2.2.2 有理数的除法（题型专练）2025-2026学年人教版七年级数学上册同步题型练系列

2.2.2 有理数的除法 有理数除法法则辨析 1．两个不为0的有理数相除，若交换被除数与除数的位置，它们的商不变，则这两个有理数（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．绝对值相等 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键．设这两个数分别为a，b，根据题意列式计算即可． 【解析】解：设这两个数分别为a，b， 依题意可得：， 化简得：， ∴或， 即， 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定小于被除数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握法则是解题的关键．根据除法运算法则逐项判断即可． 【解析】解：A. 0除以任何一个不等于0的数都等于0，原说法错误，不符合题意； B. 1除以一个不为0的数就等于乘这个数的倒数，原说法错误，不符合题意； C. 一个不等于0的有理数除以它的相反数等于，说法正确，符合题意； D. 两数相除，商不一定小于被除数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个有理数相除，“两数相除，同号得正，异号得负”．根据有理数除法运算法则进行判断即可． 【解析】解：∵两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数同号． 故选：D． 4．下列说法不正确的是（    ） A．如果两个数的和为，那么这两个数的商一定为 B．如果两个数的商为，那么这两个数的和一定为 C．如果两个数的积为，那么这两个数互为倒数 D．如果两个数的商为正数，那么这两个数的符号一定相同 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法和除法运算，根据有理数的相关运算法则进行逐一判断即可，注意不能做除数，解题的关键是熟知有理数的运算法则． 【解析】解：、如果两个数都为，其和为，但这两个数的商不存在，故此选项错误； 、如果两个数的商为，则这两个数一定互为相反数，其和一定为，此选项正确； 、如果两个数的积为，那么这两个数互为倒数，此选项正确； 、如果两个数的商为正数，则这两个数同为正数或同为负数，因此这两个数的符号一定相同，此选项正确； 故选：． 5．如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【解析】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 有理数的除法运算 6．对于式子“”的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键． 【解析】解：，故选D． 7．计算的结果是（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可． 【解析】解：． 故选：B 8．下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确化简求出是解题关键． 【解析】 解：A、，故此选项错误； B、2，故此选项正确； C、，无意义，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：B． 9．两个数相除商是，如果把被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位，那么商是 ． 【答案】638 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位机把被除数扩大到原来的10倍，把除数缩小到原来的，据此可得商要扩大到原来的100倍，据此可得答案． 【解析】解：两个数相除商是，如果把被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位，那么商是638， 故答案为：638． 10．填空： （1） ；     （2） ； （3） ；   （4） ． 【答案】 0 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【解析】解：（1），故答案为：； （2），故答案为：； （3），故答案为：0； （4）．故答案为：． 11．马奔在计算时，误将“”看成“”，结果得，而实际上的正确结果是 ． 【答案】 【分析】根据题意，按照误算的方法求出的值，再代入正确的式子计算即可． 【解析】解：∵计算时，误将“”看成“”，结果得， ∴，解得，， ∴， 故答案为：． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算． 【解析】（1） ； （2） ． 有理数的乘除混合运算 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【解析】解：．故选：A． 15．下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【解析】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 16．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错 (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序． （1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可． （2）按照正确的运算顺序，规范解答即可． 【解析】（1）根据题意，得： 第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正， 故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错． （2） ． 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【解析】（1） ； （2） ． 18．下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可； 本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【解析】（1） （2） 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 有理数的四则混合运算 20．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘除，后算加减，即可解答． 【解析】解： ， 故选：B． 21．在等式中，“□”处表示的数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出， 根据题意可得，据此即可求出“□”处表示的数． 【解析】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 22．怎样算简便就怎样算 （1）23 （2）25%0.75． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用有理数乘除法的法则求解即可， （2）利用有理数乘除法的法则求解即可． 【解析】解：（1）23 ＝23， ＝3+1， ＝4， （2）25%0.75． ， ＝1﹣1， ＝0． 23．计算 （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】见详解 【解析】解：（1）﹣1÷（）﹣3÷（） ＝﹣1×（﹣8）﹣3×（﹣2） ＝8+6 ＝14； （2）﹣81（） ＝﹣81×3（﹣9） ＝﹣243+3 ＝﹣240； （3）﹣1+5÷（）×（﹣6） ＝﹣1+5×（﹣6）×（﹣6） ＝﹣1+180 ＝179； （4）（）÷1 10 ． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握运算律以及运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先化为省略加号的和的形式，再结合运算律进行简便计算即可； （3）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （4）先把除法化为乘法，再计算即可； （5）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； 有理数除法运算的应用 25．一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 根据有理数的除法法则进行计算即可． 【解析】解：根据题意得： ； 故选：B． 26．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【解析】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 27．“智慧农业”高科技种植技术可以利用设备收集大气、土壤、作物、病虫等多方面的数据，来随时指导农业生产，刘叔叔家的葡萄园今年引进了该技术，今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，刘叔叔家去年葡萄的产量是 ． 【答案】6400 【分析】本题考查了有理数除法的运用，理解增产的含义，正确运用有理数除法运算是关键． 根据今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，由此计算即可求解． 【解析】解：， 故答案为：6400 ． 28．某种药品的说明书上贴有如图的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg到___mg． 【答案】 15 40 【分析】分每天服用和，分次和次两种服用方法，求出每次服用的剂量，确定最小值和最大值，即可得解． 【解析】解：每天服用时，分次服用，每次服用：； 分次服用，每次服用：； 每天服用时，分次服用，每次服用：； 分次服用，每次服用：； ∴每天最小服用，最多服用；故答案为：． 29．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 【答案】(1)同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下 (2)这一组的同学共垫球下 (3)这一组同学平均垫球下 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的大小比较，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键； （1）比较表格中各数的大小，进而求得垫球最多的人，根据下为标准，超过的记作正，即可得出最多垫球多少下； （2）用再加上表格数据，即可求解； （3）用（2）中数据，除以求得平均数，即可求解． 【解析】（1）解：根据表格数据，， 所以同学E垫球最多， ， 答：同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下； （2）解：， 答：这一组的同学共垫球下； （3）解：， 答：这一组同学平均垫球下． 30．小张第一次用480元购买了8套儿童服装，以一定价格出售．如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）： ，，，，，，0，． 请通过计算说明： (1)小张卖完这八套儿童服装共卖了多少钱？ (2)这八套儿童服装平均每套盈利了多少元？ 【答案】(1)共卖了元 (2)这八套服装平均每套盈利了18元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是列出算式，熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据利润等于售价减进价进行计算即可． 【解析】（1）解： （元）． （2）解：法一：（元）； 法二：（元） 法三：（元） 答：这八套服装平均每套盈利了18元． 有理数四则混合运算的应用 31．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【解析】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 32．《九章算术》中记载一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”．意思是：圆环面积=（内圆周长+外圆周长）径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差．材料中的方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）．在这个过程中，面积保持不变．如果梯形的上底是米，下底是米，那么圆环形地垫的面积是（   ）平方米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆环面积，掌握公式是解决问题的关键．根据题意结合图形可知，梯形的上底为圆环内圆周长，梯形的下底为圆环外圆周长，计算出各自半径，利用题目给出的圆环面积公式计算即可． 【解析】解：内圆半径为：（米） ， 外圆半径为：（米）， 圆环面积为：（平方米）． 故答案为：B． 33．年，我国测得珠峰的高度为海拔米．已知“珠峰大本营”的海拔高度为米，若某一时刻“珠峰大本营”的温度为，且海拔每上升米，气温就下降，则此时珠峰峰顶的温度为 （结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再由有理数的运算法则即可求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【解析】由题意得此时珠峰峰顶的温度为： ， 故答案为：． 34．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组合代表××年，60年为一个循环．如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2022年为例：天干为：；地支为：．对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年，那么2053年为农历 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 【答案】癸酉 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题干中信息列出关于天干和地支的计算式，然后求解即可． 【解析】解：2053年的天干为：， 地支为：，∴2053年为农历癸酉年．故答案为：癸酉． 35．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 【答案】(1)13.6千米 (2)租往返的车比较划算，63.24元 【解析】（1）解： （千米） 答：小华家到动物园有13.6千米． （2）3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，所以应该租往返的车比较划算． （千米） （元） 答：租往返的车比较划算，她至少要付出租车费63.24元． 36．李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）： ，，，0，，+41，+8 (1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程； (2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用． 【答案】(1)小轿车这七天平均每天行驶； (2)李老师家一个月的油费是693元． 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）把所给的行程记录相加，然后除以7，再加上50即可得到答案； （2）先求出一个月的总路程，再根据每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元列式计算即可． 【解析】（1）解： ， 答：小轿车这七天平均每天行驶； （2）解： （元）， 答：李老师家一个月的油费是693元． 绝对值、数轴与有理数的除法综合运用 37．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题主要考查数轴与有理数的关系及有理数的计算．能够熟练通过数轴判断有理数的大小是解题关键．通过数轴得出有理数的大小再计算每个选项判断正误即可． 【解析】解∶由数轴知∶， ∴，，，，， ∴， ∴正确的有①⑤， 故选：B． 38．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解． 【解析】解：根据数轴可知：，，， 原式 ． 故答案为：． 39．若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【解析】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 40．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 【答案】(1)9，，， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式直接求解即可； （2）在图二的数轴上表示出三个数即可； （3）按照两个数轴的比例得出在图二中的数值即可． 【解析】（1）解：在图1的数轴上，个单位长度；在图2中，；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，在数轴上点所对应的数． 故答案为：9，，，； （2）解：∵， ∴在处， ∵， ∴0在处， ∵， ∴1在处． 如图，    （3）解：∵， ∴D在图2中对应刻度尺上的的长度为：， ∴或， ∴点D在图2中对应刻度尺上的读数为：或． 利用倒数法求解有理数除法 41．我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为20+3﹣5+12＝﹣10． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【解析】解：因为 ＝﹣7+9﹣28+12 ＝﹣14； 所以． 42．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)解法一 (2) 【解析】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）解：解法二： ； 解法三：原式的倒数为： ， 所以原式． 有理数乘除法中的新定义问题 43．我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为（    ） A．10 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的新运算法则解答即可. 【解析】解：； 故选：C. 44．已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（   ） A．60 B．792 C．812 D．5040 【答案】B 【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可． 【解析】解：C125 =故选：B． 45．定义一种新运算：，如，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可． 【解析】解：∵， ∴，． 故． 故答案为：0． 46．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如的正因数有、、、，其中、、是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更完美．那么比大，比小的自然数中，最“完美”的数是 ． 【答案】 【分析】根据“完美指标”的意义知道，自然数的真因数越多，此数越完美；因为在的数中，、、、是质数，真因数只有，所以先排除此三个数，再分别找出、、、、的正因数，再分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的意义，分别求出“完美指标”． 【解析】在的数中，、、、是质数，真因数只有，所以先排除这三个数． 由因数的定义，可得的正因数有：、、、、、，其中、、、、是真因数， 完根据完美指标的定义，可得的美指标：， 的正因数有：、、、，其中、、是真因数， 所以的完美指标：， 的正因数有：、、、，其中、、是真因数， 所以的完美指标：， 的正因数有：、、、、，其中、、、是真因数， 所以的完美指标：， 的正因数有：、、、、、，其中、、、、是真因数， 所以的完美指标：， 由以上所求的完美指标知道，的完美指标最接近， 所以，比大，比小的自然数中，最“完美”的数是． 故答案为：16． 47．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）先计算中括号里面的，再计算括号外面的即可得出答案． 本题考查的是有理数的混合运算，解题关键在于根据新定义列出代数式． 【解析】（1）根据题意得， ； （2） ． 48．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【解析】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 有理数运算中的分类讨论思想问题 49．下列说法： ①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数 ②若m满足，则 ③若三个有理数a，b，c满足，则． 其中正确的是有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的乘除法法则，绝对值等．利用有理数的乘除法法则，绝对值，判断即可． 【解析】解：①2018个不为0的有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数，故原说法错误； ②若m满足，则，故原说法错误； ③若三个有理数a，b，c满足， ∴a，b，c中有2个为负数或1个为负数， 当a，b，c中有2个为负数时，； 当a，b，c中有1个为负数时，，故原说法错误． 故选：A 50．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【解析】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 51．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 【答案】（1）﹣1；（2）3（m+2）+2 除以3余数是2． 【分析】（1）因为m与n互为相反数，所以找出原点，求出t＝0﹣1＝﹣1． （2）①由t＝﹣3，得m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5，n＝t+4＝﹣3+4＝1，求出m+n＝4； ②当原点在点M的左侧时，得m，n，t均为正整数，即t＝m+2，n＝m+6，m+t+n＝3（m+2）+2，据此解答． 【解析】解：（1）因为m与n互为相反数， 所以m+n＝0， 所以t＝0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． （2）①∵t＝﹣3， ∴m＝t﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5， ∴n＝t+4＝﹣3+4＝1， ∴m+n＝﹣5+1＝﹣4； ②当原点在点M的左侧时，m，n，t均为正整数， ∵t＝m+2，n＝m+6， ∴m+t+n ＝m+（m+2）+（m+6） ＝3m+8 ＝3（m+2）+2， ∵m+2为整数， ∴3（m+2）+2 除以3余数是2． 52．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)已知，，是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【解析】（1）解：当时，则， 当，则， 故答案为：，． （2）已知是有理数，， 所以，且中两正一负， 所以． （3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当都是正数，即时， 则：， ②当有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：， ③当有两个为正数，一个为负数时， 设， 则：， ④当三个数都为负数时， 则：， 综上所述：的值为或或或 有理数乘除法中的新定义问题 53．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于　 　类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）． ①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类． 【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④ 【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解； （3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断． 【解析】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A； （2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n， ∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确； ②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误； ④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④． 54．数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 【答案】（1）见解析；（2）25，26，49，50，97，98． 【分析】（1）根据题意直接相除，看得到的结果是否为质数，再判断是否为“公平数”； （2）先求出3和8在100内的公倍数，再根据“公平数”的定义做个找出即可． 【解析】解：（1）60÷7＝8……4，60÷8＝7……4，有相同的余数，故为“公平数”； 35÷7＝5……0，35÷8＝4……3，余数不相同，故不是“公平数”． （2）3和8的公倍数在100内有24、48、72、96． ①当3和8的公倍数为24时： 当余数为1时的“公平数”：3×8+1＝25； 当余数为2时的“公平数”：3×8+2＝26； ②当3和8的公倍数为48时： 当余数为1时的“公平数”：2×3×8+1＝49； 当余数为2时的“公平数”：2×3×8+2＝50； ③当3和8的公倍数为72时： 当余数为1时的“公平数”：3×3×8+1＝73； 当余数为2时的“公平数”：3×3×8+2＝74； ④当3和8的公倍数为96时： 当余数为1时的“公平数”：2×2×3×8+1＝97； 当余数为2时的“公平数”：2×2×3×8+2＝98； 故100以内3和8的所有“公平数”为：25，26，49，50，97，98． 55．先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现： 计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 【答案】(1)共有35种选法 (2)3；1；4；10；5；15； (3)220 【分析】本题考查组合新定义计算，有理数的乘除法混合计算， （1）根据材料给出组合的方法直接计算即可； （2）根据新定义分别进行计算；利用计算结果得，，由此规律可得； （3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可； 掌握新定义的计算方法与性质，有理数的乘除法混合计算法则是解题关键． 【解析】（1）解：根据公式， 答：共有35种选法． （2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15， ∵，， ∴，      故答案为3；1；4；10；5；15； （3） ． 56．（2023·青海西宁·中考真题）算式的值最小时，□中填入的运算符号是（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】B 【分析】分别将各运算符号代入算式求值，再比较即可． 【解析】解：∵，，，， 又∵， ∴最小， ∴□中填入的运算符号是“-”． 故选B． 57．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】A 【分析】将各选项的运算符号代入计算即可得． 【解析】解：， ， ， ， 因为， 所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为， 故选：A． 58．（2022·广西玉林·中考真题）计算： ． 【答案】-1 【分析】根据有理数的除法运算可进行求解． 【解析】解：原式=； 故答案为-1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2 有理数的除法 有理数除法法则辨析 1．两个不为0的有理数相除，若交换被除数与除数的位置，它们的商不变，则这两个有理数（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．绝对值相等 2．下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定小于被除数 3．两个数相除，若商为正数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号相同 4．下列说法不正确的是（    ） A．如果两个数的和为，那么这两个数的商一定为 B．如果两个数的商为，那么这两个数的和一定为 C．如果两个数的积为，那么这两个数互为倒数 D．如果两个数的商为正数，那么这两个数的符号一定相同 5．如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 有理数的除法运算 6．对于式子“”的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（    ） A．3 B． C． D．12 8．下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 9．两个数相除商是，如果把被除数的小数点向右移动一位，除数的小数点向左移动一位，那么商是 ． 10．填空： （1） ；     （2） ； （3） ；   （4） ． 11．马奔在计算时，误将“”看成“”，结果得，而实际上的正确结果是 ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．计算： (1)； (2)． 有理数的乘除混合运算 14．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 15．下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 17．计算： (1)． (2)． 18．下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 19．计算： (1)； (2)； (3)． 有理数的四则混合运算 20．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D．7 21．在等式中，“□”处表示的数是 ． 22．怎样算简便就怎样算 （1）23 （2）25%0.75． 23．计算 （1）； （2）． （3）； （4）． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5) 有理数除法运算的应用 25．一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 26．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 27．“智慧农业”高科技种植技术可以利用设备收集大气、土壤、作物、病虫等多方面的数据，来随时指导农业生产，刘叔叔家的葡萄园今年引进了该技术，今年的葡萄产量是，比去年增产四成五，刘叔叔家去年葡萄的产量是 ． 28．某种药品的说明书上贴有如图的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg到___mg． 29．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 30．小张第一次用480元购买了8套儿童服装，以一定价格出售．如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）： ，，，，，，0，． 请通过计算说明： (1)小张卖完这八套儿童服装共卖了多少钱？ (2)这八套儿童服装平均每套盈利了多少元？ 有理数四则混合运算的应用 31．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 32．《九章算术》中记载一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”．意思是：圆环面积=（内圆周长+外圆周长）径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差．材料中的方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）．在这个过程中，面积保持不变．如果梯形的上底是米，下底是米，那么圆环形地垫的面积是（   ）平方米． A． B． C． D． 33．年，我国测得珠峰的高度为海拔米．已知“珠峰大本营”的海拔高度为米，若某一时刻“珠峰大本营”的温度为，且海拔每上升米，气温就下降，则此时珠峰峰顶的温度为 （结果保留整数）． 34．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组合代表××年，60年为一个循环．如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2022年为例：天干为：；地支为：．对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年，那么2053年为农历 年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 35．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 36．李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）： ，，，0，，+41，+8 (1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程； (2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用． 绝对值、数轴与有理数的除法综合运用 37．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤．    A．1 B．2 C．3 D．4 38．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ． 39．若，求代数式 ． 40．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点C对齐刻度．    (1)在图1的数轴上，______个单位长度；在图2中，______cm；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的______cm，在数轴上点所对应的数______． (2)在图2的数轴上标出下列数字：，0，1． (3)在图1的数轴上有一动点，当时，求点在图2中对应刻度尺上的读数． 利用倒数法求解有理数除法 41．我们知道，，显然a÷b与b÷a的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为20+3﹣5+12＝﹣10． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 42．阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 有理数乘除法中的新定义问题 43．我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为（    ） A．10 B．6 C． D． 44．已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（   ） A．60 B．792 C．812 D．5040 45．定义一种新运算：，如，则 ． 46．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如的正因数有、、、，其中、、是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”．如的“完美指标”是．一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”．如8的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更完美．那么比大，比小的自然数中，最“完美”的数是 ． 47．对有理数a、b定义运算如下：． (1)计算______； (2)求的值． 48．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 有理数运算中的分类讨论思想问题 49．下列说法： ①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数 ②若m满足，则 ③若三个有理数a，b，c满足，则． 其中正确的是有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 50．已知，，则的值是 ． 51．如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T． （1）若m与n互为相反数，则t＝　 　 ； （2）①若t＝﹣3，求m+n的值； ②当原点在点M的左侧时，试说明：整数m，n，t的和除以3所得的余数一定是2． 52．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)已知，，是有理数，当时，求的值． 有理数乘除法中的新定义问题 53．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2020属于　 　类（填A，B或C）； （2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）． ①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类． 54．数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质．现在我们来研究整数的一种特殊现象． 定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b为互质数）有相同余数（余数不为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”． 例如：13÷3＝4……1，13÷4＝3……1，所以13是3和4的“公平数”：72÷5＝14……2，72÷7＝10……2，所以72是5和7的“公平数”． （1）判断：60、35是否为7和8的“公平数”，请说明理由； （2）求100以内3和8的所有“公平数”． 55．先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现： 计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 56．（2023·青海西宁·中考真题）算式的值最小时，□中填入的运算符号是（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 57．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 58．（2022·广西玉林·中考真题）计算： ． 学科网（北京）股份有限公司 $