6.4.2 超几何分布-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，通过“4件产品2件次品取2件”实例引入，系统梳理概念定义（参数N,M,n）、判断特征（不放回抽样、对象分两类）、分布列与均值计算，对比二项分布区别，构建从具体实例到抽象概念再到实际应用的学习支架。 资料以任务驱动设计问题链，结合产品抽样、种子发芽等丰富实例，通过变式探究（如变抽取数量、设问角度）培养数学抽象与数学建模素养，分层练习（对点练、课时评价）助力课中教学突破难点，课后学生可自主回顾查漏补缺，提升数学运算与问题解决能力。

4.2　超几何分布 学习目标 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念及特征，掌握超几何分布的均值的计算，培养数学抽象、数学运算的核心素养.　2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系，会用超几何分布解决一些简单的实际问题，培养学生数学建模、数学运算的核心素养. 任务一　超几何分布 问题1.已知4件产品中有2件次品，从中任取2件，记取出次品件数为X.试问： (1)取出的次品数X服从二项分布吗？ (2)你能写出X的分布列吗？ 提示：(1)X不服从二项分布. (2)随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2). 超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. [微提醒]　(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 角度1　超几何分布的判断 (多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A.抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 D.在10道数学题中有6道选择题和4道非选择题，任意取出4道，记取到的选择题数X 答案：CD 解析：A、B是独立重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故A、B不符合题意；C、D符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布，故选CD. 角度2　超几何分布的概率与分布列 (链教材P217例4)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 解：依题意知，随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P [变式探究] 1.(变设问)本例中，求所选出4人中至少1位男生的概率. 解：法一：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝. 法二：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 2.(变条件)如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，求X的分布列. 解：由题意得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)， 所以P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 学生用书⬇第171页 1.判断一个随机变量是否服从超几何分布的依据 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 2.求超几何分布的分布列的步骤 对点练1.(1)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 答案：C 解析：对于A，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，故A不满足；对于B，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，故B不满足；对于C，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，故C满足；对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，故D不满足.故选C. (2)端午节赛龙舟是我国的传统习俗，某地一共有8支龙舟队伍，其中专业队2支，业余队6支，从中随机取出3支队伍. ①求既有专业队又有业余队的概率； ②设X表示取到业余队的个数，求随机变量X的分布列. 解：①依题意，既有专业队又有业余队的概率为＝. ②X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 任务二　超几何分布的均值 问题2.我们已经知道，若随机变量X～B(n，p)，则其均值EX＝np，方差DX＝np(1－p)，用起来非常方便，同样，随机变量X服从超几何分布，猜想一下有没有类似的结论呢？ 提示：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E()＝p，即EX＝np. 超几何分布的均值：一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝. 超几何分布的方差公式推导起来繁琐，且不太好记忆，课标不再作要求，只需利用方差的定义求解即可. (链教材P218练习T2)学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数. (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量X的分布列、均值EX与方差DX. 解：(1)依题意知，抽取的2人恰有1个女生的概率P＝＝. (2)由题意可知X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故EX＝0×＋1×＋2×＝(也可直接用EX＝＝＝). DX＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝. 1.求解超几何分布的分布列与均值 (1)验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取值的概率. (2)求分布列，计算随机变量的均值. 2.若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则EX＝或用均值的定义求解亦可. 对点练2.某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个. (1)求该学生能通过自主招生初试的概率； (2)若该学生答对的题数为X，求X的分布列以及均值. 解：(1)该学生通过自主招生初试的概率P＝＋＝. (2)该学生答对题的数量X的可能取值为2，3，4， 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列为 X 2 3 4 P EX＝2×＋3×＋4×＝(或EX＝＝＝). 学生用书⬇第172页 任务三　超几何分布的简单应用 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90％，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50％. (1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和均值； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80％，求p的值. 解：(1)由题可知ξ的所有取值为2，3，4，且ξ服从超几何分布， P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝＝， 故ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 则Eξ＝2×＋3×＋4×＝. (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，P(C)＝0.8，P(C｜A)＝0.9，P(C｜B)＝0.5，P(B)＝p，P(A)＝1－p， 所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C｜A)＋P(B)·P(C｜B)＝0.9(1－p)＋0.5p＝0.9－0.4p＝0.8， 解得p＝0.25. 解决超几何分布应用问题的步骤 第一步：将现实生活问题转化为数学问题； 第二步：判断问题是否符合超几何分布模型； 第三步：根据超几何分布的有关知识求解. 对点练3.(2025·河南信阳期末)袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为X，求X的分布列和均值； (2)若从袋中不放回地取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，求在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率. 解：(1)由题意得，X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝1. (2)设事件A＝“最后得分为8分”，事件B＝“恰取到一个红球”. 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球， 所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B｜A)＝＝＝. 任务再现 1.超几何分布的概念及均值.2.