6.1.1 条件概率的概念-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§1　随机事件的条件概率 1.1　条件概率的概念 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，培养数学抽象、数学运算的核心素养.　2.掌握条件概率的计算方法，提升数学运算的核心素养.　3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　条件概率的概念 问题1.抛掷一枚质地均匀的硬币两次. (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)如果已知有一次出现正面向上，两次都是正面向上的概率是多少？ (3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 提示：(1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成的样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝{正正}，故P(B)＝. (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A，两次都是正面向上的事件记为B，则A＝{正正，正反，反正}，那么，在A发生的条件下，B发生的概率为. (3)将第一次出现正面向上的事件记为C，第二次出现正面向上的事件记为B，则C＝{正正，正反}，那么，在C发生的条件下，B发生的概率为. 条件概率 条件 设A，B是两个事件，且P(A)＞0 含义 在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 记作 P(B｜A) 计算公式 (1)定义法：当P(A)＞0时，有P(B｜A)＝. (2)事件个数法：P(B｜A)＝ 性质 (1)P(B｜A)∈[0，1]. (2)若B和C是两个互斥事件，则P[(B∪C)｜A]＝P(B｜A)＋P(C｜A) [微思考]　1.如何从集合角度看条件概率公式？ 提示：若事件A已发生，则为使事件B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB.由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B｜A)新的样本空间，因此有P(B｜A)＝. 2.P(B｜A)与P(AB)有何大小关系？ 提示：P(B｜A)≥P(AB). 角度1　条件概率的判断 判断下列哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一年级的概率； (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取一张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率. 解：由条件概率定义可知(1)(3)是条件概率，(2)不是条件概率. 学生用书⬇第151页 1.判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的. 2.在条件概率的定义中，事件B在“事件A已经发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件下的概率是不同的.这里所说的条件概率，是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率. 角度2　定义法求条件概率 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为.则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设事件A为当天下雨，事件B为当天刮风，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，则已知刮风的条件下，也下雨的概率P(A｜B)＝＝.故选D. 求条件概率需要注意的问题 1.在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”，一般可认为是条件概率. 2.利用条件概率公式求概率时，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B｜A)＝计算求得P(B｜A)，要注意不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB). 对点练1.(1)下列是条件概率的是(　　) A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B.有10件产品，其中3件次品，依次不放回地抽取2件产品进行检验，在抽到一件次品的情况下，第2次抽到次品的概率 C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 (2)已知某种动物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是　　　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由条件概率的定义知B为条件概率.故选B. (2)记事件A为活到60岁，事件B为活到65岁，而B⊆A，所以AB＝B.由题意得P(A)＝0.8，P(AB)＝0.6，所以P(B｜A)＝＝＝. 任务二　古典概型中条件概率的计算 (链教材P185例1)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝＝30， 由分步乘法计数原理，n(A)＝＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)法一：由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B｜A)＝＝＝. 法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B｜A)＝＝＝. [变式探究] (变设问)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率. 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 法一：易知P(A)＝， P(AC)＝＝＝， 所以P(C｜A)＝＝＝＝. 法二：因为n(A)＝＝20，n(AC)＝＝8， 所以P(C｜A)＝＝＝. 学生用书⬇第152页 1.利用定义计算条件概率的步骤 第一步：分别计算概率P(AB)和P(A)； 第二步：将它们相除得到条件概率P(B｜A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生. 2.利用缩小样本空间法求条件概率的步骤 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB； (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点； (3)算：利用古典概型求P(B｜A)＝，n(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数. 对点练2.坛子里放着5个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋. (1)求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率. 解：(1)记“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A， 易知P(A)＝， 即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为. (2)记“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B， 则可得P(AB)＝×＝， 由条件概率计算公式可得P(B｜A)＝＝； 所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为. 任务三　条件概率的性质及应用 (链教材P186例2)在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 解：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B， 可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝， P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， 所以P(E｜D)＝P[(A∪B)｜D]＝P(A｜D)＋P(B｜D)＝＋＝＋＝. 故该考生考试已经通过，则他获得优秀成绩的概率为. 当所求事件的概率较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P[(B∪C)｜A]＝P(B｜A)＋P(C｜A)便可求得较复杂事件的概率. 对点练3.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C， 则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝， P(B｜A)＝＝＝＝，P(C｜A)＝＝＝， 所以P[(B∪C)｜A]＝P(B｜A)＋P(C｜A)＝＋＝. 任务再现 1.条件概率P(B｜A)＝＝.　2.条件概率的性质及应用 方法提炼 定义法、缩小样本空间法、转化化归 易错警示 分不清“在谁的条件下”求“谁的概率” 学生用书⬇第153页 1.已知P(B｜A)＝，P(AB)＝，则P(A)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析： 因为P(B｜A)＝，所以P(A)＝＝＝.故选C. 2.统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B，由题意可知：P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B｜A)＝＝.故选C. 3.从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则P(B｜A)＝　　　　. 答案： 解析：由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.从而P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B｜A)＝＝. 4.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为　　　　. 答案： 解析：设“甲同学被选出”为事件A，“乙同学被选出”为事件B，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P(B｜A)＝＝＝. 课时分层评价38　条件概率的概念 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(｜A)＝，则P(AB)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为P(｜A)＝，由对立事件概率计算公式可得：P(B｜A)＝1－＝，则P(AB)＝P(A)·P(B｜A)＝×＝.故选D. 2.(2025·北京海淀高二期末)已知一批产品中，A项指标合格的比例为80％，B项指标合格的比例为90％，A、B两项指标都合格的比例为60％，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：记事件A为“A项指标合格”，事件B为“B项指标合格”，则P(A)＝80％，P(B)＝90％，P(AB)＝60％，所以P(B｜A)＝＝＝.故选C. 3.某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示： 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：设事件A表示选到团员，事件B表示选到男生，则P(B｜A)＝＝＝.故选A. 4.若事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)(其中P(A)＞0，P(B)＞0)，则“P(B｜A)＝P(B)”是“P＝P(A)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：C 解析：因为P(B｜A)＝P(B)，所以P(B｜A)＝＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)·P(B)，所以P＝＝＝P(A).反之由P＝P(A)能推出P(B｜A)＝P(B)，所以“P(B｜A)＝P(B)”是“P＝P(A)”的充要条件.故选C. 5.甲、乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼、教学北楼、活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件A：甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件B：甲和乙选择的地点不同，则P(B｜A)＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有4×4＝16种选择，甲和乙均不选择活动中心考察参观共有3×3＝9种选择，所以甲和乙至少一人选择活动中心考察参观有16－9＝7种选择，所以P(A)＝，事件AB：甲乙只有一人选择活动中心考察参观，故共有1×3＋3×1＝6种选择，所以P(AB)＝，因此P(B｜A)＝＝.故选A. 6.(多选题)(2025·河南郑州高二期中)已知事件A，B，若A⊆B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.7，则下列结论正确的是(　　) A.P(AB)＝0.4 B.P(A｜B)＝0.4 C.P＝0.5 D.P(B｜A)＝ 答案：AC 解析：对于A，因为A⊆B，所以P(AB)＝P(A)＝0.4，故A正确；对于B，P(A｜B)＝＝＝，故B错误；对于C，P(B｜)＝＝＝0.5，故C正确；对于D，P(B｜A)＝＝1，故D错误.故选AC. 7.先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别标记为1，2，3，4，5，6)，记事件A＝“第一次掷出的点数小于4”，事件B＝“两次点数之和大于4”，则P(B｜A)＝　　　　. 答案： 解析：由题意可知P(A)＝＝，事件A与事件B同时发生，有(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)共12种可能，P(AB)＝＝，所以P(B｜A)＝＝. 8.某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动.某小组种植的番茄出芽率(出芽的种子数占总种子数的百分比)为80％，出苗率(出苗的种子数占总种子数的百分比)为70％.若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为　　　　. 答案： 解析：记事件A为番茄出芽，事件B为番茄出苗，而B⊆A，所以AB＝B，由题意得P(A)＝0.8，P(AB)＝P(B)＝0.7，所以P(B｜A)＝＝＝. 9.从1，2，…，n(2≤n≤10)这n个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件B，且P(B｜A)＝，则n的所有可能值的和为　　　　. 答案：15 解析：由P(B｜A)＝知在1，2，…，n(2≤n≤10)中质数比不是质数的数多一个，因此n只可能为3，5，7共3个，故n的所有可能值的和为3＋5＋7＝15. 10.(13分)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人必须是一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 解：(1)记4名男生为A(甲)，B，C，D，2名女生为a，b(乙)， 从6名成员中挑选2名成员共有＝15种情况，即：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，记“男生甲被选中”为事件M，则样本点为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故P(M)＝＝. (2)记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，则P(MN)＝， 由(1)知P(M)＝，故P＝＝. (3)记“挑选的2人一男一女”为事件S，则由(1)知P＝， 记“女生乙被选中”为事件N，则P＝，故P＝＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件A＝“相邻区域颜色不同”，事件B＝“区域1和3颜色相同”，则P(B｜A)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：事件A＝“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法；对区域5涂色，有2种涂色方法；对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域4只有1种涂色方法，区域3只有1种涂色方法，若区域4、区域2颜色相同，则区域4只有1种涂色方法，区域3只有2种涂色方法，所以相邻区域颜色不同包含的样本点有4×3×2×1×＝72(个)；事件AB＝“相邻区域颜色不同且区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，有2种涂色方法，区域1和3颜色相同所包含的样本点有4×3×2×2＝48(个)；故P(B｜A)＝＝.故选C. 12.(多选题)为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　) A.P(A)＝ B.P(AB)＝ C.P(B｜A)＝ D.P＝ 答案：ABC 解析：对于A，决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故P(A)＝，故A正确；对于B，从5道题中不放回地随机抽取两次，故P(AB)＝×＝，故B正确；对于C，P(B｜A)＝＝×＝，故C正确；对于D，因为P(A)＝，所以P()＝1－＝，又P(B)＝×＝，故P＝＝×＝，故D错误.故选ABC. 13.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P＝，则P(｜)＝　　　　. 答案： 解析：因为P(A)＝，P(B)＝，则P＝1－＝，P(∩)＝P()＝1－P(A＋B)＝1－＝，则P(｜)＝＝＝. 14.(15分)(2025·江苏南京高二期末)抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. (1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ (2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？ 解：(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”， 则P(B)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(A｜B)＝＝. (2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥， 记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”. 因为P＝＝，P＝＝，P＝＝， 所以P＝P[(M4∪M6)｜N]＝P＋P ＝＋＝＋＝. 15.(5分)(2025·广东湛江高二期中)已知某条线路上有A，B两辆相邻班次的BRT(快速公交车)，若A准点到站的概率为，在B准点到站的前提下A准点到站的概率为，在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设事件A为“A准点到站”，事件B为“B准点到站”，依题意，P(A)＝，P(A｜B)＝，P＝，而P＝＝，解得P(A)＝，而P(A)＝P＝P(AB)＋P(A)＝，则P(AB)＝，而P(A｜B)＝＝，解得P(B)＝.故选B. 16.(17分)小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将π(π≈3.141 59…)的前6位数字(1，1，3，4，5，9)按照一定的顺序进行设置. (1)记事件A：相同的数字相邻，求事件A发生的概率P(A)； (2)记事件B：相同的数字不相邻，求事件B发生的概率P(B)； (3)记事件C：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件B发生的条件下，事件C发生的概率P. 解：(1)依题意，在事件A中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排即可，有＝120种方法，由古典概型概率公式可得P(A)＝＝. (2)在事件B中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个空中进行插空，再对这四个数字进行全排即可，有种方法，由古典概型概率公式可得P(B)＝＝. (3)在事件C中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排即可，有种方法，由古典概型概率公式可得P＝＝， 由条件概率公式可得，P＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $