第四章指数函数与对数函数本章小结课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数、对数函数的图象性质及应用，涵盖反函数关系、二分法求近似解和函数模型构建，通过复习导入梳理知识结构，衔接前后内容形成学习支架。 其亮点是题型分层设计，含例题、跟踪训练及规律方法总结，如指数对数运算原则、函数图象识别技巧，结合垃圾分类分解率等实际问题，培养数学思维与模型意识，助力学生巩固基础提升解题能力，也为教师提供清晰教学路径。

本章小结 第四章　指数函数与对数函数 数学 学习目标 ①掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能用图象和性质解决相关问题． ②知道对数函数与指数函数互为反函数，且，通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较，解决简单的实际问题． ③掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题． 学习重难点 重点： 指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，特别是单调性的应用． 难点： 与指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，选择恰当的函数模型解决实际问题． 互为反函数 课堂导入 本章知识结构： 复习导入 指数函数与对数函数 指数与指数函数 指数与指数幂运算 指数函数 对数与对数函数 对数及其运算 对数函数 函数的应用 函数与方程 函数模型及其应用 课堂探究 题型一 指数、对数的运算 【例题1】计算下列各式： 其中； 课堂探究 解 (1)原式； (2)原式 ； (3)原式； (4)原式； (5)原式． 课堂探究 【跟踪训练1】 计算下列各式： (1)； (2)． 解 (1)原式； (2)原式． 课堂探究 规律方法 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式运算：先转化、再化简． 负化正、根化幂； 先约分，同底合并. 对数运算：核心是保证运算前后的等价性，需特别关注定义域的变化． 熟练运用对数的运算性质，并结合对数恒等式和换底公式，是进行对数运算的关键技巧． 课堂探究 题型二 指数函数、对数函数的图象和性质的应用 【例题2】 设，则(　　) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 解析 因为对数函数y=log3​x在(0，+∞)上单调递增，且e<4<9e≈2.718， 所以,即． 又因为指数函数y=ex在R上单调递增，且1.5>0， 所以b=e1.5> e0=1，且e1.5> e1>2． 综上可得．故选D． D 课堂探究 【例题3】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x+b−1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a−1<b<1 B．0<b<a−1<1 C．0<b−1<a<1 D．0<a−1<b−1<1 解析 (1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1． 函数图象与y轴的交点坐标为，由图象知， 结合a>1，得．故选A． A 课堂探究 【例题3】 (2)设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数__________． 解析 (2)设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点， 则(y，x)在函数y＝的图象上． 所以x＝，则．因此． 由f(3)+f ＝4，得，所以． −2 课堂探究 【例题3】 (3)若方程在上有解，则实数的取值范围为__________． 解析 (3)若方程在(0，]上有解， 则函数和函数在(0，]上有交点， 由图象知解得． 课堂探究 【例题3】 (4)函数．若在上单调递减， 则的取值范围是______________． 解析 (4)令，则， ∵为减函数， ∴在(−∞，−3)上单调递增， 当a=0时，t=−4x+3是减函数，不符合要求， 则解得． 课堂探究 【例题3】 (5)已知函数，且)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数的取值范围是__________． 解析 (5)当a>1时，在[1，2]上单调递减， 由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立， 得，且，解得． 当时，在[1，2]上单调递增， 由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立， 知，且．解得， 综上可知，实数a的取值范围是(1，)． 课堂探究 【跟踪训练2】 (1)函数的单调增区间为(　　) A．( −∞，−1] B．(−∞，1] C．[1，+∞) D．[3，+∞) 解析 (1)因为，则，解得x⩽−1或x⩾3， 所以的定义域为 (−∞，−1]∪[3，+∞)， 又开口向上，对称轴为在[0，+∞)上单调递增， 所以在(−∞，−1]上单调递减，在[3，+∞)上单调递增， 因为在R上单调递减，所以在(−∞，−1]上单调递增，在[3，+∞)上单调递减，即的单调增区间为(−∞，−1]． 故选A． A 课堂探究 【跟踪训练2】 (2)已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是(　　) A．[2，+∞) B．[4，+∞) C．(−∞，2] D．(−∞，4] 解析 (2)设， 因为函数在定义域上单调递增，要使函数在区间上单调递增，只需在区间上单调递增， 所以，解得， 即的取值范围是．故选B． B 课堂探究 【跟踪训练2】 (3)函数 (，且)的图象可能是(　　) A. B. C. D. 解析 (3)A，B选项中，，于是，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在之间，显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，，于是，图象与y轴的交点的纵坐标应在小于，所以D选项符合．故选D． D 课堂探究 规律方法 1.识别函数的图象从以下几个方面入手： 单调性：函数图象的变化趋势； 奇偶性：函数图象的对称性； 特殊点：如与坐标轴的交点、最高点、最低点等． 2.指数函数与对数函数图象经过定点的本质： a0=1，loga1=0， 其中a>0，且a≠1. 课堂探究 题型三 函数的零点与方程的解 【例题4】 解析 (1)函数为增函数， f(0)=1-6=-5<0，f(1)=3+1-6=-2，f(2)=9+2-6=5，f(1)f(2)<0， 所以函数的零点所在的区间为(1，2)．故选B． B (1)函数的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 课堂探究 题型三 函数的零点与方程的解 【例题4】 解析 (2)由题意得 lg a≠0，令f(x)=x2lg a−2x+1=0， 则Δ=4−4 lg a>0，解得0<a<1或1<a<10， 故选D． D (2)若函数有两个零点，则实数的取值范围是(　　) A．(0，10) B．(1，10) C．(0，1) D．(0，1)∪(1，10) 课堂探究 题型三 函数的零点与方程的解 【例题4】 解析 (3)画出的图象如图所示． 因为方程有四个不同的解， 故的图象与有四个不同的交点，又由图， ，故的取值范围是， 故a的最小值是1．故答案为1． 1 (3)已知函数若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是 ． 课堂探究 【跟踪训练3】 (1)函数的零点落在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析 (1)因为f(0)=-3<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0，f(3)=27>0，f(4)=65>0， f(1)⋅f(2)<0，所以函数f(x)的零点落在区间(1，2)上．故选B． B 课堂探究 【跟踪训练3】 (2)已知函数， 若存在3个零点，则实数的取值范围为 ． 解析 (2)函数存在3个零点， 等价于与有3个交点． 画出函数和的图象，如图． 由图知，要使函数和有3个交点， 则，即． 故答案为． 课堂探究 【跟踪训练3】 (3)设若方程有三个不同的实数根， 则实数的取值范围是 ． 解析 (3)作出函数f(x)=的图象，如图所示， 因为f(x)-a=0由三个不同的实数根， 即函数y= f(x)与y=a的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得0<a⩽1， 即实数a的取值范围为(0，1]．故答案为(0，1]． 课堂探究 1.已知函数的零点求参数，主要方法有： (1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； (2)数形结合； (3)分离参数，转化为求函数的最值. 2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 规律方法 方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 函数y=f(x)有零点 课堂探究 题型五 函数模型的应用 【例题5】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 (单位：万元)与年产量 (单位：吨)之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为吨． (1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本 (2)若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润最大利润是多少? 课堂探究 解 (1)因为， 所以当年产量为吨时，其生产的总成本最低，最低成本为万元． (2)设该工厂年获得总利润为万元，则 ． 因为在上是增函数， 所以当时，有最大值为． 故当年产量为吨时，可获得最大利润万元． 课堂探究 【跟踪训练4】 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间(单位：月)满足函数关系式 (其中为非零常数)．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解(分解率为100%)至少需要经过(　　)(参考数据) A．64个月 B．40个月 C．52个月 D．48个月 B 课堂探究 解析 依题意， 两式相除得，则， 由两边取以为底的对数得， 由，得， 两边取以为底的对数得 个月． 故选B． 课堂探究 规律方法 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤： (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的关系，并分别用x，y表示. (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域. (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解. 课堂探究 规律方法 函数模型选取的依据： (1)对于增长速度不变的实际问题，可建立线性函数增长模型； (2)对于增长速度急剧变化的实际问题,可建立指数函数增长模型; (3)对于增长速度平缓的实际问题,可建立对数函数增长模型. 在解决具体问题时,需要提取问题中的关键信息,恰当准确地建立相应的函数模型. 解析 因为又， 根据指数函数的性质，当时，函数为增函数，排除BD； 当时，函数为减函数，排除A．故选C． C 评价反馈 1．函数的大致图象是(　　) A. B. C. D. 解析 易知函数在上单调递增． 因为， ，所以， 所以原函数的零点在区间上．故选C． C 评价反馈 2．函数的零点所在区间为(　　) A B． C． D． 评价反馈 3．已知函数，若函数有两个不同的零点，则(　　) A． B． C． D． C 解析 因为函数有两个不同的零点， 所以，且． 因为，所以， 即， 所以，故选C． 评价反馈 4．函数的单调递减区间为(　　) A． B． C． D． C 解析 由函数， 令，即，解得， 即函数的定义域为，令， 根据二次函数的性质，可得在单调递增，在上单调递减， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减， 即的递减区间为． 故选C． 评价反馈 5．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析 可变形为， 即在上恒成立， 若，此时在上单调递减， ， 而当时，，显然不合题意； 评价反馈 5．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为(　　) A． B． C． D． C 当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立， 只需， 即，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选C． 评价反馈 6．函数的值域为 ． 解析 设，则， 换元得， 显然当时，函数取到最小值， 所以函数的值域为． 故答案为． 评价反馈 7．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)当时，求函数的值域． 解 (1)令，则， 由，得，即，解得， 即，解得，所以的取值范围是． (2)当时，，即， 当时，当时，， 所以函数的值域为． 评价反馈 8．某种普洱茶用℃的水冲泡，等茶水温度降至℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y(单位：℃)与时间t(单位：分钟)的部分数据如下表所示： (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据(1)中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1)．(参考数据：) 时间t/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 评价反馈 解 (1)由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则解得 所以； (2)令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5 min． 课堂小结 知识构建 指数与指数函数知识框架： 指数与指数函数 指数 整数指数幂及根式 分数指数幂 运算性质 指数函数 定义 图象与性质 应用 课堂小结 知识构建 对数与对数函数知识框架： 对数与对数函数 对数 定义 运算性质 对数函数 定义 图象与性质 应用 课堂小结 知识构建 函数的应用知识框架： 函数的应用 函数与方程 函数的零点与其对应方程根的关系 用二分法求方程的近似解 函数模型及其应用 几类不同增长的函数模型 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 布置作业 认真整理本节所讲知识，梳理知识脉络，完成学案中的素养专练． 谢谢大家 $