专题04 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

第04讲 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．利用实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算：． 【答案】0 【分析】先根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解： ． ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算、单项式乘多项式、完全平方公式，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）先化简各式，再进行加减计算即可； （2）先算单项式乘单项式、去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）计算：， ， ， ； （2）计算：， ， ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．（1）分别根据乘方，算术平方根，立方根以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可；（2）分别根据绝对值的代数意义，负整数指数幂，零指数幂分别化简即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方和单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)10 (2)7 (3) (4) 【分析】（1）根据混合运算步骤，先省略加号，再同号相加即可得到结果； （2）根据乘法的分配律运用简便运算即可得到答案； （3）根据立方根和算术平方根以及二次根式的性质化简式子，再进行计算即可得到答案； （4）根据立方根、算术平方根和取绝对值得到答案即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的四则混合运算，立方根，算术平方根和二次根式的计算，解决此题的关键是正确的计算． 7．（2025八年级上·江苏宿迁·模拟预测）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先分别计算各项后，再进行加减运算即可． （2）原式先计算乘法和化简绝对值，再合并即可； （3）原式先化简算术平方根、立方根和乘方计算后，再进行加减运算即可； （4）原式先分别计算各项后，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）如图，在数轴上点A、B、C所表示的实数分别为x，1，，且A到B的距离等于B到C的距离． (1)求出实数x的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数和数轴，通过两点之间的距离求点表示的数，绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． （1）利用平移的性质确定点的坐标； （2）代入后根据取绝对值的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：到的距离等于到的距离， ， 解得． （2）解：将代入中得， 原式． 9．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)整数部分是4，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，则可得，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)，24． (2)18 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）当时，，据此计算即可； （2）根据当时，，计算即可． 【详解】（1）解：当时，； ∴． （2）解∵长方形的宽为，长为， ∴这个长方形的面积为 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）求方程中x的值： 【答案】 【分析】本题考查的是根据平方根的意义解方程，先移项，再系数化为1，最后根据平方根的意义解出即可． 【详解】解：， ， ． 12．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根的性质，平方根解方程，掌握平方根的概念及计算是解题的关键． （1）根据平方根的性质得到，解方程即可求解； （2）把代入，由平方根的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； （2）解：由（1）知，则， ∴， 解得，， ∴． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算和解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）计算和解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查零次幂的含义，算术平方根的含义，开方法解方程的综合． （1）先计算乘方，零次幂，算术平方根，再合并即可求解； （2）根据直接开方法解方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 直接开方得， 移项，， ∴，， ∴原方程的解为，． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）计算或求的值． (1)计算： (2)计算： (3)求的值：； (4)求的值： ． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，平方根与立方根定义，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据实数的加法运算法则进行计算即可； （2）先化简绝对值，根据实数的加减运算法则进行计算即可； （3）根据平方根定义解方程即可求解； （4）根据立方根定义解方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ∴， 解得：或； （4）解：， ∴， ∴， 解得：． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．根据上述平方根的意义，试求方程的解． 【答案】或． 【分析】本题考查平方根及应用，由平方根的知识可得，从而求出方程的解． 【详解】解： 开平方，得 解得或． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 【答案】（1）5；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的概念计算即可； （2）运用平方根的概念解方程； （3）运用立方根的概念解方程； （4）根据数轴确定的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即可． 【详解】（1） ． （2）， ， ， 或， 解得． （3）， ， ， ， 解得． （4）由数轴可知，， ， ． 19．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 【答案】(1)3，1 (2)见解析 (3)2或 【分析】本题考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据偶次方的非负性即可得证； （3）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据最小值可得，利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解： ， 所以， 故答案为：3，1． （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论取何值，代数式的值都是负数． （3）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 又∵代数式的最小值为3， ∴， 解得或． 20．