6.4.2 超几何分布 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕超几何分布的核心概念展开，从有放回与不放回抽样的对比切入，通过具体实例引导学生发现概率模型的本质差异，逐步构建起“总体有限、不放回抽样”下的分布结构，形成由二项分布到超几何分布的知识迁移支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以例4中女生人数X的分布列求解为例，体现抽象建模能力与逻辑推理意识，同时借助公式推导和参数分析强化数据观念与应用意识。教学设计注重情境真实性和问题驱动性，帮助学生理解超几何分布的适用条件及其与二项分布的联系与区别，既提升学生的数学建模能力和理性思维品质，又为教师提供清晰的教学路径与可复制的课堂范式。

6.4.2 超几何分布 已知100件产品有8件次品，采用有放回的抽取方式，随机抽取4件产品.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 随机变量X具有相互独立特征 有放回，，. . 已知100件产品有8件次品，采用有不放回的抽取方式，随机抽取4件产品.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 不放回，每次抽取次品的概率都是0.08. 但是每次抽取不是同一试验，各次之间的抽取结果也不独立，不满足重伯努利试验的特征，不是二项分布. 首先,从这100件产品中任取4件,共有种取法，每一种取法都是等可能的. 已知在100件产品中有8件次品，随机抽取4件产品，故X的可能取值为0，1，2，3，4； 样本空间样本点数：. 4件产品中有k件次品的结果数：. 由古典概型，随机变量X的分布列为： 已知100件产品有8件次品，采用有不放回的抽取方式，随机抽取4件产品.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 直观上来看，逐个不放回的摸出4件次品，和一次性摸出4件次品，随便变量X的分布列应该是相同的.能解释么？ 样本空间样本点数：. 4件产品中有k件次品的结果数：. 不考虑顺序 考虑顺序 结果相同 一批产品有N件，有M件次品，NM件合格品，不放回的随机抽取n件产品，设X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列. 其中随机变量X的分布列具有以上形式，就称随机变量X服从超几何分布. 公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0.例如,有100件产品,其中有20件次品,从中任取85件产品,此时，至少要取到5件次品,而不是0件. 袋子中有大小相同的N个球，有M个红球，NM个白球，不放回的随机抽取n个球，设X表示抽取的n个球中的红球数，求X的分布列. 思考交流 下列随机变量X是否服从超儿何分布?如果服从超几何分布，其参数N,M,n分别是多少? (1)一个班共有45名学生，其中女生20人，现从中任选7人,用X表示选出的女生人数; (2)从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中取出10张牌,用X表示取出的黑桃的张数. N=45,M=20,n=7 N=52,M=13,n=10 例4从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛: (1)求所选3人都是男生的概率， (2)求所选3人中恰有1名女生的概率: (3)求所选3人中至少有1名女生的概率: (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. 解: 依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,共有种选法，且每一种选法都是等可能的. (1)所选3人都是男生的概率为=. 例4从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛: (2)求所选3人中恰有1名女生的概率: (3)求所选3人中至少有1名女生的概率: (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. 解: 依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,共有种选法，且每一种选法都是等可能的. (2)求所选3人中恰有1名女生的概率=. 例4从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛: (2)求所选3人中恰有1名女生的概率: (3)求所选3人中至少有1名女生的概率: (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. 解: 依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,共有种选法，且每一种选法都是等可能的. (3)求所选3人中至少有1名女生的概率+=. 例4从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛: (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. 解: 依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,共有种选法，且每一种选法都是等可能的. (4)依题意知X服从参数为6,2,3的超几何分布,其分布列为P(X=K)=(K=0,1,2). K 0 1 2 P(X=K) 根据均值的定义,可知EX= 0+1+2=1.5 一般地，当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为EX = = nP. 令 超几何分布的方差 因为 . ，所以 拓展： 解决超几何分布问题的两个关键点： 超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆； 超几何分布中，只要知道就可以利用公式求出取不同的概率从而求出的分布列． 超几何分布与二项分布关系： 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败； 不同点：（1）超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取； （2）超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量,但需要知道“成功率”； 联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布． 课堂小结 下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（　　　）． A.将一枚硬币连抛次，正面向上的次数 B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数 C.某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为 D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，是首次摸出黑球时的总次数 解：A.将一枚硬币连抛次，相当于做了三次独立重复试验，每次正面向上的概率为，所以服从二项分布； B.符合超几何分布的模型，所以 服从超几何分布； C.符合两点分布模型，所以服从两点分布； D.不符合超几何分布模型，所以 不服从超几何分布． $