2.6正多边形与圆（2）课时训练 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

课时训练25 正多边形与圆(2) (时间:30 min) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 基础巩固 1.(2024镇江市句容市期中)如图，在一个边长为m 的正六边形纸板中截去一个边长为m的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为 () A. 3:1 B. 4:1 C. 5:1 D.6:1 2.如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等,连接对角线 AD,BE,CE,线段AD 分别与BE 和CE 相交于点F,G,给出下列结论:①∠AGC=108°;②AG=AE;③∠EBC=2∠BEC;④BF=DE.其中正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性.如图，将正五边形OABCD 的边AB 固定，向右推动该正五边形，使得O 为AD 的中点,且点 A,B,C,D 在以点O 为圆心的圆上，过点 C 作⊙O 的切线EF，则∠BCF 的度数为 ( ) A. 18° B. 30° C. 36° D. 54° 4. 如图,A,B,C,D,E是⊙O 上的五等分点，该图形绕点 O 至少旋转 °后与自身重合. 5.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点O，A都在格点上，以点O为圆心，OA 的长为半径作圆.请按要求，只用无刻度的直尺完成以下画图. (1)在图1中画⊙O 的一个内接正四边形ABCD,S正四边形ABCD= ; (2)在图2 中画⊙O 的一个内接正六边形ABCDEF,S正六边形ABCDEF = . 6.如图，已知多边形 ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成.若有一圆过A，D，E三点，求该圆的半径. 拓展提优 1.半径相等的圆的内接正三角形、正方形和正六边形的边长之比为 ( ) A. 3:2:1 D.6:4:3 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 2.如图，点O 是正五边形ABCDE 和正三角形AFG 的中心,连接AD,EF 交于点 P,则∠APE 的度数为 °. 3. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为2cm,M，N 分别是AF，CD 的中点，将正六边形ABCDEF 绕点 E 顺时针旋转一定角度后，点 A 的对应点A刚好落在直线NM上，则此时A'M的长为 . 4.如图，已知等边三角形ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写出作法，但要保留作图痕迹). (1)作△ABC的外心O; (2)设D 是边AB 上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI,使点 F,H 分别在边BC 和AC 上. 5.已知，五边形ABCDE 为正五边形. (1) 如图1,连接AC,BE 交于点 P,求证:四边形 PEDC 为菱形; (2) 如图2,延长CD,AE 交于点 M,连接BM交CE 于点 N,求证:CN=EP. 6. (1) 如图1,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,P 为 上一动点，求证：PA=PB+PC. (2) 如图2,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P为 上一动点，求证：PA= (3) 如图3,六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，P为 上一动点，请探究PA，PB，PC 三者之间有何数量关系，并给予证明. 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 课时训练25 正多边形与圆(2) 【基础巩固】 1. C 2. D 3. B 4. 72 5. 解:(1) 如图1所示. 32 (2) 如图2所示. 6. 解:过点 A 作 AG⊥DE 于点 G,交 BC 于点 H，易知圆心在AG上，记为O，连接OD.因为四边形 BDEC 是正方形，所以 BC∥DE.因为AG⊥DE,所以AG⊥BC.又因为△ABC 为等边三角形,所以BH=CH,∠BAH=∠CAH=30°,所以BH=CH= 由勾股定理，得 .设OA=x,则 x.在 Rt△ODG 中,由勾股定理,得( 即 解得x=2.所以该圆的半径为2. 【拓展提优】 1. C 提示:如图,设⊙O 的半径为 r.图1 中 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 图2中,∠AOB=90°,OA=OB=r,AB= r;图3中， 所以边长之比为 2. 84 提示:连接OC,OD,OF,OG,OA,OE.因为五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，所以 所以∠AFE = 因为△AFG 是⊙O 的内接正三角形，所以 根据对称性可知， 所以 所 以∠APE=∠FAD+∠AFE=48°+36°=84°. 或 提示：①当正六边形 ABCDEF 绕点 E顺时针旋转较小的角度时，如图1所示.因为正六边形ABCDEF 的边长为 2cm ,所以∠F=120°,AF=EF =2cm ,∠FAE=∠FEA =30°.连接 EA,EA',易得 EA= 过点E 作EP⊥MN 于点 P.因为M,N分别是AF,CD的中点,所以AM=MF=CN=DN=1 cm,连接PF,可得△PFE 为等边三角形,所以PF=EF=2cm.在Rt△PMF 中,由勾股定理，得 在Rt△A'PE 中,由勾股定理，得 所以 ②当正六边形ABCDEF 绕点 E 顺时针旋转较大的角度时，如图2所示.同理，在 Rt△A'PE 中，由勾股定理，得 又因为PM= cm,所以 综上所述，A'M的长为 或 4. 解:(1) 如图,点O即为所求. (2)如图,六边形 DEFGHI 即为所求作的正六边形. 5.(1)证明:因为五边形 ABCDE 是正五边形,所以∠BCD =∠BAE = 108°. 因为AB=AE,所以∠ABE=∠AEB=36°,所以∠CBE=72°,所以∠DCB+∠CBE=180°,所以CD∥BE.同理可证,AC∥DE,所以四边形 PEDC 是平行四边形.又因为CD=DE,所以▱PEDC 是菱形. (2) 证明:如图,连接 AN.由(1),易得∠MCA=∠MAC=72°,所以 MC=MA.又因为 BC=BA，所以 BM 垂直平分线段AC,所以 NC = NA, 所以∠NCA =∠NAC=∠CEP =36°. 因为∠PAE=∠NEA=72°,所以∠PEA =∠NAE=36°. 因 为 AE = EA, 所以△PAE ≌ 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 所以AN=PE,所以CN=PE, 6.(1) 证明:如图1,延长 BP 至点 E,使PE = PC, 连 接 CE. 易 得 ∠BAC +∠BPC=180°. 因为∠BPC+∠EPC=180°,△ABC 是正三角形,所以∠CPE=∠BAC = 60°. 又因为 PE = PC,所以△PCE 是等边三角形,所以CE = PC,∠E = 60°. 因为 ∠BCE = ∠PCE +∠BCP,∠ACP=∠ACB+∠BCP,所以∠BCE=∠ACP.因为△ABC 为等边三角形,所以BC=AC,所以△BEC≌△APC,所以PA=EB=PB+PE=PB+PC. (2) 证明:如图2,连接OA,OB,过点 B 作BE⊥PB,交 PA 于点 E,则∠1+∠2=∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3.因为四边形ABCD 为 ⊙O 的 内 接正 方形,所 以 所以BP=BE,所以 又因为AB=BC,所以△ABE≌△CBP,所以 PC=AE. 所以 (3)解: 证明如下： 连接OA,OB,过点 B 作BM⊥AP,在 AP上截取AQ=PC,连接BQ.因为∠BAP=∠BCP,AB=BC,所以△ABQ≌△CBP,所以 BQ= BP. 所以 MP =QM,易知 所以 PM = 所以 所以PA= 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $