专题06 实数的初步认识章末易错必刷题型专训（51题17个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题06 实数的初步认识章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 无理数】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）实数，0， ，中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在实数，3.14，0，中，无理数有 个． 3．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）已知，试判断是有理数还是无理数． 【易错必刷二 实数的分类】 4．（24-25八年级上·江苏常州·开学考试）在实数，，，，，，，中，分数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）把下列各数填在相应的横线上： ， 0，， ，，， ，， ， 6%，   正数： ． 负分数： ． 非负整数： ．  6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）把下列各数填入相应的集合内： （两个1之间依次多一个0） (1)整数集合{_________}； (2)无理数集合{_________}． 【易错必刷三 实数的性质】 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）的相反数是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ； 9．（24-25八年级上·江苏盐城·课后作业）写出下列各数的相反数：﹣，π﹣3.14，． 【易错必刷四 求一个数的算术平方根】 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）36的算术平方根是（   ） A． B．6 C． D． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·课前预习）填空： （1）4的算术平方根是 （2）的算术平方根是 ； （3）0.01的算术平方根是 ； （4）3的算术平方根是 ； （5）的算术平方根是 ； （6）的算术平方根是 ； （7）的值是 ． 12．（24-25八年级上·江苏·期末）计算：． 【易错必刷五 求一个数的平方根】 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 14．（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）若一个分数的平方等于，则这个分数为 ． 15．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知，求的平方根． 【易错必刷六 求一个数的立方根】 16．（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）的立方根是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知正数x的两个平方根分别是和． (1)求a与x的值． (2)求的立方根． 【易错必刷七 无理数及其大小估算】 19．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）估计的值在（   ） A．15和16之间 B．16和17之间 C．17和18之间 D．18和19之间 20．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知n为正整数，且，写出一个满足条件的n的值 ． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)5与． 【易错必刷八 实数大小比较】 22．（25-26八年级上·江苏扬州·课后作业）在1.414，0，，2这四个实数中，最大的数是（   ） A．0 B． C．2 D．1.414 23．（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）比较下列实数的大小（填“”或“”）： （1） ； （2） ． 24．（24-25八年级上·江苏徐州·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)和； (2)和． 【易错必刷九 算术平方根的非负性】 25．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）若实数、满足，则的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或 26．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，则 27．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）已知，求的值． 【易错必刷十 实数与数轴】 28．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）如图，数轴上的无理数被挡住了，则数可能是(   ) A． B． C． D． 29．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ． 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【易错必刷十一 实数的新定义下运算】 31．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）定义新运算“”，，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）规定一种新运算：，那么 ． 33．（24-25八年级上·江苏徐州·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【易错必刷十二 实数运算相关的规律题】 34．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 35．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）找规律填空：0，，2，，，，，…， （第n个数）． 36．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【易错必刷十三 算数平方根有关的规律探索题】 37．（24-25八年级上·江苏常州·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则 ． 39．（24-25八年级上·江苏扬州·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 【易错必刷十四 与立方根有关的规律探索题】 40．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·江苏扬州·周测）（1）已知，则 ， ； （2）已知，则 ， ． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【易错必刷十五 实数运算的实际应用】 43．（2025·江苏南京·模拟预测）a满足以下说法：①a是无理数；②；③是整数．那么a可能是（ ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 45．（24-25八年级上·福建厦门·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【易错必刷十六 立方根的实际应用】 46．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长变为原来的（   ）倍 A．2 B． C． D．8 47．