专题05 实数的初步认识章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题05 实数的初步认识章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 平方根、立方根的规律探究 题型四 算术平方根与平方根的实际综合应用 题型五 立方根的实际综合应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： (1)如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． (2)如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 7．（2025八年级上·江苏·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． (1)求图1中第8行第5个数是__________； (2)求图1中前100行所有的数字之和； (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 10．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性． 纸是生活中最常用的纸张规格．A号纸家族还包括了等规格的纸张，并且A后面的数字代表纸张可以对折的次数，1张纸对裁后可以得到2张纸，1张纸对裁可以得到2张纸，依此类推．你是否研究过它们的长和宽的尺寸有什么规律呢？ 【数据查询】 查阅资料将下列常用纸张的规格填入表格，并计算长与宽的比值． 纸张规格 长 宽 长与宽的比值 【问题探究】观察上表，你有什么发现，各规格纸张的长与宽的比值有什么关系？ 【深入探究】 纸张面积是纸张面积的________倍（精确到整数），纸张周长是纸张周长________倍； 【动手操作】 请你分别找三张不同大小的纸张，动手测量一下它们的长与宽，看看他们是否也有类似的关系． 【经典例题二 实数的新定义运算】 11．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种新运算，规律如下： (1)请你想一想：_____． (2)请计算：______ (3)若，请计算的值． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的定义新法则，计算下列问题 对于实数，我们定义的意义为，当时，，当时，，当时， 例如：， (1)求的值 (2)求的值 16．（24-25八年级上·江苏·周测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题： ，，， (1)想一想： _________； (2)若，那么______（填“＝”或“≠”）； (3)计算和，并判断它们是否相等． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题． 1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙3＝　 　． 请你想一想： （1）a⊙b＝　 　； （2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填入“＝”或“≠”）． （3）计算：﹣5⊙（﹣4⊙3）． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为　　　，的“青一区间”为　　　； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 19．（24-25八年级上·福建厦门·期末）借助有理数的运算，对任意有理数，，定义一种新运算“”规则如下：例如，． （1）求的值； （2）我们知道有理数加法运算具有交换律和结合律，请你探究这种新运算“”是否也具有交换律和结合律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明． 20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：60，51，66中，“互异数”为_______；_______． (2)如果“互异数”b满足，求出所有“互异数”b的值． (3)如果m，n都是“互异数”，且，求的值． 【经典例题三 平方根、立方根的规律探究】 21．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）一组实数按下列规律排列： 1；；；2；；；    第1行 ；3；；；；；    第2行 ；4；；；；    ；    第3行 …… 根据这个规律解答以下问题： （1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______； （2）实数排在第几行第几列？并说明理由． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； (3)，其中是整数，且1，求的相反数． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ； … 解决下列问题： (1)请在横线上写出等号右边的数； (2)请写出符合上述规律的第4个等式； (3)请写出符合上述规律的第n(n为正整数)个等式，并说明理由． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①； ②； ③； ④； … (1)计算：______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 26．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 27．（24-25八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 28．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 30．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中． (1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整； 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (2)请你仿照表中的规律，将表补充完整． 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现． （提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果）． 【经典例题四 平方根的实际综合应用】 31．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知． (1)如果x的算术平方根为4，求a的值； (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 32．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是，求原正方形铁皮的边长． 33．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 34．（24-25八年级上·江苏常州·期中）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)272.25的平方根是______ (2)=______，=______，=______ (3)设的整数部分为a，求-4a的立方根． 35．（24-25八年级上·福建福州·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“绝美负整数组”． 例如，对于，，这三个数，由于，，，又18，6，9都是整数，所以，，这三个数是一组“绝美负整数组”． (1)，，这三个数是一组“绝美负整数组”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是一组“绝美负整数组”，且其中有两个数乘积的算术平方根为6，求m的值． 36．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 37．（24-25八年级上·徐州·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 38．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，所以，即． 小明：．这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当时，和之间的数量关系：_______（填“相等”或“不相等”）； (2)运用以上结论，计算：①；②（写出必要的过程与计算结果）； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 40．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6， （1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果） （2）求图中阴影部分的面积． （3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值． 【经典例题五 立方根的实际综合应用】 41．（24-25八年级上·江苏常州·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 42．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大． (1)求第二个纸盒的棱长； (2)第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大多少？ 43．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 44．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 45．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 46．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． 47．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 48．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 49．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，请你判断该纸片是否够用？若够用，求剩余的纸片的面积；若不够用，求缺少的纸片的面积． 50．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空） (2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数的初步认识章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 平方根、立方根的规律探究 题型四 算术平方根与平方根的实际综合应用 题型五 立方根的实际综合应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）设，，，…，依此规律，解答下列问题． （1） ； （2）计算的值为 ． 【答案】 （或） 【分析】本题考查了数字规律探索以及算术平方根的运算，解题的关键是找出的规律表达式．先通过观察已知的的表达式，找出的一般规律，再根据规律分别计算的值以及的值． 【详解】（1）解：； 可得规律． 当时，； （2）解：由可得： 其中1有10个， ． 故答案为：；（或）． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)请写出第④个等式：_________； (2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示） (3)根据上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键． （1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可； （2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可； （3）根据（2）中规律化简即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③ 根据以上规律可得第④个等式是：． （2）解：根据以上规律可得第n个等式是：． （3）解： ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： (1)如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． (2)如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键． （1）根据，即，可得； （2）根据，再求出，由此即可得，的值． 【详解】（1）解：，即， ， ； 故答案为：； （2）解：，即， ， 是的小数部分，是的整数部分， ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)5；2 (2)1 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键． （1）根据题目先判断及整数部分，再根据加减法即可得结果； （2）根据无理数的整数部分把小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；2； （2）解： ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 5．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 7．（2025八年级上·江苏·专题练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1． (1)求图1中第8行第5个数是__________； (2)求图1中前100行所有的数字之和； (3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】(1)35 (2) (3) 【分析】本题主要考查数字规律计算和有理数混合运算， （1）根据规律知第8行第5个数为第7行第4个数字和第5个数字之和； （2）根据规律的第n行数字之和，前100行所有的数字之和为，记，，则； （3）由题意可得，则，使用裂项即可求得答． 【详解】（1）解：根据规律知第8行第5个数为； 故答案为：35； （2）由题知，第1行数字之和1， 第2行数字之和， 第3行数字之和， 第4行数字之和， 第100行中所有数字之和为， 所有数字之和， 记，， ； 前100行的数字之和为． （3）由题意可得：，，…… ， ， ． 10．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性． 纸是生活中最常用的纸张规格．A号纸家族还包括了等规格的纸张，并且A后面的数字代表纸张可以对折的次数，1张纸对裁后可以得到2张纸，1张纸对裁可以得到2张纸，依此类推．你是否研究过它们的长和宽的尺寸有什么规律呢？ 【数据查询】 查阅资料将下列常用纸张的规格填入表格，并计算长与宽的比值． 纸张规格 长 宽 长与宽的比值 【问题探究】观察上表，你有什么发现，各规格纸张的长与宽的比值有什么关系？ 【深入探究】 纸张面积是纸张面积的________倍（精确到整数），纸张周长是纸张周长________倍； 【动手操作】 请你分别找三张不同大小的纸张，动手测量一下它们的长与宽，看看他们是否也有类似的关系． 【答案】【数据查询】数据见详解； 【问题探究】各规格纸张的长与宽的比值为； 【深入探究】2，2； 【动手操作】此为开放性问题，答案不唯一．若测量的是标准A系列或B系列纸张，其长与宽的比值约等于． 【分析】此题考查了查资料． 数据查询：根据查资料进行解答即可； 问题探究：根据资料得到答案； 深入探究：根据相似的性质解答即可； 动手操作：通过测量发现他们的长与宽之比 【详解】查阅资料将下列常用纸张的规格填入表格，并计算长与宽的比值如下： 纸张规格 长 841 594 420 297 210 1000 707 500 353 250 宽 594 420 297 210 148 707 500 353 250 176 长与宽的比值 【问题探究】各规格纸张的长与宽的比值为． 【深入探究】纸张面积是纸张面积的2倍（精确到整数），纸张周长是纸张周长2倍； 【动手操作】此为开放性问题，答案不唯一．若测量的是标准A系列或B系列纸张，其长与宽的比值约等于． 【经典例题二 实数的新定义运算】 11．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种新运算，规律如下： (1)请你想一想：_____． (2)请计算：______ (3)若，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，根据题目已知示例总结出通用规则是解决本题的关键 （1）根据新定义运算的示例，找出运算规律为符号“”前的数字乘5，再减去符号“”后的数字，运算即可； （2）根据（1）中的结论计算即可； （3）先化简，得到，再用结论化简代入计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义的示例可知，， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， 故答案为：； （3）解：若可得， ， 则 ， ∵， ∴上式， ∴的值为9． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)-3 (2)1 【分析】（1）令代入新运算的定义式即可得解； （2）首先令可以求出的值，再令代入新运算的定义式可以求出答案． 【详解】（1）解：令可得： ； （2）解：由题意可得： = =1 ． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，找出具体问题中与新定义运算公式字母对应的数值是解题关键． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)3 (2) (3)不具有，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）先计算，再计算即可求解； （3）验证是否成立即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∵， ∴， ∴， 所以这种新运算“*”不具有交换律. 15．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下面的定义新法则，计算下列问题 对于实数，我们定义的意义为，当时，，当时，，当时， 例如：， (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)2023 (2)0 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算． （1）根据当时，求解即可． （2）根据当时，求解即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴ （2）∵当时， ∴ 16．（24-25八年级上·江苏·周测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题： ，，， (1)想一想： _________； (2)若，那么______（填“＝”或“≠”）； (3)计算和，并判断它们是否相等． 【答案】(1) (2) (3)，，不相等 【分析】（1）观察各式可知：； （2）分别表示出、，即可进行比较； （3）分别计算出、即可判断． 【详解】（1）解：观察各式可得：； 故答案为：； （2）解： ∵ ∴ 故答案为：； （3）解：， 即： ， 即： 故和不相等. 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了有理数的混合运算．注意掌握相关运算法则． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题． 1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙3＝　 　． 请你想一想： （1）a⊙b＝　 　； （2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填入“＝”或“≠”）． （3）计算：﹣5⊙（﹣4⊙3）． 【答案】（1）4a+b   （2）≠  （3）-33 【分析】根据：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24，可得：4⊙3＝4×4+3＝19． （1）根据所给的算式，可得：a⊙b＝4a+b； （2）若a≠b，根据：a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a，据此判断出它们的大小关系即可； （3）根据：a⊙b＝4a+b，求出﹣4⊙3的值是多少，进而求出﹣5⊙（﹣4⊙3）的值是多少即可． 【详解】解：∵1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24， ∴4⊙3＝4×4+3＝19． （1）a⊙b＝4a+b； （2）若a≠b， a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a， ∵（4a+b）﹣（4b+a）， ＝3a﹣3b， ≠0， ∴a⊙b≠b⊙a． （3）﹣5⊙（﹣4⊙3）， ＝﹣5⊙（﹣4×4+3）， ＝﹣5⊙（﹣13）， ＝﹣5×4+（﹣13）， ＝﹣20﹣13， ＝﹣33． 【点睛】本题主要考查了实数的新定义运算，准确分析计算是解题的关键． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为　　　，的“青一区间”为　　　； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“青一区间”的定义求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求解得出，结合题意即可得解； （3）先根据平方根的定义求出，再根据“青一区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为， ∴的“青一区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为， ∴，， ∴， ∵为正整数， ∴的值为或， ∴或； （3）解：∵实数，分别为一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 19．（24-25八年级上·福建厦门·期末）借助有理数的运算，对任意有理数，，定义一种新运算“”规则如下：例如，． （1）求的值； （2）我们知道有理数加法运算具有交换律和结合律，请你探究这种新运算“”是否也具有交换律和结合律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明． 【答案】（1）7；（2）具有交换律，不具有结合律，理由见详解 【分析】（1）根据题中定义的新运算，先求出中括号里的，然后用计算出来的结果再同4进行运算即可； （2）通过交换两个数的位置和三个数运算时先让两个数结合可以验证是否满足交换律及结合律． 【详解】（1） （2）这种新运算具有交换律，但不具有结合律，理由如下： ∵，， ∴ 不具有结合律，反例如下： 而 ∴ 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握新运算的运算法则是解题的关键． 20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：60，51，66中，“互异数”为_______；_______． (2)如果“互异数”b满足，求出所有“互异数”b的值． (3)如果m，n都是“互异数”，且，求的值． 【答案】(1)51；7 (2)所有“互异数”b的值为15，24，42，51 (3)19 【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义，可以判断两位数：60，51，66中，哪个数是“互异数”；再根据题意，可以计算出的值； （2）根据题目中“互异数”的定义，即可得到所有“互异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值． 【详解】（1）由“互异数”的定义可得，两位数：60，51，66中，“互异数”为51 故答案为：51；7； （2）设“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“互异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为15； 当时，，此时b的值为24； 当时，，此时b的值为42； 当时，，此时b的值为51． ∴所有“互异数”b的值为15，24，42，51； （3）∵m、n都是“互异数”，且 设，则 ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“互异数”． 【经典例题三 平方根、立方根的规律探究】 21．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）一组实数按下列规律排列： 1；；；2；；；    第1行 ；3；；；；；    第2行 ；4；；；；    ；    第3行 …… 根据这个规律解答以下问题： （1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______； （2）实数排在第几行第几列？并说明理由． 【答案】（1）；（2）第289行第5列 【分析】（1）观察可得每行有7个数字，分别是从1开始的连续自然数的算术平方根，据此可得； （2）计算2021与7的结果，根据余数判断即可． 【详解】解：（1）由题意可得： 第4行第1列所表示的实数是； （2）2021÷7=288…5， ∴排在第289行第5列． 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是根据已知数列总结出规律． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)的整数部分是______ ，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根； (3)，其中是整数，且1，求的相反数． 【答案】(1)4； (2) (3)12 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据解答即可； （2）根据得出，根据得出，再把的值代入计算即可； （3）根据得出，得出，求得，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵ ∴， ∴的小数部分， ∵ ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∵， ∴， ∴的相反数为． 23．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ； … 解决下列问题： (1)请在横线上写出等号右边的数； (2)请写出符合上述规律的第4个等式； (3)请写出符合上述规律的第n(n为正整数)个等式，并说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，多项式乘法及完全平方公式分解因式的应用，找到规律是关键； （1）直接计算即可； （2）根据前3个式子找到规律，即可写出第4个等式； （3）根据规律写出第n个等式，利用多项式乘法展开，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：第4个等式：； （3）解：． 理由如下： ∵， ∴． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①； ②； ③； ④； … (1)计算：______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1)8；12 (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律； （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为8；12； （2）解：∵①； ②； ③； ④； …… ∴； 故答案为； （3）解：由（2）可得： 原式． 26．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·江苏·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n（n为整数）时，＝　 　； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①≈　 　；②≈　 　． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可； （3）利用（2）得出的规律即可解答． 【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：． 故答案为． （2）解：当（n为整数）时，． 故答案为． （3）解：若，则①；②． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 28．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 29．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 30．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下表中． (1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整； 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (2)请你仿照表中的规律，将表补充完整． 表． 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ______ ______ ______ (3)通过表和表，你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现． （提示：如果没有思路，你可以先观察第组、第组、第组、第组中的被开方数和结果，再观察第组、第组、第组中的被开方数和结果）． 【答案】(1)；； (2)；； (3)被开方数的小数点向左或向右移动位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动位． 【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案 （2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果，可得出答案 （3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可 【详解】（1）解：根据题意，得． 故答案为：；；． （2）解：已知， ，． 已知， ． 故答案为：；；． （3）解：通过观察表和表可发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，算术平方根的小数点就随之向左或向右移动位． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是从表格中发现数字的规律． 【经典例题四 平方根的实际综合应用】 31．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知． (1)如果x的算术平方根为4，求a的值； (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据平方运算，可得，解一元一次方程，可得答案； （2）根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4， ∴， ∴． （2）∵，是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∵． ∴这个数是25． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，是解题的关键． 32．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，有一块正方形铁皮，从四个顶点处分别剪掉一个面积为的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的长方体容器，量得该容器的体积是，求原正方形铁皮的边长． 【答案】 【分析】设原来正方形的边长为，然后根据长方体容积公式列方程计算． 【详解】解：从四个顶点处分别剪掉一个面积为25的正方形， 剪掉的正方形边长为5， 设原来正方形的边长为， 由题意可得：， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 原来正方形的边长为16． 【点睛】本题考查平方根的实际应用，理解平方根的概念并掌握求一个长方体容积的方法准确列方程求解是解题关键． 33．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径是 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）把代入公式进行计算即可； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； 答：这场雷雨大约能持续； （2）当时，则：， ∴或（舍去）； 答：这场雷雨区域的直径是． 34．（24-25八年级上·江苏常州·期中）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)272.25的平方根是______ (2)=______，=______，=______ (3)设的整数部分为a，求-4a的立方根． 【答案】（1）±16.5；（2）16.1，167，1.62；（3）-4 【分析】（1）根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，即可求出结果； （2）根据图表和算术平均数的定义即可得出答案； （3）根据题意先求出a的值，再求出﹣4a的值，然后根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）272.25的平方根是：±16.5； 故答案为±16.5； （2）=16.1；=167；=1.62； 故答案为16.1，167，1.62； （3）∵＜， ∴16＜＜17， ∴a=16，﹣4a=﹣64， ∴﹣4a的立方根为﹣4． 【点睛】本题考查了算术平均数，掌握算术平方根的定义是本题的关键；算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 35．（24-25八年级上·福建福州·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“绝美负整数组”． 例如，对于，，这三个数，由于，，，又18，6，9都是整数，所以，，这三个数是一组“绝美负整数组”． (1)，，这三个数是一组“绝美负整数组”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是一组“绝美负整数组”，且其中有两个数乘积的算术平方根为6，求m的值． 【答案】(1)，，这三个数是一组“绝美负整数组”，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是一组“绝美负整数组”，理由如下， ，，， 都是整数， ，，这三个数是一组“绝美负整数组”； （2）解：当时，解得， ，，都是整数， 这三个数是一组“绝美负整数组”，符合题意； 当时，， 此时不满足三个互不相等的负整数，不符合题意， 的值为． 36．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 37．（24-25八年级上·徐州·阶段练习）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 38．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，所以，即． 小明：．这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当时，和之间的数量关系：_______（填“相等”或“不相等”）； (2)运用以上结论，计算：①；②（写出必要的过程与计算结果）； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)相等 (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算，再化简，即可作答；，再化简，即可作答； （3）长方形的面积等于长乘宽，进而列式求解即可． 【详解】（1）解：当，时，， 故答案为；相等； （2）解：； ， （3）解：根据题意得：长方形的面积为． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【答案】(1)小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒 (2)此时细线的长度是22.5米 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键． （1）直接把代入关系式，即可求出t的值． （2）直接把代入关系式，即可求出l的值． 【详解】（1）解：已知，当时， 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒． （2）解：当时， 答：此时细线的长度是22.5米． 40．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6， （1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果） （2）求图中阴影部分的面积． （3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值． 【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）；（3）4 【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间； （2）根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解； （3）根据小正方形边长为，估算出x和y的值，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6， ∴小正方形的边长为， ∵4＜6＜9， ∴2＜＜3， ∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近． （2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积， ∴阴影部分的面积＝． （3）∵小正方形的边长为， ∴x＝2，y＝， ∴原式＝， ＝4. 【点睛】本题主要考查二次根式运算的实际应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的运算法则. 【经典例题五 立方根的实际综合应用】 41．（24-25八年级上·江苏常州·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 42．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大． (1)求第二个纸盒的棱长； (2)第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大多少？ 【答案】(1)第二个纸盒的棱长为 (2)第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大 【分析】本题考查了立方根的应用，解题关键是掌握立方根的定义，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根． （1）根据正方体的体积等于棱长的立方求出第一个纸盒的体积，再求出第二个纸盒的体积，再利用立方根的定义即可求解； （2）先求出第一个纸盒的表面积，再求出第二个纸盒的表面积，相减即可． 【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为， ， ， 答：第二个纸盒的棱长为． （2）解：第一个纸盒的表面积为， 由前面可知第二个纸盒的棱长为， ∴第二个纸盒的表面积为， ∴ 答：第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大． 43．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 【答案】一个月造成的水流矢量至少是；这个水池至少挖深 【分析】此题考查了立方根， 熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 根据水龙头与抽水马桶浪费的水量之和计算即可；设底面半径为，水池深，根据圆柱体体积公式列出方程，求出方程的解得到的值，即为所求． 【详解】解：根据题意得：， 一个月造成的水流矢量至少是； 设底面半径为，则水池深， 根据题意得：，即， ， 解得：． 则这个水池至少深． 44．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是 (2)这个大长方体木块的表面积是 【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键． （1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可； （2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可 【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是， ∴每个小正方体木块的体积是 ∴每个小正方体木块的棱长是： 答：每个小正方体木块的棱长是． （2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是， ∴这个大长方体木块的表面积是： 答：这个大长方体木块的表面积是． 45．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 46．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）阅读理解，观察下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④； …… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ． (2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（或互为相反数） 【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可； （2）观察规律，若，则； 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律， 若，则， 故答案为：（或a，b互为相反数）； 【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键． 47．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)正方体铁块的棱长为厘米 (2)长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米 【分析】本题考查立方根和算式平方根的实际应用： （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积公式求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，该正方体铁块的棱长为厘米； 答：正方体铁块的棱长为厘米； （2）由题意，长方体的体积为：立方厘米， ∴长方体的底面面积为：平分厘米， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米． 答：长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米． 48．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 49．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为的正方体，请你判断该纸片是否够用？若够用，求剩余的纸片的面积；若不够用，求缺少的纸片的面积． 【答案】(1)正方形纸板的边长为； (2)够用，剩余的正方形纸板的面积为． 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 即：正方形纸板的边长为； （2）解：依题意得：， 则剪切纸板的面积， 剩余纸板的面积， 即剩余的正方形纸板的面积为． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式． 50．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）王老师在《给数学学习插上想象的翅膀》的数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： (1)求的平方根； 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根；的平方根是________；（填空） (2)一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方根的定义可以求得； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立等式即可求解a，根据立方根的定义即可求解b，进而求解即可． 本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握求解一个数的平方根、立方根的计算方法． 【详解】（1）的平方根是±2； （2）∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $