精品解析：河北省邢台市第一中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

邢台一中2025-2026学年第一学期第一次月考 高一年级数学试题考试 范围：必修一第一、二章 高考研究中心 命题人：黄彦芳 审题：杨丽 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合， 则, 故选：D 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式性质举出反例可得A、B、D错误，借助不等式的同向可加性可得C. 【详解】对A：当时，则，故A错误； 对B：当时，满足，，而，故B错误； 对C：由，得，故C正确； 对D：当时，满足，，而，故D错误. 故选：C. 3. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出a的值． 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或． 故选：C． 4. 下列命题中正确的是（ ） ①与表示同一个集合 ②方程的所有解的集合可表示为 ③由1，2，3组成的集合可表示为或 ④集合可以用列举法表示 A. 只有①和④ B. 只有②和③ C. 只有② D. 只有③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，为空集，是0为元素的单元素集合，故①错误； 对于②，方程的所有解的集合可表示为，故②错误； 对于③，由1，2，3组成的集合可表示为或，故③正确； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误； 所以命题正确的只有③. 故选：D. 5. 已知集合，，则（ ） A. 集合与集合没有包含关系 B. 集合是集合的真子集 C. 集合是集合的真子集 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别确定集合，再判断两集合的关系. 【详解】当时，；当时，； 当时，；时，. 所以，. 所以集合与集合没有包含关系. 故选：A 6. 如果集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式无解，即可对讨论求解. 【详解】若，则不等式无解， 当时，显然不成立，符合题意， 当时，则且，解得， 综上可得， 故选：B 7. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】设第一次与第二次购物的价格分别为，分别求出两次购物的平均价格，把，，代入可得，再写出按第一种策略的总花费，然后利用基本不等式求最值． 【详解】设第一次与第二次购物的价格分别为， 按第一种策略，每次购件，则两次的平均价格为； 按第二种策略，第一次花元，购入物品件，第二次仍花元，购入物品件， 两次平均价格为． 由题意得，，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1， 得，即， 则按第一种策略的总花费 ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 8. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图．下列四个图不为偶图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形结构特点及新定义逐个判断即可. 【详解】   对于选项A，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，A为偶图. 对于选项B，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，B为偶图. 对于选项C，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点在一个子集内，这显然不符合偶图的定义，C不为偶图. 对于选项D，当，时，图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，D为偶图. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合且，则集合的真子集个数是7 【答案】ACD 【解析】 【分析】明确两命题之间的关系，可判断A的真假；确定集合，可判断B的真假；根据一元二次方程根的分布求的取值范围，判断C的真假；确定集合中的元素，求其真子集的个数，判断D的真假. 【详解】对A：由只能得到集合有公共元素，并不能得到； 反之，由，可能有，此时. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A为假命题； 对B：因为是函数的值域，所以；是函数的定义域，所以， 所以，故B为真命题； 对C：假设方程有两个根，表示为，，则两根均为负数 . 即方程有两个负根的充要条件是，故C为假命题； 对D：因为且， 所以集合真子集的个数为个，故D为假命题. 故选：ACD 10. 设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明. 【详解】∵，∴. ∵，∴. ∵，∴. 若，则存在使得， 则和的奇偶性相同. 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立； 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴. 故选ABD. 【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高. 11. 设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 设，则与的关系是 C. 的面积与的关系是 D. 当的面积最大时，矩形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.根据矩形的周长为，由求解判断；B. 易得，从而，再由化简求解判断；C.由 化简求解判断；D.由C选项的结论，再利用对勾函数的性质求解判断. 【详解】解：如图所示： 因为矩形的周长为， 所以，解得，故A错误； 由题意得， ， 所以，则， 又 ，则 ， 化简得，故B正确； ，故C正确； 令，由对勾函数的性质得，当时，取得最小值，此时取得最大值，，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】通过观察可知， 由于，则， 而，所以. 故答案为： 13. 生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意结合不等式性质即可得解. 【详解】设原有汤为a，其中含盐b，则汤的浓度为， 则加入盐为c后可得汤的浓度为，此时，理由如下： 因为， 所以，所以， 所以将题中所述事实用表示为一个不等式为. 故答案为：. 14. 如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的新定义求出，再根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】由题意可知，故， 又，是偶数， 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）假设为真命题，求得，即可得答案； （2）由为真命题，可得，由题意可得或，求解即可. 【小问1详解】 假设为真命题，即，使得不等式成立， 则对于即可． 又因为， 由于，则． 又因为为假命题， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若为真命题， 即，不等式成立， 则对于即可． 由于， 所以，解得， 又因为、有且只有一个是真命题， 则或， 或， 即， 所以实数的取值范围. 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）求实数的值使得． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求； （2）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴，解得． （2）由，且，则，即， 又， 则当时，无实数根， 即，解得； 当时，有两相等实数根， ，则，符合题意； 当时，有两相等实数根， ，则， 此时为，即，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得； 故综上所述，的取值范围为． 17. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式即可直接求解； （2）由条件得到，代入，再由基本不等式即可求解； （3）由条件得到，再由乘“1”法即可求解. 【小问1详解】 由题意得，得， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． 【小问2详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值是． 【小问3详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 18. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）． （1）用表示的长度，并写出的取值范围； （2）用表示花坛与地坪的造价之和； （3）设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 【答案】（1）， （2） （3）当时，总造价最小为元 【解析】 【分析】（1）根据题意结合矩形的面积分析求解. （2）根据题图列出式子即可表示出总造价. （3）由（2）问的结果再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意：矩形的面积为， 因此， 因为，所以． 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为元． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 【答案】（1）“上位点”为，“下位点”为 （2）是，证明见解析 （3）4051 【解析】 【分析】（1）根据上位点和下位点的定义，找出满足条件的坐标即可. （2）要判断点与点和点的上下位关系，需要根据定义分别计算相应的比值并比较大小. （3）根据条件找到满足要求的最小正整数，需要通过上下位关系列出不等式求解. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和． 【小问2详解】 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； 【小问3详解】 由题意对任意，都成立， 所以，所以，即 即总存在正整数，使不等式成立， 则对任意，都成立， 所以，即对任意，为正整数恒成立， 所以，所以 所以正整数的最小值为4051. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2025-2026学年第一学期第一次月考 高一年级数学试题考试 范围：必修一第一、二章 高考研究中心 命题人：黄彦芳 审题：杨丽 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 4. 下列命题中正确的是（ ） ①与表示同一个集合 ②方程的所有解的集合可表示为 ③由1，2，3组成的集合可表示为或 ④集合可以用列举法表示 A. 只有①和④ B. 只有②和③ C. 只有② D. 只有③ 5. 已知集合，，则（ ） A. 集合与集合没有包含关系 B. 集合是集合的真子集 C. 集合是集合的真子集 D. 6. 如果集合，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．已知两次购买时物品的价格分别为和，按第二种购物方式购买物品的平均价格为1，则按第一种购物方式每次购买36件物品的总花费的最小值是（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 8. 若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图．下列四个图不为偶图的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合且，则集合的真子集个数是7 10. 设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有 A. B. C. D. 11. 设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 设，则与的关系是 C. 的面积与的关系是 D. 当的面积最大时，矩形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________. 13. 生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式______. 14. 如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．已知全集，集合是偶数，则集合_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）求实数的值使得． 17. 已知，且． （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 18. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）． （1）用表示的长度，并写出的取值范围； （2）用表示花坛与地坪的造价之和； （3）设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $