第12章 全等三角形 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章 全等三角形 一、单选题 1．如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列命题，是真命题的为（   ） A．是无理数 B．若，则 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3．如图，在中，将将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点、，连接，若，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 5．如图，是对应点，下列结论错误的是（    ） A．和是对应角 B．和是对应角 C．和是对应边 D．和是对应边 6．下列命题中，是假命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．任意多边形的外角和都是 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．平移不改变图形的形状和大小 7．如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ． 10．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 11．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对． 12．如图，在中，，，，，是的平分线，，垂足为，则的周长为 ． 13．如图，过点作，垂足为，，在中，的角平分线与的线段垂直平分线交于点，若，则的长为 ． 三、解答题 14．如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为一边作等边，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，，求的度数． (2)求证：点到三边、、所在直线的距离相等． 16．如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． (1)如图1，若为的中点，求证：． (2)如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 17．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 18．如图，在中，为、的中点，直线交于点． (1)求证：，． (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了命题、算术平方根、无理数、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据算术平方根、无理数、平行线的性质逐项分析即可获得答案． 【详解】A. 是有理数，原命题是假命题，不符合题意； B. 若，则同号即可，不一定必须，原命题是假命题，不符合题意； C. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转的性质得到旋转角为，，则，然后根据三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：由旋转性质，得旋转角为，， ∴， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形两边之和大于第三边进行验证． 【详解】等腰三角形的两边长为3和7，可能有两种情况： 当腰长为3，底边为7时， 此时三边为3、3、7． ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； 当腰长为7，底边为3时， 此时三边为7、7、3， ∵， ∴可构成三角形， ∴周长为． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查三角形全等的性质，由得出对应边及对应角相等，逐项验证即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，故选项A错误，符合题意； ∴和是对应角，故选项B正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项C正确，不符合题意； ∴和是对应边，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平行四边形和菱形的判定定理及任意多边形的外角和，平移的概念． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故该选项符合题意； B. 任意多边形的外角和都是，原命题是真命题，故该选项不符合题意； C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是真命题，故该选项不符合题意；     D. 平移不改变图形的形状和大小，原命题是真命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 【详解】∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 8．A 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得各角之间的关系，从而可求解． 【详解】解：，， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选A． 9．12 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积． 【详解】解：是边的垂直平分线，, ， 又,, , . 故答案为：12． 10．（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得． 【详解】解：①根据还需要添加一个条件是， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②根据还需要添加一个条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或）． 11．3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 利用即可证明、、，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 图中全等三角形有3对， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键. 首先根据三角形全等的判定定理得到，然后根据三角形全等得出、，即可求得的长，则可知的周长. 【详解】解：是的平分线 是公共边 在和中 的周长为： 故答案为： ． 13．1 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据勾股定理及线段的和差求出，根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∵的角平分线是， ， ∵垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）证明，根据即可证明． （2）由，得到，然后进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，为等边三角形， ∴． 则 ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴． 15．(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的外角性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． （1）由角平分线的定义求出，，由三角形的外角性质得到； （2）过作于，于，于，由角平分线的性质推出，，即可证明问题． 【详解】（1）解：平分，， ， 平分，， ， ； （2）证明：如图所示，过作于，于，于， 平分，平分， ，， 点到三边、、所在直线的距离相等． 16．(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②相等；理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2）证明：，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 17．(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， （1）利用“”即可证明，则，即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，根据线段的和与差即可求解． 熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；全等三角形的判定：，，，，． 【详解】（1）证明：∵O为、的中点， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$