超几何分布的简单应用(利用超几何分布求概率) 方法提炼 公式法、类比法 易错警示 超几何分布模型的判断及概率的计算 1.一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意知，恰有1个不合格品的概率为P＝＝.故选C. 2.设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则抽得次品数的期望为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：法一：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＝.故选D. 法二：EX＝＝＝.故选D. 3.(2025·河北石家庄期中)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有7个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次性从中摸出6个球，至少摸到2个白球就中奖，则中奖的概率为　　　　. 答案： 解析：记中奖为事件A，则P(A)＝＝，所以中奖的概率为. 4.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是　　　　. 答案： 解析：由题意知，这20件产品中有20－3＝17件合格品，所以该商家接收这批产品的概率为P＝＝＝，故商家拒收这批产品的概率为1－P＝1－＝. 课时分层评价45　超几何分布 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是(　　) A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.X表示取出的号码之和 D.X表示取出的黑球个数 答案：D 解析：由超几何分布的概念知D符合.故选D. 2.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为P＝＝.故选B. 3.(2025·福建龙岩高二期中)一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则不达标的零件全部取到的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从中任意选取4个，由超几何分布概率计算公式，可知不达标的零件全部取到的概率为P＝＝.故选A. 4.摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12，故P(X＝12)＝＝.故选A. 5.(2024·广东江门高二检测)一箱苹果共有12个苹果，其中有n(2＜n＜7)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为，则n＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：依题意可得＝，即＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或9，因为2＜n＜7，所以n＝4.故选B. 6.(多选题)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A.取出的白球个数X服从二项分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 答案：BD 解析：对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确；对于C，取出2个白球的概率为＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为＝，故D正确.故选BD. 7.某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则P(X＝2)＝　　　　. 答案： 解析：由题意得P(X＝2)＝＝＝. 8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝　　　　. 答案： 解析：X＝1表示的结果是抽取的2台彩电中有甲型和乙型彩电各1台，故所求概率P(X＝1)＝＝. 9.(双空题)某袋中装有大小相同、质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为　　　　.若记取出3个球中黑球的个数为X，则EX＝　　　　. 答案：3　 解析：设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为P＝＝，可得n＝3；取出3个球中黑球的个数X服从超几何分布，所以EX＝＝＝. 10.(15分)小明从4双鞋中，随机一次取出2只. (1)求取出的2只鞋不来自同一双的概率； (2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的只数为X，求X的分布列及均值EX. 解：(1)由题可得，取出2只鞋不来自同一双的概率为＝. (2)由题可知X的取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2025·江苏泰州期末)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则P(｜Z－6｜≤1)＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意可知X，Y均服从超几何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，由｜Z－6｜≤1，得5≤Z≤7，所以Z＝5，Z＝6，Z＝7，因为P(Z＝5)＝P(X＝1，Y＝3)＝＝，P(Z＝6)＝P(X＝2，Y＝2)＝＝，P(Z＝7)＝P(X＝3，Y＝1)＝＝，所以P＝P(Z＝5)＋P(Z＝6)＋P(Z＝7)＝＋＋＝.故选B. 12.(多选题)(2025·山东聊城高二期末)如图，我国传统珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为X，下珠的个数比上珠的个数多Y，则(　　) A.P＝ B.EX＝ C.EY＝ D.DY＝ 答案：BCD 解析：由题意知，X＝0，1，2.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，则P(X≠1)＝＋＝，EX＝1×＋2×＝，故A错误，B正确；由题意知，Y＝－1，1，3.P(Y＝－1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝1)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，EY＝＝，DY＝＋＋＝，故C，D正确.故选BCD. 13.(2025·陕西宝鸡高二期中)在20件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P＝，且该产品的次品率不超过30％，则这20件产品的次品率为　　　　. 答案：10％ 解析：设20件产品中有x件次品，则P＝＝＝，解得x＝2或x＝18.因为次品率不超过30％，所以x＝2，所以次品率为＝10％. 14.(15分)(2025·广东广州高二期中)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60％，次品率为6％；第二批占40％，次品率为5％.为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查. (1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率； (2)若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数X的分布列和均值. 解：(1)设事件B为“任取一个芯片是合格品”，事件A1为“产品取自第一批”，事件A2为“产品取自第二批”， 则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P＝0.94，P＝0.95， 所以P(B)＝P(A1)P＋P(A2)P＝0.6×0.94＋0.4×0.95＝0.944. (2)由条件可知第一批芯片抽取10×60％＝6个，第二批芯片抽取10×40％＝4个， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝＝； P(X＝2)＝＝＝；P(X＝3)＝＝＝； 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (15、16，每小题5分，共10分) 15.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝；故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 16.(创新题)已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，则Eξ＝　　　　. 答案： 解析：的通项为Tk＋1＝(－)k＝，由题意＝0，解得n＝10，若要取到有理项，则需要10－2k能被3整除，则k＝2，5，8，即在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为ξ，可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P＝＝，P＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P＝＝，所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 学生用书⬇第173页 学科网（北京）股份有限公司 $