（24-25八年级上·江苏常州·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 48．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【易错必刷十七 算术平方根与立方根的综合应用】 49．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）若一个正数的平方根是和n，n的立方根是，则的算术平方根（    ） A．0 B．4 C． D． 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若一个正数的平方根是和，的立方根是﹣2，则的算术平方根是 ． 51．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 实数的初步认识章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 无理数】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）实数，0， ，中，无理数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】有理数：，0，；无理数：. 故选：C. 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在实数，3.14，0，中，无理数有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是明确无理数的三种形式． 先明确无理数的定义，再据此对题目中给出的数进行逐一判断． 【详解】解：是开方开不尽的数，属于无理数． 3.14是有限小数，不是无理数． 0是整数，不是无理数． ，是整数，不是无理数． 所以，无理数只有，共1个． 故答案为：1． 3．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）已知，试判断是有理数还是无理数． 【答案】是无理数 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，无理数，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，且 ， ，故是无理数． 【易错必刷二 实数的分类】 4．（24-25八年级上·江苏常州·开学考试）在实数，，，，，，，中，分数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了实数的分类，掌握分数的意义是解题的关键． 计算立方根后，根据分数的意义“分数是一个整数和一个正整数的不等于整数的比，即．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于分数的范畴；而无限不循环小数不属于分数．” 进行判断即可． 【详解】解：实数，，，，，，，中， 分数有，，，，共4个， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）把下列各数填在相应的横线上： ， 0，， ，，， ，， ， 6%，   正数： ． 负分数： ． 非负整数： ． 【答案】 ，， ， ，，6%， ， 0， 【分析】根据正数、负分数、非负整数逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 正数：，， ， ，，6%，  ； 负分数：，； 非负整数：0， 故答案为：正数：，， ， ，，6%，  ；负分数：，；非负整数：0，． 【点睛】本题考查正数、负分数、非负整数的概念，解题关键是熟知几个定义用定义进行判断． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）把下列各数填入相应的集合内： （两个1之间依次多一个0） (1)整数集合{_________}； (2)无理数集合{_________}． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类，是解题的关键： （1）根据整数包括正整数，负整数和零，进行作答即可； （2）根据无理数是无限不循环小数，进行作答即可。 【详解】（1）解：整数集合{}； （2）无理数集合{} 【易错必刷三 实数的性质】 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数的相反数，掌握相反数的概念是解题的关键．直接根据相反数的概念求值即可． 【详解】的相反数是． 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ； 【答案】 【分析】根据相反数和绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，数值相反数和绝对值的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·课后作业）写出下列各数的相反数：﹣，π﹣3.14，． 【答案】， 3.14-π，- 【分析】根据相反数的概念逐一进行分析求解即可得答案． 【详解】解：﹣的相反数是，π﹣3.14的相反数是3.14-π， 的相反数是-． 【点睛】本题考查了相反数的概念，熟练掌握相反数的概念是解题的关键，相反数是只有符号不同的两个数，特别地，0的相反数是0． 【易错必刷四 求一个数的算术平方根】 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）36的算术平方根是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：36的算术平方根是6． 故选：B． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·课前预习）填空： （1）4的算术平方根是 （2）的算术平方根是 ； （3）0.01的算术平方根是 ； （4）3的算术平方根是 ； （5）的算术平方根是 ； （6）的算术平方根是 ； （7）的值是 ． 【答案】 2 0.1 【分析】本题主要考查了求算术平方根，正确利用算术平方根的意义解答是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用算术平方根的意义解答即可； （3）利用算术平方根的意义解答即可； （4）利用算术平方根的意义解答即可； （5）利用算术平方根的意义解答即可； （6）利用算术平方根的意义解答即可； （7）利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：（1）4的算术平方根是2， 故答案为：2； （2）的算术平方根是， 故答案为：； （3）0.01的算术平方根是0.1， 故答案为：0.1； （4）3的算术平方根是， 故答案为：； （5）的算术平方根是， 故答案为：； （6）的算术平方根是， 故答案为：； （7）∵， ∴的值是； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算算术平方根，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷五 求一个数的平方根】 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）若一个分数的平方等于，则这个分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 利用平方根定义计算即可确定出这个数． 【详解】解：∵一个分数的平方等于， ∴这个分数为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了实数的非负数的性质，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，确定a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得： ， ∴， ∴的平方根为． 【易错必刷六 求一个数的立方根】 16．（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 首先计算，然后根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：， 12的立方根是． 故选：B． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知正数x的两个平方根分别是和． (1)求a与x的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根，熟练掌握正数有两个平方根且互为相反数是解题的关键． （1）根据平方根的性质，可得和互为相反数，故，然后进行计算即可解答； （2）由（1）知的值，代入计算，再求立方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 所以， 所以； （2）解：由（1）知， 则， 因为， 所以的立方根为． 【易错必刷七 无理数及其大小估算】 19．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）估计的值在（   ） A．15和16之间 B．16和17之间 C．17和18之间 D．18和19之间 【答案】D 【分析】此题考查无理数的估算，先确定，再利用不等式的性质得到即可 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 故选：D 20．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）已知n为正整数，且，写出一个满足条件的n的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，无理数大小的估算．利用二次根式的性质结合题意得，据此即可求解． 【详解】解：∵，为正整数， ∴， ∴的值可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)5与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，无理数的估算． （1）根据，即可得出答案； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【易错必刷八 实数大小比较】 22．（25-26八年级上·江苏扬州·课后作业）在1.414，0，，2这四个实数中，最大的数是（   ） A．0 B． C．2 D．1.414 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．按照从小到大的顺序将已知数排列即可确定最大的数． 【详解】解：， 最大的数是． 故选：C ． 23．（25-26八年级上·江苏扬州·随堂练习）比较下列实数的大小（填“”或“”）： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据题意得出，然后估算求解即可； （2）先比较，的大小关系，再比较，即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∴ ， 即． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江苏徐州·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比较实数的大小，熟练掌握比较两个实数大小的方法是解答此题的关键． （1）根据，即可比较大小； （2）根据，即可比较大小． 【详解】（1），， ． （2）， ， ． 【易错必刷九 算术平方根的非负性】 25．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）若实数、满足，则的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由非负数的性质可知，均为非负数，它们的和为0时，必须各自为0,由此可解出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，或 则或， 故选：D 26．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，则 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性得到，求出，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根非负数的性质，代数式求值， 依据算术平方根的非负性可得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ． 【易错必刷十 实数与数轴】 28．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）如图，数轴上的无理数被挡住了，则数可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据a的位置估算选项中的无理数的大小，即可求解．数轴上的无理数的取值范围为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴1，23， ∵数轴上的无理数的取值范围为， ∴a， 故选：A． 29．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 先估算的值，即可判断表示实数在数轴上的位置． 【详解】解：∵， ， ∴在数轴上表示实数的点可能是点． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【答案】 【分析】本题考查实数和数轴，实数的混合运算，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 【易错必刷十一 实数的新定义下运算】 31．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）定义新运算“”，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，乘方，求算术平方根，理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义运算的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 32．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）规定一种新运算：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和新定义，利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·江苏徐州·单元测试）对于任意非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确应用分数的性质将原式变形是解题关键． 根据题意将原式变形，进而根据分式的性质化简得出答案． 【详解】解： ． 【易错必刷十二 实数运算相关的规律题】 34．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过观察发现规律，每三个数为一个循环组依次循环，第排有个数，根据此规律求解即可． 【详解】， 表示的数是1， 表示的数是， 同理， 表示的数是1， ． 故选B． 【点睛】本题考查了实数的计算，数字类型的找规律，找到规律是解题的关键． 35．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）找规律填空：0，，2，，，，，…， （第n个数）． 【答案】 【分析】除第一个数外，其他数变成二次根式后，根号下面的数都是2的倍数，第二个数为2的1倍，第三个数为2的2倍，依此类推，第n个数为2的倍，从而得出答案． 【详解】解：由题意得：由题意得： 第一项：； 第二项：； 第三项：； 第四项：； …… 第n项：. 故答案是：． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是发现题目中数据的变化规律，要熟练掌握． 36．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 【易错必刷十三 算数平方根有关的规律探索题】 37．（24-25八年级上·江苏常州·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化类，算术平方根，准确找出代数式的排列规律是解题的关键． 根据代数式的系数、字母的指数的规律即可得出第个代数式． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 38．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，正确得到算术平方根与被开方数的关系是解题的关键．观察发现：被开方数70到7000，小数点向右移动了2位，相应的算术平方根的小数点向右移动1位，据此解答． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 39．（24-25八年级上·江苏扬州·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 【答案】（且n为整数） 【分析】根据题目中给出的三个等式，即可得出第n个等式是（且n为整数）. 【详解】解：∵第一个等式是， 第二个等式是， 第三个等式是， 第四个等式是， ……， ∴第n个等式是（且n为整数）. 【点睛】本题考查了与算术平方根有关的等式变形，正确理解题意、归纳出第n个等式是关键. 【易错必刷十四 与立方根有关的规律探索题】 40．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的概念与性质逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故原选项正确，符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：A． 41．（24-25八年级上·江苏扬州·周测）（1）已知，则 ， ； （2）已知，则 ， ． 【答案】 0.2646 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握求一个数的平方根和立方根的方法是解决本题的关键．根据平方根和立方根的性质求解即可判断． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：0.2646；26.46； （2）∵， ∴， ， 故答案为：6.69，14.42． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 【易错必刷十五 实数运算的实际应用】 43．（2025·江苏南京·模拟预测）a满足以下说法：①a是无理数；②；③是整数．那么a可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了估算无理数的大小、无理数的定义、实数的运算等知识，先根据无理数定义判断C、D，再由；③是整数判断A、B，得到答案． 【详解】解：∵a是无理数，、是有理数， ∴a不可能是、， ∵，，、都是无理数， ∴满足①a是无理数；③是整数． ∵、，， ∴a可能是． 故选：A． 44．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）元旦期间某商场推出“每满100元减50元”的活动(比如：某顾客购物230元，他只需付款130元)，商场会员则享受“先打9折，再每满100元减50元”的优惠．张先生是商场会员，想购买一件标价320元的上衣，他最低付款 元． 【答案】188 【分析】先计算会员优惠，得到会员享受会员优惠后的价格，再计算满减优惠即可． 【详解】（元） 故可享受两次“每满100元减50元”的活动 （元） 故答案为：188． 【点睛】本题考查了销售价格的问题，掌握题意的优惠方案是解题的关键． 45．（24-25八年级上·福建厦门·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析 【分析】（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数； （2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断． 【详解】解：（1）①∵2-3=（﹣1）， ∴3与﹣1是关于1的平衡数； ②∵ ∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数． 故答案为：﹣1；x﹣2； （2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4， b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2， a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2． 因此，a与b不是关于1的平衡数． 【点睛】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键． 【易错必刷十六 立方根的实际应用】 46．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长变为原来的（   ）倍 A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了立方根：若一个数的立方等于、那么这个数叫的立方根，记作．也考查了正方体的体积公式． 由于正方体的体积等于棱长的立方，根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：当正方体的体积扩大为原来的8倍时， 则它的棱长变为原来的倍，即2倍； 故选：A． 47．（24-25八年级上·江苏常州·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·江苏扬州·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 【易错必刷十七 算术平方根与立方根的综合应用】 49．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）若一个正数的平方根是和n，n的立方根是，则的算术平方根（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和n， ∴， ∵n的立方根是， ∴， ∴，， ∴，16的算术平方根为4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值． 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若一个正数的平方根是和，的立方根是﹣2，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m+9，求出这个值的算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15， ∴m+3+2m-15=0， 解得：m=4， ∵n的立方根是-2， ∴n=-8， 把m=4，n=-8代入-n+2m+9=8+8+9=25， 所以-n+2m+9的算术平方根是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值，然后再求-n+2m+9的算术平方根． 51．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． （1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出3a−b+c的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）当时， ∴， ∴的平方根是． 当时， ∴， ∴的平方根是． 综上所述，的平方根是或． 学科网（北京）股份有限公司 $