1.1.3 直线的方程 第2课时 直线方程的两点式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线方程的两点式”核心知识点，从确定直线的几何要素切入，先通过点斜式推导两点式方程，再由坐标轴截距点引出截距式方程，结合例题解析、变式探究和对点练构建完整学习支架。 资料以问题驱动引导学生自主推导，培养数学抽象素养，通过分类讨论截距是否为0等情况提升逻辑推理能力，实际应用（如三角形面积问题）强化数学运算。课中分层任务助教师高效授课，课后评价帮学生查漏补缺，符合新课标核心素养要求。

第2课时　直线方程的两点式 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式，培养数学抽象的核心素养.2.掌握直线方程的两点式、截距式的特点及适用范围.　3.能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线方程的两点式 问题1.我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，如图，你能否得出直线的方程呢？ 提示：由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)，即＝(x1≠x2，y1≠y2). 直线方程的两点式 名称 两点式方程 已知条件 A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 示意图 方程形式 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 微提醒(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示.(2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关.(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. (链教材P12练习T2)(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程； (2)已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解：(1)A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. 由直线方程的两点式，可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. 同理可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 所以三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0. (2)由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 利用两点式求直线的方程的步骤 第一步：首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴； 第二步：若不满足，不能用两点式求方程，可直接结合图形写方程；若满足，可用两点式写出方程. 注意：若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论. 对点练1.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2). (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 学生用书⬇第10页 任务二　直线方程的截距式 问题2.若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：＋＝1. 直线方程的截距式 名称 截距式方程 已知条件 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b(a≠0，b≠0) 示意图 方程形式 ＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 微提醒(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零. 求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. [变式探究] (变条件)若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”，其他条件不变，求直线l的方程. 解：①当截距不为0时， 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. ②当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 应用截距式方程的注意事项 1.如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. 2.选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 3.要注意截距式方程的逆向应用. 对点练2.(1)在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (2)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数多条 答案：(1)A(2)B 解析：(1)由题意知a＝－3，b＝4代入＋＝1即可.故选A. (2)当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－x，当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，所以＋＝1或＋＝1，所以满足条件的直线共有3条.故选B. 学生用书⬇第11页 任务三　截距式方程的应用 直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程. (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 解：(1)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可知，a＋b＋ ＝12.① 又因为直线过点P， 所以＋＝1，② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可知 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. [变式探究] (变条件)是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 解：由本例知， 满足条件：△AOB的周长为12的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 满足条件：△AOB的面积为6的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 所以同时满足(1)、(2)两个条件的直线方程为3x＋4y－12＝0. 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的 面积为S＝｜a｜｜b｜，周长c＝｜a｜＋｜b｜＋ . 对点练3.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为 ，求直线l的方程. 解：设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)，(0，b)， 由勾股定理知a2＋b2＝37. 又k＝－＝6， 所以 因此所求直线l的方程是x－＝1或－x＋＝1， 即6x－y－6＝0或6x－y＋6＝0. 任务 再现 1.直线的两点式方程.2.直线的截距式方程.3.截距式方程的应用 方法 提炼 分类讨论思想、数形结合思想 易错 警示 容易疏忽两点式和截距式方程的使用条件；利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　 ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案：B 解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以所求直线方程是＝.故选B. 2.过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案：D 解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为＋＝1.故选D. 3.已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为　　　　　　. 答案：3x－4y－12＝0 解析：因为A(2，－1)，B(6，1)，则线段AB的中点为E(4，0)，又因为所求直线在y轴上的截距为－3，故所求直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 4.已知A(4，0)，B(0，5)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　. 答案：5 解析：直线AB的方程为＋＝1，显然xy取得最大值时，x，y＞0，又因为＋≥2，即2≤1，解得xy≤5，当且仅当x＝2，y＝时取等号. 课时分层评价3　直线方程的两点式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 答案：A 解析：令y＝0，则2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.故选A. 2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x－y＋8＝0 B.2x＋y－8＝0 C.2x－y－12＝0 D.2x＋y－12＝0 答案：B 解析：由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.故选B. 3.若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A.180 B.181 C.182 D.183 答案：D 解析：因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1.由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183.故选D. 4.两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个(　　) 答案：B 解析：直线－＝1的斜率为k1＝，直线－＝1的斜率为k2＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意.故选B. 5.若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝(　　) A. B. C. D.2　　 答案：B 解析：因为直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，所以＋＝1，则a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2，此时b＝a，则＝＝.故选B. 6.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程 B.在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1 C.直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b D.过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0 答案：AD 解析：对于A，＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线去掉点(x1，y1)，故A正确；对于B，在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有ab≠0时，直线方程为＋＝1，故B错误；对于C，直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0，b)，交点到原点的距离为，故C错误；对于D，过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线当x1≠x2时，直线方程为y－y2＝(x－x2)，变形为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，当x1＝x2时，直线方程为x＝x2，也适合方程(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，故D正确.故选AD. 7.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：易得直线＝过(－5，0)，(3，－3)，故l的斜率为＝－. 8.已知直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为　　　　. 答案：－1 解析：因为直线l的方向向量为(1，－2)，所以直线斜率k＝－2，又直线l过点(－3，4)，所以直线方程为y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1. 9.(易错题)过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　. 答案：2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析：当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为－＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.所以所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 10.(13分)直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)当｜OA｜＝｜OB｜时，求直线l的方程； (2)若｜OA｜＋｜OB｜＝7，求直线l的方程. 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，且A(a，0)，B(0，b)， 由｜OA｜＝｜OB｜，得a＝b，由直线l过点P( ，2)，得＋＝1，解得 所以直线l的方程为3x＋3y－10＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，a＋b＝7　①， 因为直线l过点P，所以＋＝1　②， 联立①②，解得 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或6x＋3y－14＝0. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(多选题)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A.＞ B.＞ C.(b－a)(b＋a)＞0 D.＞ 答案：AB 解析：因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a＜0，b＞0，由直线的斜率小于1，可得0＜－＜1，结合a＜0，可得a＜0＜b＜－a，由绝对值的性质，可得＞，故A正确；由幂函数y＝的单调性知， ＞，故B正确；由b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，故C错误；由＜0，＞0，得＜，故D错误.故选AB. 12.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为　　　　　　　　. 答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0 解析：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为＋＝1，则｜a｜＝｜b｜.因为｜a｜·｜b｜＝｜a｜2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6时，b＝±6，当a＝－6时，b＝±6，所以直线l的方程为x±y＋6＝0或x±y－6＝0. 13.(双空题)若直线l过点(4，1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为　　　　，当△AOB的面积取最小值时直线l的方程是　　　　　　　　. 答案：8　x＋4y－8＝0 解析：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l过点(4，1)，所以＋＝1.又＋≥2，所以1≥2，即ab≥16，当且仅当＝，即a＝8，b＝2时取等号，所以(S△AOB)min＝×16＝8，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0. 14.(15分)一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河边共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ 解：如图所示，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立平面直角坐标系， 则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝｜BH｜＝＝300， 故点B(300，700)， 设点A关于x轴的对称点为A'(0，－300)， 则直线A'B的斜率k＝，直线A'B的方程为y＝x－300. 令y＝0，得x＝90，则点P(90，0)， 故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省. 15.(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0 C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0 答案：C 解析：因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G，因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D(，0)，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即4x＋3y－6＝0.故选C. 16.(17分)如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？ 解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，设矩形PQCR的面积是S，则S＝｜PQ｜·｜PR｜＝(100－m)(80－n). 又因为P(m，n)在直线EF：＋＝1上， 所以＋＝1(0≤m≤30)， 所以n＝20， 故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)， 当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5， 即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大. 学生用书⬇第12页 学科网（北京）股份有限公司 $