（2025八年级上·江苏·专题练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：， (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定，请你计算：当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义化简，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式； （2）解：，即， ， 则原式． 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）（1）计算∶ （2）已知：，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查立方根，平方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用立方根，算术平方根的性质计算即可； （2）先将方程变形为，再利用平方根的性质计算即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ． 22．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求下列各式中的x的值∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算或解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或； (4) 【分析】本题考查实数的混合运算及根据平方根和立方根解方程． （1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据绝对值、算术平方根、立方根进行计算即可； （3）根据平方根的定义进行解方程即可； （4）根据立方根的定义进行解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由，得： 或 解得：或； 方程的解为或； （4）解：由，得： ． 24．（24-25八年级上·江苏常州·期末）计算下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算（含乘方、开方、绝对值）和二元一次方程组的解法．解题的关键是掌握实数运算的顺序和换元法简化方程组求解． （1）按 “先乘方开方，再加减” 的顺序计算，注意符号和绝对值的化简； （2）将方程组简化，然后用加减消元法求得方程组的解． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 由①可得：③， 由②可得：④， ③④，可得，解得， 把代入③，可得，解得， ∴原方程组的解是 25．（24-25八年级上·江苏南京·期中）利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 26．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算及解方程 (1)计算：． (2)求x的值： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了实数的运算， （1）利用立方根的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质计算即可； （2）①利用平方根的性质解方程即可； ②利用立方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：①， 整理得， 开方得； ②， 整理得， 开方得， 解得． 27．（24-25八年级上·江苏南京·期中）计算和解方程 （1）计算： （2）3x2 = 30 ，求 x 的值； （3）（x-2）3+27=0 ，求 x 的值． 【答案】（1）；（2）；（3）-1． 【分析】（1）先化简绝对值，再算加减即可； （2）根据平方根的意义求解即可； （3）根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：（1）原式= 1 =； （2）∵3x2 = 30 ， ∴x2 10， ∴x=； （3）∵ ， ∴x -2 =-3， ∴x =-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的化简，利用平方根和立方根的意义解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 28．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知2既是的平方根，也是的立方根，解关于的方程． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义列出方程求得，的值，代入方程，根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：是的平方根， ， ， 是的立方根， ，即， ， 原方程可变为， ， ， 解得：或． 29．（25-26八年级上·江苏泰州宁·阶段练习）（1）计算： ①； ②； ③； ④； （2）求下列各式中的值： ①； ②． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）①或；②． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练运用相关运算法则和公式进行计算． （1）①先计算负指数幂和绝对值，再进行加减计算即可． ②根据二次根式的混合运算法则求解即可； ③先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； ④根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解.； （2）①利用平方根的定义解方程即可． ②先去分母，再直接开立方即可求解． 【详解】（1）①解： ． ②解： ； ③解： ； ④解： ； （2）①解：， ∴或， ∴或． ②解： ， 即， 解得． 30．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的定义 （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数可得的值，将的值代入中，可得正数的值； （2）根据立方根的定义解方程即可； 掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴ ∴这个正数为； （2）把代入，得： ， ∴， ∴． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 31．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1,,,…,,,如果从1开始选出若干个数,使它们的和大于3,那么至少需要选几个数? 【答案】至少要5个数和大于3. 【分析】通过实数的分母有理化对每项化简，再根据计算器，可得每个数的值，根据有理数的加法求出大于3时，即可得答案． 【详解】左边第一个数是1,第二个是=≈0.71,前两项和为1.71；第三个数是=≈0.56,前三项和为2.27第四个数是==0.5,前四个数的和为2.77；第五个数是=≈0.44,前五个数的和为3.21满足条件；所以可以把这些数加起来,至少要5个数和才大于3. 【点睛】本题属于探究类题型，主要是考察实数的化简和对计算器的使用，难度一般. 32．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）请用“”、“”、“”填空： ①______；    ②______ ③______；    ④______ （2）观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含a，b的式子表示你发现的规律； （3）运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）见解析 【分析】（1）①通过计算可比较两个算式的大小； ②通过计算可比较两个算式的大小； ③通过计算可比较两个算式的大小； ④通过计算可比较两个算式的大小； （2）由于，所以； （3）证明结论时根据完全平方的计算结果是非负数证明即可． 【详解】解：①∵， ∴； 故答案为：， ②． 故答案为：． ③，， ∴， 故答案为：， ④，， 故答案为：． （2）观察以上各式，任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍，即它们的规律为； （3）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变形：因为，所以． 33．（2025八年级上·江苏·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 34．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 【答案】(1)， (2)（n为正整数），见解析 【分析】（1）根据前3个等式反映的规律解答即可； （2）利用（1）的解答可得规律：，然后利用算术平方根的定义证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为； 第3个等式为：； 所以猜想第4个等式为：； ……， 第9个等式为：，即； 故答案为：，； （2）第个等式所反映的规律为：； 证明：∵n为正整数，； ∴（n为正整数）． 【点睛】本题考查了算术平方根的运算和规律问题，正确得出规律是解题关键． 35．（2025·江苏苏州·模拟预测）观察下列关于自然数的等式：      ①     ②    ③    ④ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第五个等式：________________； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题目中前三个等式的规律特征，可写出第五个等式； （2）根据题目所给等式的规律，左边为两个相间1的整数的积与1的好，右边是一个完全平方数，可得出第n个等式，再对所得等式进行化简，可证明其正确性． 【详解】（1）解：由题知， 第五个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为:． 证明：左边： ， 右边， 左边=右边． ∴． 【点睛】观察并发现本题实数计算中存在的规律是解题的关键． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　 　；⑤1+3+5+7+9＝52；… （2）请写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算21+23+25+…+99． 【答案】（1）1+3+5+7＝42；（2）1+3+…+（2n﹣1）＝n2；（3）2400． 【分析】（1）根据题中给出的四个例子，找到规律，即可写出第④个式子； （2）根据（1）中发现的规律即可得出答案； （3）将式子变形为，然后利用找到的规律即可解题. 【详解】解：（1）1+3+5+7＝16＝42． 故答案为：1+3+5+7＝42． （2）∵1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，1+3+5+7+9＝52，…， ∴1+3+…+（2n﹣1）＝n2． （3）21+23+25+…+99＝（1+3+…+99）﹣（1+3+…+19）＝502﹣102＝2400． 【点睛】本题为规律类试题，找到规律是解题的关键. 37．（2025·江苏·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式： 第3个等式：，第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2）.证明见解析. 【分析】依次观察每个等式，可以用发现规律． 【详解】解：（1）根据已知规律，得第5个等式左边式子中第一项的分子和第2项、第3项的分母均为6，第一项的分母和第2项的分子、第4项的分母均为5， 则第5个等式为： ， 故答案为； （2）根据题意，得第n个等式左边式子中第一项的分子和第2项、第3项的分母均为（n+1），第一项的分母和第2项的分子、第4项的分母均为n， 则第n个等式为： ； 证明如下：左边＝＝右边， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 38．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 39．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读下列解题过程： ； ； ； …… (1)计算：________； (2)按照你所发现的规律，猜想：_______；（n为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：依据上述运算的规律可得： ＝； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． 40．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求______； (2)根据表中规律，则_______； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根据表中的几个例子进行求解即可； （2）根据表中的几个例子我们可以总结出规律得到答案； （3）根据（2）所求进行求解即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，，，， ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【点睛】考查了实数运算规律，解题关键是由表中的例子得到规律和灵活运用其规律解题． 【经典计算题五 实数的新定义运算】 41．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）用“*”定义新运算：对于任意实数，，都有，例如：． 计算下列各式的结果：；． 【答案】， 【分析】根据新给出的定义，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴==； ==． 【点睛】本题属于新定义类计算，主要考查有理数的混合运算，代数式的化简等内容，理解定义，代入计算是本题计算基础． 42．（2025八年级上·江苏淮安·学业考试）规定一种运算：，例如，请你按照这种运算的规定，计算和的值． 【答案】； 【分析】根据新定义的运算以及含乘方的有理数的混合运算法则，即可求解． 【详解】=1×0.5-(-2)×(-3)= ； =(-1)2020×(-9)-1.25×1=(-9)-1.25=-10.25． 【点睛】本题主要考查新定义的运算，掌握含乘方的有理数的混合运算法则，是解题的关键． 43．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）计算：； （2）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据乘方、算术平方根以及绝对值的性质进行化简计算即可； （2）根据新定义，代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）依题意得： 【点睛】本题考查了实数的混合计算和新定义下的实数的运算；解题的关键是掌握实数的相关运算性质． 44．（24-25八年级上·江苏南京·期中）对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）∵ 又 故 （2）∵ 故 （3）∵ 故 【点睛】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． 45．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)请求出的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 46．（24-25八年级上·福建福州·期末）对、定义一种新运算：规定，这里等式右边是通常的四则运算．如. （1）求的值； （2）计算； （3）若，求的值. 【答案】（1）7；（2）-2k；（3） 【分析】（1）根据新定义的运算法则进行计算即可； （2）根据新定义的运算法则进行计算即可； （3）根据新定义的运算法则计算即可求得的值． 【详解】（1） ； （2） ； （3）， 整理得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 47．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加*键，再输入数，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)43 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可； （2）根据题目所给新定义的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：根据题意可得： ． 48．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题． 1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙3＝　 　． 请你想一想： （1）a⊙b＝　 　； （2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填入“＝”或“≠”）． （3）计算：﹣5⊙（﹣4⊙3）． 【答案】（1）4a+b   （2）≠  （3）-33 【分析】根据：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24，可得：4⊙3＝4×4+3＝19． （1）根据所给的算式，可得：a⊙b＝4a+b； （2）若a≠b，根据：a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a，据此判断出它们的大小关系即可； （3）根据：a⊙b＝4a+b，求出﹣4⊙3的值是多少，进而求出﹣5⊙（﹣4⊙3）的值是多少即可． 【详解】解：∵1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24， ∴4⊙3＝4×4+3＝19． （1）a⊙b＝4a+b； （2）若a≠b， a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a， ∵（4a+b）﹣（4b+a）， ＝3a﹣3b， ≠0， ∴a⊙b≠b⊙a． （3）﹣5⊙（﹣4⊙3）， ＝﹣5⊙（﹣4×4+3）， ＝﹣5⊙（﹣13）， ＝﹣5×4+（﹣13）， ＝﹣20﹣13， ＝﹣33． 【点睛】本题主要考查了实数的新定义运算，准确分析计算是解题的关键． 49．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，… (1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） (2)计算； (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，解题的关键是观察数字规律和熟练掌握实数的运算法则． （）根据题意中的运算，观察规律即可写出； （）由（）中求出的表达式，即可求出的值； （）由（）中求出的表达式，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，，，…， ∴， 故答案为：； （2）∵，，，，， ∴； （3）． 50．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为叫a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：_______，________． （2）若，写出满足题意的x的整数值______________． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．对100连续求根整数，______次之后结果为1． 【答案】（1）4，5；（2）1，2，3；（3）3 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知1≤x＜4，可得满足题意的x的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1． 【详解】解：（1）∵42=16， 52=25，62=36， ∴5＜＜6， ∴[]=[4]=4，[]=5， 故答案为：4，5； （2）∵12=1，22=4，且[]＝1， ∴1≤x＜4 ∵x为整数 ∴x=1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：[]=10， 第二次：[]=3， 第三次：[]=1， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 【经典计算题六 无理数的估算】 51．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知的小数部分为m，的小数部分是n，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ，， 则，， 那么． 53．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，计算a-2b的值. 【答案】15- 【详解】试题分析：先把进行估算，找到其整数部分和小数部分，再求得a-2b的值. 试题解析：∵25＜27＜36 ∴＜＜ 即5＜＜6 ∴a=5    b=-5 ∴a-2b=5-2(-5)= 15- 点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算.估算无理数大小要用逼近法.思维方法是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值. 54．（24-25八年级上·江苏苏州·假期作业）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 【答案】(1)不是有理数  理由见解析 (2)3 (3)3.2 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解． 【详解】（1）解：x不是有理数，理由如下： 由圆的面积公式可得， 所以， 因为没有一个整数或分数的平方等于10，所以x不是有理数； （2）由（1）知， 因为，， 所以， 所以x的整数部分是3； （3）因为，， 所以． 又因为，， 所以， 所以将x精确到十分位为3.2． 55．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提． （1）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （2）估算无理数的大小，根据题意确定x、y的值，代入计算后再求其相反数即可． 【详解】（1）∵， ∴的小数部分 又∵， ∴的整数部分， ∴； （2）∵ ∴ 又∵，其中x是整数，且， ∴， ∴ ∴的相反数是． 56．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据题意得到符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，结合无理数的估算方法即可求解； （2）根据题意，将原式分为，，，结合新定义的计算即可求解． 【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 57．（24-25八年级上·江苏南京·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 58．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读理解： ，即，的整数部分为2，小数部分为， ，的整数部分为1，的小数部分为． 解决问题：已知a是的整数部分，b是的小数部分． (1)求a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题主要考查无理数的估算以及实数的混合运算： （1）直接运用夹逼法求出的值既可； （2）把的值代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， （2）解：当时， ． 59．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)； (3)的值是． 【分析】本题考查了无理数的估算与运算． （1）先根据无理数的估算即可求解； （2）先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算，再根据整数性和求出x、y的值，再代入计算有理数的减法，然后根据相反数的定义即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：，， ，， 即，， 的小数部分为，即， 的整数部分为3，即， 则； （3）解：， ，即， ， ， 是整数，且 则的值是． 60．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)4 (2)28 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的值的大小是解题的关键． （1）估算出和的范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可； （2）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ． （2）解：， ． 是一个整数，， ， ， ∴原式． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 【答案】=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值；；5． 【分析】根据计算、观察，可得规律：． 【详解】解：=10，=10，=10.所得结果的幂指数等于被开方数的幂指数与根指数的比值． =5=5． 【点睛】本题考查了立方根，发现规律是解题关键． 62．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 【答案】(1) (2)；；143 (3) 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解表格信息是解本题的关键； （1）根据表格信息可得，从而可得答案； （2）根据表格信息可得，再结合算术平方根的规律变化可得答案； （3）根据表格信息可得，结合算术平方根的含义可得的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵由表可知：， ∴ ∴的平方根是． （2）∵， ∴， ， ； （3）∵， ∴， ∵的整数部分是m， ∴， ∴， ∴的值的平方根为． 63．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 【答案】(1)，，， (2)根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字 (3) 【分析】（1）用计算器逐个式子计算即可； （2）根据（1）的计算结果可总结规律根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）总结的规律即可直接得出答案，再利用计算器验算即可． 【详解】（1），，，． 故答案为：，，，； （2）根据（1）的计算结果可以得出：根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）所得规律可直接得出：， 通过计算器验证：． 故答案为：33333． 【点睛】本题考查数的开方，解题的关键是用计算器计算出结果再总结出规律． 64．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根．但如果我们假设存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根i和，进一步猜想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根是．（提示：） 请你根据以上信息解答下列问题： (1)，的平方根分别是______和______； (2)，，，，，，，…你发现了什么规律？请用你发现的规律求的值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】本题主要考查了新定义，求一个数的平方根，实数有关的规律探索： （1）根据新定义结合平方根的定义求解即可； （2）观察可知，这一列数每四个数为一个循环，依次出现，据此规律求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，的平方根分别是和， 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ……， 观察可知，这一列数每四个数为一个循环，依次出现， ∵， ∴的值为1． 65．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵符合， ∴， ∴， ∴． 66．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 …… 0.04 0.4 4 40 400 …… （1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题： ①若≈1.910，≈6.042，则≈　 　； ②已知x2≈0.000365，则x≈　 　． 【答案】（1）向左或向右，1；（2）①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的发现得规律解答即可． 【详解】解：（1）通过观察发现：被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左或向右移动1位； 故答案为：向左或向右，1； （2）①∵≈6.042， ∴， 故答案为：； ②∵≈1.910，x2≈0.000365， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑． 67．（24-25八年级上·江苏苏州·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 【答案】(1)见解析;(2) a＝，b＝10k. 【分析】（1）根据表格中提供数据找出规律即可（2）利用（1）中得到的规律，求出用含k的代数式分别表示a，b. 【详解】解：(1)表中依次填0.01，0.1，1，10，100. 被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向相同方向移动一位． (2)因为＝k，＝a，＝b， 所以a＝，b＝10k. 【点睛】此题重点考查学生对根式的实际应用能力，找出规律是解题的关键. 68．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … （1）若，则 （2）根据你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，则： ①≈ ； ②≈ ； （3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知≈1.260，则≈ . 【答案】（1）10 ；（2）①0.1435  ② 143.5；（3）12.60 . 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简即可； （2）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （3）根据（2）中的规律解答即可． 【详解】（1）=10； （2）观察表格可知：被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位，∴； （3）≈12.60． 故答案为（1）10；（2）被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点就相应向左或向右移动1位，0.1435；143.5；（3）12.60． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑． 69．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 【答案】(1)10 (2)； (3)； (4) 【分析】（1）根据表中的数据找出变化规律； （2）利用（1）中的规律进行求解； （3）利用（1）中的规律进行求解； （4）类比（1）的规律，求解即可． 【详解】（1）被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为：10； （2），， 故答案为：； （3），，， ，， 故答案为：； （4）由（1）的规律可知：被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍， 若，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过已知的数据找出小数点移动的规律是解题的关键． 70．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下列材料，回答相关问题： 求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如，等，有些数开不尽方，如，等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： 探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来） 理解应用：用你发现的规律，探究下列问题： 已知，求下列各数的算术平方根： （1）； （2）． 拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知，则________． 