6. 离散型随机变量及其分布列-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，从随机变量概念引入，通过具体实例建立样本点与实数的对应关系，再到离散型随机变量的判断（取值能否一一列举），进而构建分布列（取值与概率的对应）并探究其性质（概率之和为1等），形成逐步深入的学习支架。 该资料以问题链驱动学习，如通过射击环数、骰子点数等实例引导学生抽象出随机变量概念，培养数学抽象素养；结合取球最大号码、试钥匙次数等情境构建分布列模型，发展数学建模能力；例题与练习中概率计算、性质检验等环节强化数学运算。课中任务驱动和变式探究助力教师教学，课后分层评价与对点练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

§2　离散型随机变量及其分布列 学习目标 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.　2.理解离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　3.通过具体实例，了解伯努利试验，理解两点分布.　4.通过对随机变量、离散型随机变量及分布列的有关概念的学习，培养数学抽象、数学建模的核心素养.　5.借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算的核心素养. 任务一　随机变量 问题1.下述现象有哪些共同特点？ (1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…10中的某一个数； (2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数； (3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数. 提示：上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系. 随机变量 定义 在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量 表示 随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示 [微思考]　任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？ 提示：可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字. (链教材P196例1、P197例2)(1)(多选题)下列变量是随机变量的是(　　) A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 B.一台机器在一段时间内出现故障的次数 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D.方程x2－2x－3＝0的实根个数 (2)连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则表示的试验结果是　　　　　　　　　　　　. 答案：(1)ABC　(2)前3次未击中目标，第4次击中目标 解析：(1)选项A，B，C都符合随机变量的定义，故A，B，C都正确；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.故选ABC. (2)由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标. 学生用书⬇第159页 1.随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值. 2.在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值可能表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果. 对点练1.(1)袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　) A.取到的球的个数 B.取到红球的个数 C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率 (2)抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则{X＝6}表示的随机试验的结果是　　　　　　　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点 解析：(1)选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误.故选B. (2)两颗骰子点数之积为6的结果有：一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点. 任务二　离散型随机变量 问题2.观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？ (1)从10张已编号的卡片(1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X； (2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ； (3)某一自动装置无故障运转的时间T； (4)电灯泡的寿命X. 提示：(1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，(3)(4)随机变量取值不可以列举出来. 离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. [微思考]　离散型随机变量的取值一定是有限个吗？ 提示：不一定.可以是无限个，如1，2，3，…，n，…. 下列叙述中，是离散型随机变量的是(　　) A.某电子元件的寿命 B.某人早晨在车站等出租车的时间 C.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 D.测量某零件的长度产生的测量误差 答案：C 解析：对于A，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，故A错误；对于B，等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，故B错误；对于C，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，故C正确；对于D，测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误.故选C. 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的方法 1.明确随机试验的所有可能结果. 2.将随机试验的试验结果数量化. 3.确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 对点练2.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A.某机场一年中每天运送乘客的数量 B.某单位办公室一天中接到电话的次数 C.明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数 D.一瓶果汁的容量为500±2 mL 答案：D 解析：对于A，某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量； 对于B，某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量；对于C，明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是可以一一列举的随机变量，因此是离散型随机变量；对于D，由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不可以一一列举，因此不是离散型随机变量.故选D. 任务三　离散型随机变量的分布列 问题3.在掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示：X的取值有1，2，3，4，5，6，X取每个值的概率如下表： X 1 2 3 4 5 6 P 1.离散型随机变量X的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)①，①式也可以列成如下表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 学生用书⬇第160页 上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列. 如果随机变量X的分布列为上述表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，并记作 X～. (2)性质：在离散型随机变量X的分布列中， ①pi＞0(i＝1，2，…，n，…)； ②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 2.伯努利试验 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验. 3.两点分布 如果随机变量X的分布列如表： X 1 0 P p q 其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布). 两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用. [微思考]　在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1？ 提示：因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1. (链教材P200例5)袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码. (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率. 解：(1)依题意知随机变量X的可能取值为3，4，5，6， P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝；P(X＝6)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 3 4 5 6 P (2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝. [变式探究] (变条件)如果把本例中的条件“以X表示取出球的最大号码”改为“以X表示取出球的最小号码”，求X的分布列. 解：随机变量X的可能取值为1，2，3，4. 当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5，6的5个球中取，故有P(X＝1)＝＝； 当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5，6的4个球中取，故有P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能在编号为4，5，6的3个球中取，故有P(X＝3)＝＝； 当X＝4时，即取出的3个球中最小号码为4，则其他2个球只能在编号为5，6的2个球中取，故有P(X＝4)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 求离散型随机变量分布列的一般步骤 第一步：确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义； 第二步：利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)； 第三步：写出分布列； 第四步：根据分布列的性质对结果进行检验. 对点练3.某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为X，试求： (1)X的分布列； (2)他至多试开3次的概率. 解：(1)X的可能取值为1，2，3，4，5. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P＝＝. 因此X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P (2)P(X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝. 学生用书⬇第161页 任务四　分布列的性质及应用 (1)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数q的值是(　　) X 0 1 2 P 0.36 1－2q q2 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 (2)设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由已知得0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8(舍去).故选B. (2)因为随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝m(＋＋＋＋)＝1，解得m＝，所以P(＜X＜)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＝. 分布列的性质及其应用 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. 2.求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 对点练4.(1)设随机变量ξ等可能取值为1，2，3，…，n(n∈N＋)，如果P(ξ＜5)＝，那么(　　) A.n＝6 B.n＝12 C.n＝15 D.n＝18 (2)某一射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21 则P(ξ≤8)＝　　　　. 答案：(1)B　(2)0.5 解析：(1)依题意可得P(ξ＝i)＝(i＝1，2，3，…，n)(n∈N＋)，所以P(ξ＜5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＝，解得n＝12.故选B. (2)由题意可得0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21＝1，解得m＝0.29，P(ξ≤8)＝1－P(ξ＞8)＝1－0.29－0.21＝0.5. 任务再现 1.随机变量的概念、特征.2.离散型随机变量的概念.3.离散型随机变量的分布列的概念及性质.4.两点分布 方法提炼 转化与化归思想 易错警示 1.随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.2.忽视分布列的性质 1.随机变量ξ的分布列如表所示，其中2b＝a＋c，则b等于(　　) ξ －1 0 1 P a b c A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意知，得3b＝1，即b＝.故选A. 2.(多选题)以下四个随机变量，其中属于离散型随机变量的是(　　) A.某无线寻呼台1分钟内接到寻呼次数X是一个随机变量 B.如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X是一个随机变量 C.一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置X是一个随机变量 D.某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量 答案：AD 解析：随机变量中能够一一列举的变量是离散型随机变量，A，D中的随机变量能一一列举，B，C中的随机变量不能一一列举.故选AD. 3.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则表示的试验结果是　　　　　　　　　　　　. 答案：取到1件次品和2件正品或取到3件正品 解析：X＜2表示次品的件数为1，0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 4.已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4，5)，则P(2≤X＜5)＝　　　　. 答案： 解析：根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，由分布列的性质，则有＝1，解得a＝15，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝. 课时分层评价41　离散型随机变量及其分布列 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是(　　) A.出现正面向上的次数 B.掷硬币的次数 C.出现正面向上的概率 D.出现反面向上的概率 答案：A 解析：对于A，正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故A正确；对于B，掷硬币的次数固定，为1次，不是随机变量，故B错误；对于C，D，出现正面向上和反面向上的概率均为，不是变量，故C，D错误.故选A. 2.某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球.每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　) A.X＝4 B.X＝5 C.X＝6 D.X≤4 答案：C 解析：第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放回5个球，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.故选C. 3.已知随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 2 P a b 若P＝，则(　　) A.a＝ B.a＝ C.b＝ D.b＝ 答案：D 解析：依题意，得所以a＝，b＝.故选D. 4.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射击手射击一次，击中目标的次数X C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝ D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 答案：A 解析：由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A. 5.设随机变量X的分布列如表所示： X －1 0 1 2 P m 则P(｜X－1｜≤1)等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由分布列的性质可得＋m＋＋＝1，则m＝，P(｜X－1｜≤1)＝P(0≤X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝.故选C. 6.(多选题)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为(　　) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局 答案：BC 解析：由已知得3＝0＋0＋3＝1＋1＋1，故{ξ＝3}表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.故选BC. 7.已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，那么a＝　　　　. 答案： 解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a2＋a＝1⇒a＝或a＝－1，由于a＞0，所以a＝. 8.编号为1，2，3的3位学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则ξ的可能取值为　　　　. 答案：0，1，3 解析：因为编号为1，2，3的3位学生随意入座编号为1，2，3的3个座位，所以有123，132，213，231，312，321，共6种结果，其中123表示3人都与自己的座位编号相同；231，312表示3人都不与自己的座位编号相同；而132，213，321表示恰有1人与自己的座位编号相同，所以ξ的可能取值为0，1，3. 9.已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X＋1，则P(Y≥5)＝　　　　. X 0 1 2 3 P a 5a 答案： 解析：由题意a＋＋5a＋＝1，解得a＝，而P(Y≥5)＝P(2X＋1≥5)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 10.(15分)盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池.若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列. 解：由题意知，X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P (11—13，每小题5分，共15分) 11.若随机变量X的分布列如表，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 3 P a b A. B. C. D. 答案：B 解析：由随机变量X的分布列知： 所以a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时，取等号，所以a2＋b2的最小值为.故选B. 12.(多选题)一个不透明的袋子中装有6个球，其中有n个白球(n∈N＋)，其他均为黑球，这些球除颜色外，大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则(　　) A.n＝3 B.P(X＝1)＞P(X＝2) C.P(X＝3)＝ D.P(X＝0)＝ 答案：AC 解析：由题可知，＝，解得n＝3，故A正确；X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故B，D错误；C正确.故选AC. 13.一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(都大于5且两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有　　　　种. 答案：24 解析：因为后四位数字两两不同，且都大于5，所以只能是6，7，8，9四个数字，因为随机拨最后三位数字两两不同，所以有＝24种. 14.(15分)某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分.已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功. (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分X的分布列. 解：(1)设至少回答正确一个问题为事件A，则P(A)＝1－××＝. (2)这位同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为－10，0，10，20，30，40， 所以P(X＝－10)＝××＝，P(X＝0)＝×××2＝， P(X＝10)＝××＝，P(X＝20)＝××＝， P(X＝30)＝×××2＝，P(X＝40)＝××＝， 所以X的分布列为 X －10 0 10 20 30 40 P (15、16，每小题5分，共10分) 15.在2001年美国安然公司(在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一)宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假.但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律严重偏离.本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据(为正实数)中，首位非零的数字是1～9这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量ξ是一个没有人为编造的首位非零数字，则P＝lg(k＝1，2，…，9)，则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.0.046 B.0.051 C.0.058 D.0.067 答案：B 解析：由题意可得，P(ξ＝8)＝lg＝lg 9－lg 8＝2lg 3－3lg 2≈2×0.477－3×0.301＝0.051.故选B. 16.已知病毒A在某溶液中的存活个数的概率满足P＝e－3，已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为　　　　. 答案：1－ 解析：根据题意，病毒A在某溶液中的存活个数(k)的概率满足P＝e－3，则P(X＝0)＝e－3＝，若该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－. 学生用书⬇第162页 学科网（北京）股份有限公司 $