22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（2）y=a(x-h)²（题型专练）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（2）y=a(x-h)² 题型一、二次函数y=a（x-h）²的基本性质 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 6．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 题型二、二次函数y=a（x-h）²的性质的叙述 7.（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（    ） A．开口向下 B．经过原点 C．当时，y随x的增大而增大 D．与x轴的交点坐标为 8．（23-24九年级上·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 题型三、二次函数y=a（x-h）²的增减性 9.（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 题型四、二次函数y=a（x-h）²的图象问题 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 题型五、二次函数y=a（x-h）²的解析式 16．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 17．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 18．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 题型六、画二次函数y=a（x-h）²的图象 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 20．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n … (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 题型一、二次函数y=a（x-h）²的最值问题 21．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 22．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 题型二、二次函数y=a（x-h）²与几何综合问题 24．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 25．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 26．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 27．（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 28．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数（h为实数）的图象经过，，三点．如果，那么h的取值范围是 ． 30．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 31．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是取胜数学的重要法宝． 阅读下列例题： (1)（试用数学的分类讨论思想解决下列问题） 已知二次函数（为常数），当时，的最大值为，试求出的值． (2)设，求的值． 解：由得，代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时，求：的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（2）y=a(x-h)² 题型一、二次函数y=a（x-h）²的基本性质 1．（24-25九年级上·河北张家口·期末）若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数解析式中的二次项系数的符号控制二次函数的开口方向，二次项系数的绝对值控制二次函数图象的形状和大小，则与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为，据此可得答案． 【详解】解：与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据抛物线的对称轴是直线即可确定． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，解答时根据二次函数的图象的顶点坐标和开口方向进行解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式是， ∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是， ∴二次函数的最大值为0， 故选：B 6．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 题型二、二次函数y=a（x-h）²的性质的叙述 7．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（    ） A．开口向下 B．经过原点 C．当时，y随x的增大而增大 D．与x轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，A选项错误； 时，y随x增大而增大，C选项正确； 把代入， 得， 抛物线x轴的交点坐标为，B，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 8．（23-24九年级上·广西玉林·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．对称轴为直线 C．该函数有最大值，最大值是0 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的图象和性质，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：对于， ∵，故抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 该函数有最小值，最小值是0，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：B． 题型三、二次函数y=a（x-h）²的增减性 9．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 11．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 12．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 题型四、二次函数y=a（x-h）²的图象问题 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 14．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 15．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 题型五、二次函数y=a（x-h）²的解析式 16．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 17．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)点不在此函数图象上 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，抛物线的性质： （1）根据两点的纵坐标相同即可求出对称轴； （2）根据（1）所求得到抛物线的解析式为：，再求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：两点的纵坐标相同， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为， 抛物线的解析式为：， 当时，， 点不在此函数图象上． 18．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线相同，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； (3)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式： （1）设满足题意的抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求的解析式结合二次函数的性质即可得到答案； （3）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】（1）解：设满足题意的抛物线解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴满足题意的抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移8个单位长度，请直接写出平移后的抛物线的解析式． 题型六、画二次函数y=a（x-h）²的图象 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性． x … 0 1 2 3 4 … … … … … … … (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质．根据二次函数的作图方法，再根据图像即可求解各性质． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 4 … … 0 … … 0 … … 0 … 画图如下： ；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为．当时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （2）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 20．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图像． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，， (2)图像见解析 (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图像即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）如图，    （3）观察问题（2）图像可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、图像的画法、函数值的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型一、二次函数y=a（x-h）²的最值问题 21．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 22．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)函数的最大值为0； (2)h的值是4或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0； （2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是4或． 题型二、二次函数y=a（x-h）²与几何综合问题 24．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，直线与抛线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【详解】（1）解：令， 解得：，， 将分别代入得，， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 25．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，， (2)4 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）存在，设， ∵，，， ∴， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴或． 26．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为，与y轴交于点A，过点A作轴，交该抛物线于点C，连接，以为边作，点D在x轴的负半轴上． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点D的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的面积为16 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解，平行四边形的性质等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点为即可求解； （2）根据抛物线的解析式求出，，再根据四边形是平行四边形即可求出点D的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴将代入得：，即， 故该抛物线的解析式为． （2）解：该抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， ， 点的坐标为． 的面积为． 27．（2025·浙江宁波·模拟预测）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 28．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知直线交抛物线于点，交抛物线于点，下列结论：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则；其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、因式分解、不等式的性质，利用作差法比较的大小关系是解题的关键．由抛物线经过点可得，同理可得，利用因式分解的知识得到，再利用不等式的性质逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线经过点， ， 同理可得：， ， 若，则，， ，即，故①正确； 若，则，， ，即，故②不正确； 若，则，， ，即，故③正确； 若，则，而无法判断的正负性，故无法判断与的大小关系，故④不正确； 综上所述，其中正确的是①③，有2个． 故选：B． 29．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数（h为实数）的图象经过，，三点．如果，那么h的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 由可知点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，点C离对称轴的距离比点A离对称轴的距离远，对称轴为直线，再根据，，三点横纵坐标的大小关系进行判断求解． 【详解】解：， 点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，点C离对称轴的距离比点A离对称轴的距离远． ， 对称轴为直线． ，，， ， 解得． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是取胜数学的重要法宝． 阅读下列例题： (1)（试用数学的分类讨论思想解决下列问题） 已知二次函数（为常数），当时，的最大值为，试求出的值． (2)设，求的值． 解：由得，代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时，求：的值． 【答案】(1)或； (2)2017 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程和一元二次方程解的意义． （1）根据对称轴为直线，当时，的最大值为，分类讨论各种情况求得的值； （2）根据题意得到，，然后将原式变形运用整体思想代入计算即可. 【详解】（1）解：由可知对称轴为：直线，图象开口向下， ， 当时，在处取得最大值，即， 解得：或（舍）； 当时，在处取得最大值，即，此时方程无解； 当时，在处取得最大值，即， 解得：或（舍， 综上所述：或； （2）解：根据题意可知：， ∴，， ， ∴ ． 1 / 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