【答案】探究发现：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位；理解应用：（1），（2）；拓展应用： 【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； （3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解． 【详解】解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． 理解应用：，被开方数为 （1）可由的小数点向左移动两位得到，所以可以由的小数点向左移动一位得到， 又∵ ∴ （2）可由的小数点向右移动四位得到，所以可以由的小数点向右移动两位得到， 又∵ 拓展应用：类比可以得到，被开立方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位， ∵，开立方数为，开立方数为， 可以由得小数点向右移动3位得到，因此可以由小数点向右移动一位得到， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算： 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1) (2) 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2025八年级上·江苏宿迁·模拟预测）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 8．（25-26八年级上·江苏苏州·课后作业）如图，在数轴上点A、B、C所表示的实数分别为x，1，，且A到B的距离等于B到C的距离． (1)求出实数x的值； (2)求的值． 9．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）求方程中x的值： 12．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知一个正数的两个平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）计算和解方程： (1) (2) 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）计算和解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）计算或求的值． (1)计算： (2)计算： (3)求的值：； (4)求的值： ． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．根据上述平方根的意义，试求方程的解． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）计算： （2）求值． （3）求值 （4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数． 试化简： 19．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 20．（2025八年级上·江苏·专题练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：， (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定，请你计算：当时，的值． 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）（1）计算∶ （2）已知：，求x的值． 22．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）求下列各式中的x的值∶ (1)； (2)． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算或解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（24-25八年级上·江苏常州·期末）计算下列方程： (1)； (2) 25．（24-25八年级上·江苏南京·期中）利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 26．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）计算及解方程 (1)计算：． (2)求x的值： ① ② 27．（24-25八年级上·江苏南京·期中）计算和解方程 （1）计算： （2）3x2 = 30 ，求 x 的值； （3）（x-2）3+27=0 ，求 x 的值． 28．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知2既是的平方根，也是的立方根，解关于的方程． 29．（25-26八年级上·江苏泰州宁·阶段练习）（1）计算： ①； ②； ③； ④； （2）求下列各式中的值： ①； ②． 30．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 31．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1,,,…,,,如果从1开始选出若干个数,使它们的和大于3,那么至少需要选几个数? 32．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）请用“”、“”、“”填空： ①______；    ②______ ③______；    ④______ （2）观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含a，b的式子表示你发现的规律； （3）运用你所学的知识说明你发现的规律的正确性． 33．（2025八年级上·江苏·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 34．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）观察下列等式：①；②；③． (1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______． (2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______． 35．（2025·江苏苏州·模拟预测）观察下列关于自然数的等式：      ①     ②    ③    ④ …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第五个等式：________________； (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　 　；⑤1+3+5+7+9＝52；… （2）请写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算21+23+25+…+99． 37．（2025·江苏·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式： 第3个等式：，第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明． 38．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 39．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读下列解题过程： ； ； ； …… (1)计算：________； (2)按照你所发现的规律，猜想：_______；（n为正整数） (3)计算：． 40．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数（n） 和的倒数 2 3 4 5 … … (1)根据表中规律，求______； (2)根据表中规律，则_______； (3)求的值． 【经典计算题五 实数的新定义运算】 41．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）用“*”定义新运算：对于任意实数，，都有，例如：． 计算下列各式的结果：；． 42．（2025八年级上·江苏淮安·学业考试）规定一种运算：，例如，请你按照这种运算的规定，计算和的值． 43．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）计算：； （2）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如，求的值． 44．（24-25八年级上·江苏南京·期中）对于两个不相等的实数，，定义新的运算如下：，如，，如 请你计算： (1)； (2)； (3) 45．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)请求出的值； (2)若，求的值． 46．（24-25八年级上·福建福州·期末）对、定义一种新运算：规定，这里等式右边是通常的四则运算．如. （1）求的值； （2）计算； （3）若，求的值. 47．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加*键，再输入数，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 48．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题． 1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙1＝3×4+1＝13，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙3＝　 　． 请你想一想： （1）a⊙b＝　 　； （2）若a≠b，那么a⊙b　 　b⊙a（填入“＝”或“≠”）． （3）计算：﹣5⊙（﹣4⊙3）． 49．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，… (1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） (2)计算； (3)计算的值． 50．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为叫a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：_______，________． （2）若，写出满足题意的x的整数值______________． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．对100连续求根整数，______次之后结果为1． 【经典计算题六 无理数的估算】 51．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）不用计算器，比较与的大小 52．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知的小数部分为m，的小数部分是n，求的值． 53．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，计算a-2b的值. 54．（24-25八年级上·江苏苏州·假期作业）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 55．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示小数部分．请解答下列问题： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (2)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 56．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定， (1)___，___，___； (2)___． 57．（24-25八年级上·江苏南京·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 58．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读理解： ，即，的整数部分为2，小数部分为， ，的整数部分为1，的小数部分为． 解决问题：已知a是的整数部分，b是的小数部分． (1)求a，b的值； (2)求的值． 59．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 60．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）计算：，，.你能从中找出计算的规律吗？ 用字母表示这个规律为=____． 用你找到的规律计算的结果． 62．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 63．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 64．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根．但如果我们假设存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根i和，进一步猜想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根是．（提示：） 请你根据以上信息解答下列问题： (1)，的平方根分别是______和______； (2)，，，，，，，…你发现了什么规律？请用你发现的规律求的值． 65．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：__________． (2)计算：； 【迁移应用】 (3)若符合上述规律，请直接写出x的值． 66．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 …… 0.04 0.4 4 40 400 …… （1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题： ①若≈1.910，≈6.042，则≈　 　； ②已知x2≈0.000365，则x≈　 　． 67．（24-25八年级上·江苏苏州·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 68．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … （1）若，则 （2）根据你发现的规律，探究下列问题：已知≈1.435，则： ①≈ ； ②≈ ； （3）根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知≈1.260，则≈ . 69．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在我校科技节活动中爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： ．．． ．．． ．．． 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 ．．． (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值；________；________； (3)已知，，，则________，________； (4)小明思考如果把算术平方根换成立方根，若，，________，________． 70．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读下列材料，回答相关问题： 求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如，等，有些数开不尽方，如，等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： 探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来） 理解应用：用你发现的规律，探究下列问题： 已知，求下列各数的算术平方根： （1）； （2）． 拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知，则________． 学科网（北京）股份有限公司 $