越强 D.(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的相关联程度越强 答案：C 解析： χ2＝，当(ad－bc)2越大时，χ2越大，说明X与Y的相关联程度越强.故选C. 3.下面是两个分类变量的列联表： X Y y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a，b处的值分别为　　　　　. 答案：52，54 解析：根据列联表的特点可以发现：73＝21＋a，b＝a＋2，解之得a＝52，b＝54. 4.为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的2×2列联表： 患该疾病 不患该疾病 总计 男 15 10 25 女 5 20 25 总计 20 30 50 则　　　　(填“有”或“没有”)99.9％的把握认为患该疾病与性别有关. 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据： P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 答案：没有 解析：由题意知，χ2＝≈8.333＜10.828，所以没有99.9％的把握认为患该疾病与性别有关. 课时分层评价49　独立性检验问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.如果有不少于99％的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据(　　) A.χ2＞3.841 B.χ2＜3.841 C.χ2＞6.635 D.χ2＜6.635 答案：C 解析：比较χ2的值和临界值的大小，95％的把握则χ2＞3.841，χ2＞6.635就有99％的把握.故选C. 2.某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2 600名有车人中有1 700名持反对意见，2 500名无车人中有1 400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力(　　) A.均值 B.独立性检验 C.随机误差 D.频率分布直方图 答案：B 解析：独立性检验是检验两个不同分类的变量是否相关的方法，刚好符合题意，而均值、随机误差、频率分布直方图都不是分析两个不同分类的变量是否相关的方法，故采用独立性检验方法最有说服力.故选B. 3.某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示： 每年体检(人) 每年未体检(人) 合计(人) 老年人 a 7 c 年轻人 6 b d 合计 e f 50 已知抽取的村民中老年人、年轻人各25人，则对列联表数据的分析错误的是(　　) A.a＝18 B.b＝19 C.c＋d＝50 D.e－f＝2 答案：D 解析： 因为抽取的村民中，老年人有25人，年轻人有25人，所以c＝25，d＝25，所以a＝25－7＝18，b＝25－6＝19，c＋d＝50，故A，B，C正确；所以e＝a＋6＝18＋6＝24，f＝7＋b＝7＋19＝26，则e－f＝24－26＝－2，故D错误.故选D. 4.某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝9 965)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得χ2＝56.632，经查对临界值表知P≈0.01，现给出四个结论，其中正确的是(　　) A.有99％的把握认为“患肺癌与吸烟无关” B.在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C.若老张吸烟，那么他有99％的可能性患肺癌 D.有99％的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 答案：D 解析：由已知数据χ2＝56.632＞6.635，得有99％的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，则选项D正确，其余都是错误的.故选D. 5.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为和，其2×2列联表为 Y X y1 y2 总计 x1 10 18 28 x2 m 26 m＋26 总计 m＋10 44 m＋54 则下列选项中使X与Y的关系最弱的m的取值为(　　) A.8 B.9 C.14 D.19 答案：C 解析：在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.故选C. 6.(多选题)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝a.已知P＝0.01，依据α＝0.01的独立性检验，下列结论正确的是(　　) A.若a＜6.635，则变量x与y独立 B.若a＞6.635，则变量x与y独立 C.若a＜6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联 D.若a＞6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联 答案：AD 解析：若a＞6.635，则有99％的把握认为变量x与y有关联，变量x与y不独立，若a＜6.635，则没有99％的把握认为变量x与y有关联，变量x与y独立.故选AD. 7.某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是　　　　　　　　　　　　　　. 答案：男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数 8.(双空题)一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1 200位游客进行了满意度调查，结果如下表： 男性 女性 合计 满意 560 540 1 100 不满意 40 60 100 合计 600 600 1 200 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝　　　　(精确到0.001)；依据数据可作出的判断是　　　　　　　　　　. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 答案：4.364　有95％的把握认为满意度与性别有关联 解析：χ2＝≈4.364＞3.841，所以有95％的把握认为满意度与性别有关联. 9.2024年英超联赛期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢利物浦队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表： 是否高于40岁 是否喜欢利物浦队 不喜欢利物浦队 喜欢利物浦队 总计 高于40岁 p q 50 不高于40岁 15 35 50 总计 a b 100 若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢利物浦队的人的概率为，则有　　　　的把握判断年龄与是否喜欢利物浦队有关.附：χ2＝. 答案：95％ 解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢利物浦队的人”为事件A，由已知得P(A)＝＝，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝≈4.167＞3.841，故有95％的把握判断年龄与是否喜欢利物浦队有关. 10.(15分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)是否有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 附： P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)甲机床生产的产品中一级品的频率为＝0.75； 乙机床生产的产品中一级品的频率为＝0.6. (2)由题可知a＝150，b＝50，c＝120，d＝80，n＝400， 所以χ2＝ ＝＝≈10.256， 根据参考值可知10.256＞6.635， 所以有99％的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. (11—13，每小题5分，共15分) 11.随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据(10≤m≤20，m∈N＋)： 支持 不支持 男生 70－m 10＋m 女生 50＋m 30－m 若通过计算得，有95％以上的把握认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.48 B.56 C.66 D.76 答案：C 解析：因为有95％以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以≥3.841，即≥28.807 5，因为函数y＝在10≤m≤20时单调递增，且m∈N＋，＜28.807 5，≥28.807 5，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66，故选C. 12.(多选题)某医疗研究机构为了了解免疫与注射疫苗的关系，进行一次抽样调查，得到数据如表： 免疫 不免疫 合计 注射疫苗 10 10 20 未注射疫苗 6 34 40 合计 16 44 60 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d； P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 则下列说法中正确的是(　　) A.χ2≈8.35 B.P≈0.001 C.我们有99％以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系 D.我们有99.9％以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系 答案：AC 解析：由表中数据，得χ2＝≈8.35，故A正确；因为P≈0.01，故B错误；10.828＞8.35＞6.635，所以有99％以上的把握认为免疫与注射疫苗有关系，故C正确，D错误.故选AC. 13.某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的.若本次调查得出“有99.5％的把握认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，则被调查的男性患者至少有　　　　人. 附：P(χ2≥7.879)≈0.005. 答案：12 解析：设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下： A型病 B型病 总计 男 x 女 2x 总计 3x 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝，有99.5％的把握认为“所患疾病的类型”与“性别”有关，则＞7.879，解得x＞11.818 5，因为∈Z，所以x的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人. 14.(15分)某机构为了解2024年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额(单位：千元)进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值； (2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系？说明理由. 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 47 合计 下面的临界值表仅供参考： P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 (参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d) 解：(1)根据频率分布直方图得：5×(0.01＋0.02＋0.03＋2a＋0.06)＝1，解得a＝0.04. (2)根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为100×(0.03×5＋0.04×5)＝35， 列联表如下： 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 47 18 65 合计 62 38 100 算得χ2＝≈8.375＞6.635. 所以有99％的把握认为样本数据中网购迷与性别有关系. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(多选题)某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如表所示的2×2列联表，其中b＝12a，则(　　) 患疾病A 不患疾病A 合计 过量饮酒 3a b 不过量饮酒 a 2b 合计 400 参考公式与临界值表： χ2＝. P(χ2≥k0) 0.1 0.05 0.01 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 A.任意一人不患疾病A的概率为0.9 B.任意一人不过量饮酒的概率为 C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为 D.有99.9％以上的把握认为过量饮酒与患疾病A有关 答案：ACD 解析：由已知得4a＋3b＝400，又b＝12a，所以a＝10，b＝120.任意一人不患疾病A的概率为＝0.9，故A正确；任意一人不过量饮酒的概率为＝，故B错误；任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为＝，故C正确； 对于D，2×2列联表如下： 患疾病A 不患疾病A 合计 过量饮酒 30 120 150 不过量饮酒 10 240 250 合计 40 360 400 则χ2＝＝≈26.67，由于26.67＞10.828，故有99.9％以上的把握认为过量饮酒与患疾病A有关，故D正确.故选ACD. 16.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80％喜欢网络课程，女生中有40％不喜欢网络课程，且有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关.已知被调查的男、女学生的总人数为20k(k∈N＋)，则k＝　　　　. 答案：5或6 解析：设男、女学生的总人数为2n，则2n＝20k(k∈N＋)，并把2×2列联表的数据补充完整： 是否喜欢网络课程 性别 喜欢 不喜欢 合计 男生 0.8n 0.2n n 女生 0.6n 0.4n n 合计 1.4n 0.6n 2n 所以χ2＝＝.又因为有95％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99％的把握认为喜欢网络课程与性别有关，所以3.841≤＜6.635，即80.661≤2n＜139.335.又2n＝20k，所以4.033 05≤k＜6.966 75，k＝5或k＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $