5.7 三角函数的应用 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数模型描述周期变化现象，课堂导入通过弹簧振子参数、简谐运动概念，结合张国伟物理实验视频引发问题，搭建从具体周期现象到抽象函数模型的学习支架。 其亮点在于以摆球运动实验为载体，通过数据收集、散点图制作、函数拟合对比（二次函数与三角函数），培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。采用实验探究与合作交流，学生提升建模能力，教师可高效实施探究式教学。

5.7 三角函数的应用 数学 学习目标 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角 函数模型解决一些简单的实际问题. 2.能将某些实际问题抽象为三角函数模型. 简谐运动 函数来表示，其中为振幅（物体离开平衡位置的最远距离），为周期， 为频率， 为相位， 为初相。 简谐运动可以用： 课堂导入 观看张国伟的物理实验视频，思考： 若我国著名跳高运动员张国伟保持静止一定会被打到，能不能在水平方向上采取有效躲避措施，从而刚好躲避？你是怎么思考的？ 引入问题: 课堂导入 1.摆球运动有什么特征？这种运动实质上是什么运动？ 2.你能够把收集到并处理好的数据制作成散点图吗？ 合作交流: t 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 y -2.00 -1.78 -1.01 0.01  1.03  1.77  2.00  1.77  1.04  0.01  -1.02 -1.79 -1.97 -1.77 Excel散点图 纯手工制作 3.拟合是把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来；拟合程度越高，这些点就离这条光滑曲线越近。你觉得如果用函数图像曲线拟合散点图，二次函数合适吗？为什么？ 实验探究——摆球运动当中的水平绝对安全距离 你觉得如果用函数拟合散点图，二次函数合适吗？为什么？ 实践思索: 实验探究——摆球运动当中的水平绝对安全距离 Excel散点图 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 -2 -1.78 -1.01 0.01 1.03 1.77 2 1.77 1.04 0.01 -1.02 -1.79 -1.97 -1.77 二次函数拟合散点图 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 -2 -1.78 -1.01 0.01 1.03 1.77 2 1.77 1.04 0.01 -1.02 -1.79 -1.97 -1.77 你觉得选择怎样的函数解析式来拟合该散点图比较好呢？你又会用怎样的方式确定函数解析式呢？ 进阶求索: 实验探究——摆球运动当中的水平绝对安全距离 循环往复 周期性 熟知的 周期函数   你觉得选择怎样的函数解析式来拟合该散点图比较好呢？你又会用怎样的方式确定函数解析式呢？ 进阶求索: t 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 y -2.00 -1.78 -1.01 0.01  1.03  1.77  2.00  1.77  1.04  0.01  -1.02 -1.79 -1.97 -1.77 =- = 实验探究——摆球运动当中的水平绝对安全距离 如何说明比二次函数拟合程度更高呢？ 进阶求索: 资料拓展:MATLAB软件 MATLAB是英语 (Matrix Laboratory) 的简称，是美国 MathWorks 公司出品的商业化数学软件，功能强大，可以进行矩阵运算、绘制并拟合函数和数据图象、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理、图象处理、金融建模设计与分析等诸多实际应用领域。 实验探究——摆球运动当中的水平绝对安全距离 如何说明比二次函数拟合程度更高呢？ 进阶求索: Matlab程序 拟合验证： 实验探究——摆球运动当中的水平绝对安全距离 以为例，可知该摆球最大位移为，摆球后在水平方向离中心位置2米及2米以外为绝对安全距离. 解决问题: 结论：若摆球运动中位移随时间变化的关系式满足：则摆球运动当中的水平绝对安全距离为 变式：如图所示的是某次实验测得的交变电流（单位：Ａ）随时间（单位：s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2(2)． （１）求电流i随时间t变化的函数解析式； （２）当t, , , 时，求电流i． 请你查阅资料，了解交变电流的产生原理． 课堂探究 解：由交变电流的产生原理可知，电流随时间的变化规律可用i=Asin（ωt+φ ）来刻画，其中表示频率，A表示振幅，φ 表示初相． 课堂探究 由图可知，电流最大值为5 A，因此A＝5，电流变化的周期为ｓ， 频率为50 Hz，即＝50，解得ω＝100π；再由初始状态（t＝0）的电流约 为4.33 A，可得sin φ =0.866，因此 φ 约为． 所以电流i随时间t变化的函数解析式是: i=5sin（100t+）,t∈[100，＋∞）． 当t=时， 当t=时， 当t=时， 当t=时， 　　　 O 课堂探究 达标检测 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 课堂探究 1.三角函数可描述现实世界中周期变化的一种数学模型，可用于刻画周期性规律； 小结：三角函数的应用 2.用函数模型解决实际问题的一般步骤： 收集数据→作散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验及预测 布置作业 1.完成教材第249页习题5.7. 2. 思考题：在“探究摆球运动当中的水平绝对安全距离”中，如果考虑摆球者——运动员身高约2米，结论会改变吗？ 布置作业 谢谢大家 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn 1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　) 【答案】　B A．该质点的运动周期为0.7 s B．该质点的振幅为5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零 【解析】　由题图可知，该质点的振幅为5 cm. 2．与图中曲线对应的函数解析式是(　　) A．y＝|sin x|　　　　　　 B．y＝sin |x| C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x| 【解析】　注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin |x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C. 【答案】　C 3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 【解析】　当10≤t≤15时，有eq \f(3,2)π<5≤eq \f(t,2)≤eq \f(15,2)<eq \f(5,2)π，此时F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)是增函数，即车流量在增加．故应选C. 【答案】　C 4．在电流I与时间t的关系I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意eq \f(1,100)秒的时间内电流I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值． 【解】　由题意得 T≤eq \f(1,100)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,100)， ∴ω≥200π， ∴正整数ω的最小值为629. 5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据： t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin ωt＋b的图象． (1)试根据以上数据，求出y＝Asin ωt＋b的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)? 【解】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6). 又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3， ∴所求函数的表达式为y＝3sin eq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)． (2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sin eq \f(π,6)t＋10≥11.5， 可得sin eq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)，∴2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)， ∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)． 取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17； 而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)． 从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从1时(1时到5时都可以)进港，而17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h. $