以圆为背景的定点问题提升讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

以圆为背景的定点问题提升讲义 以圆为背景的定点问题提升讲义 考点目录 直线过定点问题 以圆为背景的直线过定点问题：设直线法 以圆为背景的直线过定点问题：设点法 以圆为背景的直线过定点问题：公共弦法 圆过定点问题 考点一 直线过定点问题 【知识点解析】 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D 2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 3．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 5．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知直线经过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】由，得，令,得到,, 则点的坐标为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·海南海口·期中）直线过定点 ； 【答案】 【详解】将直线方程化为，由可得， 因此，直线过定点. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 考点二 以圆为背景的直线过定点问题：设直线法 【知识点解析】 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2. 以圆为背景的直线过定点问题：设直线法 （1）设所求直线为或，交点为，. （2）将所设直线与圆的方程联立，得到一个关于或的二次方程. （3）列出韦达定理. （4）翻译题目条件，将韦达定理代入. （5）化简得到与的关系或与的关系，代入原解析式，找出定点. （6）当设直线为时，需检验斜率不存在时是否成立；当设直线为时，需检验斜率为0时是否成立. 【例题分析】 1．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． （2）点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．    2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】(1)； (2)①3，；②证明见解析. 【详解】（1）由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. （2）①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 3．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【详解】（1）设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． （2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．        4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，圆心Q为直线的垂直平分线和直线垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即，又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为. （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交，又， 则，解得.    （3）设直线的方程为， 由得， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点．    考点三 以圆为背景的直线过定点问题：设点法 【知识点解析】 1.以圆为背景的直线过定点问题：设点法 （1）设与所求直线相关的直线方程，联立得韦达定理. （2）翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标. （4）用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 【例题分析】 1．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点． 【详解】（1）设点为曲线上任意一点，P是弦AB的中点，且， 圆O：的半径，则， 故点P的轨迹方程为：． （2）不妨取，，设， 则直线CE的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，， 所以． 联立，得， 则，即，， 所以． ①当时，直线MN的斜率， 则直线MN的方程为，即， 直线过定点，所以； ②当时，直线MN垂直于x轴，方程为，也过定点． 综上所述：直线MN恒过定点． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在△ABC中，已知，，且． (1)求顶点C的轨迹E的方程； (2)曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）根据正弦定理，由可得，设顶点C的坐标为，则 ，因为构成三角形，故， 故轨迹方程为. （2）设，代入，可得， ，解得或，代回直线得， ． 代入得， ，解得或，代回直线， ． ，又．由对称性知，定点在y轴上． 令，则，所以直线恒过定点．   3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为圆心在曲线上， 所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：， 设圆的方程为， 又直线l：与圆M交于C，D两点，且, 所以，则，解得， 当时，圆的方程为， 此时，圆心到直线的距离，符合题意； 当时，圆的方程为：， 此时，圆心到直线的距离，不符合题意； （2）如图所示：    由题意设，又， 则，则，设， 则直线PE的方程为，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 设直线PF的方程为：，代入圆的方程消去y得： ， ， 由韦达定理得，即， 所以，， 消去m得， 设直线GH的方程为：， 代入圆的方程消去y得：， ， 由韦达定理得，， 则，即， 解得或， 当时，，直线GH的方程为，过定点； 当时，，解得， 直线GH的方程为，过定点，此时G，H在直线EF同侧，不符合题意， 故直线GH过定点. 考点四 以圆为背景的直线过定点问题：公共弦法 【知识点解析】 1.以圆为背景的直线过定点问题：公共弦法 过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点. （1）求出以、中点为圆心，为半径的的方程. （2）根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程. （3）令直线方程中参数项的自变量为，解方程得定点. 【例题分析】 1．（25-26高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； (3)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆． (2) (3)证明见解析，定点． 【详解】（1）设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． （2）设圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，，所以，所以， 当直线过圆心时，，此时最大， 故的取值范围为． （3）如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：  ②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点．    3．（24-25高二上·海南·阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； (3)若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)过定点， 【详解】（1）设，则由可得， 即， 则点P的轨迹方程为：； （2）易知，直线l的斜率不存在时，直线与圆相离，不满足题意； 故直线l存在斜率，设直线l为， 则点到直线l的距离为 则 则 所以或 直线l为或 （3）设，则以为直径的圆的圆心为， 记，半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为圆P. 因为直线为圆C与圆P的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线FG的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 4．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆； （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点； （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又， 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. 考点五 圆过定点问题 【知识点解析】 类型 处理思路 圆过定点 思路一：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 思路二：参变分离，设圆的方程，翻译条件消元，原方程化为的形式，进而令且，解方程组求得定点. 【例题分析】 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)以为直径的圆过定点，或，理由见解析 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简得， 所以曲线的方程为； （2）以为直径的圆过定点，或，理由如下， 令，可得，或，所以， 设，直线的方程分别为、， 因为，所以，可得， 由得，由得， 可得的中点为，， 以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 由，得或， 可得以为直径的圆过定点，或. 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆.. (1)证明：圆C过定点； (2)当时，若直线.与圆C交于M，N两点，且，其中O为坐标原点，求k的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，得， 即，令，可得， 解得， 所以圆C过定点，且定点的坐标为. （2）当时，圆C的标准方程为，即， 将代入，整理得， 则恒成立， 设，，则，， 所以 ， 整理得，解得，所以的取值范围是. 3．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)在（1）的条件下，若点P在y轴右侧，求出对应的直线AB的方程； (3)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)或 (2) (3)存在，， 【详解】（1）由题可知圆的圆心为，半径. 设，因为是圆的一条切线，所以. 在中，，故. 又， 所以，解得或. 所以点的坐标为或. （2）由题意可知：，且， 可知点在以为直径的圆，且的中点坐标为， 则圆的方程为， 整理可得， 又因为圆，即为， 两式相减即为直线AB的方程，整理可得. （3）因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆， 且的中点坐标为， 所以圆的方程为， 即. 由，解得或， 所以圆过定点和. 4．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知曲线C上任意一点到点的距离与到点的距离之比为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，若圆过，，三点，证明圆恒过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点和 【详解】（1）设曲线上一点坐标为，由已知得， 化简可得， 即曲线的轨迹方程为； （2）由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆， 过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，， 则，，所以，，，四点共圆， 即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为． 设，则，的中点为，， 所以圆的方程为， 即． 将变形， 得， 所以，解得或 所以圆恒过定点和．    课后提升训练 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可设切线的方程为． 所以圆心到切线的距离为， 即，解得， 所求的切线方程为或； （2）    ①当直线斜率存在时，设直线． 将直线代入圆的方程得， 又， 则． 即， 即， 即， 即， 整理得， 即， 所以或． 当时，直线恒过点，不满足题意，舍去； 当时，由得． 直线恒过点，满足题意． ②当直线斜率不存在时，不妨设直线， 则． 则， 所以与圆无交点，不满足题意，舍去． 综上：直线恒过点． 2．（23-24高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)相离； (2) 【详解】（1）圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图：    过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； （2）因为点在直线上，可设，      过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 3．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知圆：与直线相切． (1)求出； (2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围； (3)若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点为 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径为， 因为圆心与直线相切，所以. （2）因为圆心与直线的距离， 可知圆与直线相离， 由题意可知：当与圆相切（为切点）时，取到最大值， 此时，且， 则，可得，则， 因为点为直线上，则， 可得，整理可得，解得， 所以的取值范围为. （3）因为均在圆O上，且， 可知当且仅当是圆O的直径时，上述条件成立， 所以直线过定点. 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知圆的圆心在轴上，且圆经过点、． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆与轴正半轴的交点，直线交圆于、两点（点、异于点），若直线、的斜率之积为，直线是否过定点?如果过定点，请求出过定点坐标；如果不过，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【详解】（1）解：设圆心，由可得， 解得，圆的半径为， 因此，圆的方程为. （2）解：在圆的方程中，令，可得，解得，即点， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， ，整理可得， 由韦达定理可得，， ，， 由题意可得， 整理可得， 所以，， 因为直线不过点，则， 所以，，整理可得， 此时，直线的方程可化为， 则直线过定点；    当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则， 联立，解得， 取点、， 所以，，解得，不合乎题意，舍去. 综上所述，直线恒过定点. 5．（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，圆过，，三点，证明：圆恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设曲线上一点坐标为，由已知得， 化简可得， 即曲线的轨迹方程为.. （2）如图所示： 由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆， 过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，， 则，，所以四点共圆， 即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为． 设，则，的中点为，， 所以圆的方程为， 即． 将变形，得， 所以，解得或， 所以圆恒过定点和． 6．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为， 故圆C的标准方程为； （2），所以直线，点，， 设点，，， 所以，，所以， 又，，所以 又E，F在圆C上，所以，， 消去，可得①， 当EF斜率存在时设直线EF的方程为， 联立， 消元y可得， 则， 可代入①，得， 解得或， 当时，直线恒过， 当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去， 直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去）， 综上：直线EF过点成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以圆为背景的定点问题提升讲义 以圆为背景的定点问题提升讲义 考点目录 直线过定点问题 以圆为背景的直线过定点问题：设直线法 以圆为背景的直线过定点问题：设点法 以圆为背景的直线过定点问题：公共弦法 圆过定点问题 考点一 直线过定点问题 【知识点解析】 定点问题--解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中的参数)如何变化，直线和曲线都经过某一个定点 定点问题的两种解法:一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明.二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）无论为何值，直线过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知直线经过定点，则点的坐标为 . 6．（24-25高二上·海南海口·期中）直线过定点 ； 7．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 考点二 以圆为背景的直线过定点问题：设直线法 【知识点解析】 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 2. 以圆为背景的直线过定点问题：设直线法 （1）设所求直线为或，交点为，. （2）将所设直线与圆的方程联立，得到一个关于或的二次方程. （3）列出韦达定理. （4）翻译题目条件，将韦达定理代入. （5）化简得到与的关系或与的关系，代入原解析式，找出定点. （6）当设直线为时，需检验斜率不存在时是否成立；当设直线为时，需检验斜率为0时是否成立. 【例题分析】 1．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 3．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）已知圆经过三点． (1)求圆的方程． (2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）设，，，圆Q过A，B，D三个点. (1)求圆Q的方程； (2)设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 考点三 以圆为背景的直线过定点问题：设点法 【知识点解析】 1.以圆为背景的直线过定点问题：设点法 （1）设与所求直线相关的直线方程，联立得韦达定理. （2）翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标. （4）用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点. 【例题分析】 1．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是圆O：上的两个动点，P是弦AB的中点，且； (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线τ，若C，D是曲线τ与x轴的交点，E为直线l：上的动点，直线CE，DE与曲线τ的另一个交点分别为M，N，判断直线MN是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）在△ABC中，已知，，且． (1)求顶点C的轨迹E的方程； (2)曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线上一点，连TP，TQ分别与E交于M，N两点（异于P，Q两点），试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由． 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上. (1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程； (2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标. 考点四 以圆为背景的直线过定点问题：公共弦法 【知识点解析】 1.以圆为背景的直线过定点问题：公共弦法 过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点. （1）求出以、中点为圆心，为半径的的方程. （2）根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程. （3）令直线方程中参数项的自变量为，解方程得定点. 【例题分析】 1．（25-26高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 2．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； (3)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 3．（24-25高二上·海南·阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距离之比为（且）的点P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.已知两定点，，若动点P满足，动点P轨迹为圆C. (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l与圆C交于D、E两点，若弦长，求直线l的方程； (3)若Q是x轴上的动点，，与圆C相切，切点分别为F，G，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标：若不是，请说明理由. 4．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 考点五 圆过定点问题 【知识点解析】 类型 处理思路 圆过定点 思路一：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.或者整理出圆的方程，参变分离，令参数所乘因式部分为0，联立方程求解可得定点. 思路二：参变分离，设圆的方程，翻译条件消元，原方程化为的形式，进而令且，解方程组求得定点. 【例题分析】 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆.. (1)证明：圆C过定点； (2)当时，若直线.与圆C交于M，N两点，且，其中O为坐标原点，求k的取值范围. 3．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B. (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)在（1）的条件下，若点P在y轴右侧，求出对应的直线AB的方程； (3)若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由. 4．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知曲线C上任意一点到点的距离与到点的距离之比为． (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，若圆过，，三点，证明圆恒过定点，并求出所有定点的坐标． 课后提升训练 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为． (1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程； (2)若，求证：直线恒过定点． 2．（23-24高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 3．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知圆：与直线相切． (1)求出； (2)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围； (3)若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知圆的圆心在轴上，且圆经过点、． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆与轴正半轴的交点，直线交圆于、两点（点、异于点），若直线、的斜率之积为，直线是否过定点?如果过定点，请求出过定点坐标；如果不过，请说明理由． 5．（24-25高二上·贵州黔西·阶段练习）已知曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，圆过，，三点，证明：圆恒过定点. 6．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $