2.6正多边形与圆（1）课时训练 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

课时训练24 正多边形与圆(1) (时间:30 min) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 基础巩固 1.一个边长为2 的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的外接圆半径是 ( ) A. 2 B. C.1 D. 21 2.如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心.若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 ( ) A. 7 B.8 C.9 D. 10 3.如图，等边三角形ABC 和正方形 DEFG均内接于⊙O,若EF=2,则BC 的长为( ) C. D. 4.如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长，相交成一个四边形ABCD,则四边形ABCD 的周长是 ( ) A. 24 C. 16 5.如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是() D.1 6.如图，四边形ABCD 是正方形，以点 B 为圆心，作半径长为2的半圆，交AB 于点E.将半圆 B 绕点E 逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆 B 正好与边CD 相切，则正方形的边长为 ( ) A. 3 D.4 7.如图，正九边形的对角线 AF，CH 相交于点P,则∠CPF= °. 8.我们规定：一个正 n边形(n为整数，n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫作这个正 n边形的“特征值”，记为λₙ，那么 9.如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE⊥EF,EF⊥FC,并且AE=3,EF=4,FC=5，求正方形ABCD 的外接圆的半径. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 拓展提优 1.如图，正方形 ABCD 的边长为1，中心为点O，有一位置大小皆不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内(包括正方形的边)，则当这个正六边形的边长最大时，AE 的最小值为 ( ) 2.(2024 南京市秦淮区期中)如图，在正八边形ABCDEFGH 中,连接AD,EH,AE,DH,AE与 DH 交于点 O.给出下列结论：( 135°;④S八边形ABCDEFGH =4S四边形ABCD.其中正确的是 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 3.(2024南京市玄武区期中)如图，正五边形ABCDE 的边AB,AE 与⊙O 分别相切于点M,N,点 P 在 上,连接PM,PN,则∠MPN 的度数为 °. 4.如图，正六边形 内部有个正五边形 且 B₃B₄,直线l经过点 则直线l与A₁A₂的夹角α的度数为 . 5. 如图,在正六边形ABCDEF 中,AB=6,点M 在边AF 上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形的面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ， 6.已知正方形 ABCD 的四个顶点都在⊙O上,E 是 上的一点，连接DE. (1) 如图1,连接AE,BE,F 是 DE上的一点,DF=BE,连接AF.求证: △ABE. (2)在(1)的条件下，小明发现线段DE，BE,AE 之间满足等量关系:DE- 请说明理由. (3)如图2,连接BE,CE.若BC=5,BE=1,求 DE,CE 的长. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 课时训练24 正多边形与圆(1) 【基础巩固】 1. A 2. C 3. D 提示:如图,连接OE,OF,OB,OC,过点O作OH⊥BC 于点H.因为四边形 EFGD 是正方形,所以∠EOF=90°.因为 OE=OF,且 EF=2,所以 所以 因为△ABC 为等边三角形,所以∠BOC=2∠BAC=120°.因为OB=OC,OH⊥BC,所以 BH= CH,∠OBH= 所以 OH = 所以 所以 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 4. D 5. A 6. A提示：设半圆B与边CD 相切于点F，旋转后圆心B的对应点为O，连接FO并延长交AB 于点H.因为CD与⊙O 相切，所以FH⊥CD.易证四边形BCFH 是矩形, 所以 FH = BC,∠BHF = 由旋转的性质,得OE=OF=BE=2,∠BEO=30°,所以 所以BC=FH=3，即正方形的边长为3. 7.100 提示：因为正九边形每个内角的度数均为 所以∠1=140°.由圆内接正多边形的相关性质可知∠IAP=∠IHC=3× 所以∠CPF =∠APH=360°-(∠IAP+∠I+∠IHC)=100°. 提示：如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线BE,CF 交于点O,连接EC.易知BE 是最长的对角线，EC 是最短的对角线.易知△OBC 是等边三角形,所以∠OCB=∠BOC=60°.因为OE=OC,所以∠OEC= ∠OCE. 因为∠BOC = ∠OEC +∠OCE,所以 所以∠BCE=90°,所以△BEC 是直角三角形.设BC=a(a>0),则BE=2a.由勾股定理,得EC= 所以 即 9. 解:延长AE 交圆于点G,连接CG,AC.因为四边形 ABCD 为正方形，所以∠D=90°,所以AC 是该圆的直径,所以∠AGC=90°. 因为 AE⊥EF, EF⊥FC, 所以∠FEG=∠F=∠AGC=90°,所以四边形EFCG 是矩形,所以EG=FC=5,CG=EF=4,所以AG=AE+EG=8.由勾股定 理，得 所以正方形ABCD 的外接圆的半径为 【拓展提优】 1. B提示：如图，当正六边形的中心与点O重合，且EH=AB时，正六边形自由旋转且始终在正方形内，此时正六边形的边长最大，再当EH 在正方形对角线AC上时，AE 的值最小.因为正方形ABCD的边长为1，所以 所以 AE= 即AE的最小值为 2. C 3. 144 提示:如图,连接OM,ON,在优弧AB 上取一点Q,连接QM,QN.因为五边形ABCDE 是正五边形，所以 因为正五边形ABCDE 的边AB,AE 与⊙O分别相切于点M,N,所以∠OMA=∠ONA=90°,所以∠MON=360°—∠OMA — ∠A= 72°, 所以 因为四边形 PMQN 是圆内接四边形,所以∠MPN+∠MQN=180°,所以 4. 48°提示:分别延长A₁A₂,A₄A₃交于点C,设直线l交A₃A₄于点D,交A₁A₂于点E.因为五边形B₁B₂B₃B₁B₆为正五边形,所以 72°.因为A₃A₄∥B₃B₄,所以. 因为六边形 A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形,所以 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 120°.因为 A₁A₆∥A₃A₄,所以∠C=60°.所以α= 提示：如图，设正六边形ABCDEF 的中心为O，作直线MO交CD 于点N，则直线MN将正六边形的面积平分，即所截的线段长是 MN 的长(直线 MN 即为直线l).连接OF,OA.过点 M 作MH⊥OF 于点 H.由条件,得MO=ON(用全等或中心对称均可证明)，△OAF 是等边三角形.因为AM=2,所以MF=AF-AM=4.因为MH⊥OF,所以 所以 FH= 所以 又因为OH=OF-FH=4,所以 所以 6.(1)证明:因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AB = AD. 在△ADF 和△ABE 中, 所以△ADF≌△ABE. (2) 解:由(1)得,△ADF≌△ABE,所以AF =AE,∠DAF=∠BAE. 在正方形ABCD 中,∠BAD =90°,所以∠BAF+∠DAF=90°.所以∠BAF+∠BAE=90°,即∠EAF=90°.所以△EAF 是等腰直角三角形，所以 所以 所以 所以DE- (3) 解:连接BD,将△CBE 绕点C 顺时针旋转 90°至△CDH 的位置.因为四边形BCDE 内接于⊙O,所以∠CBE+∠CDE=180°.所以∠CDH+∠CDE=180°,所以E,D,H 三点共线.在正方形ABCD 中,因为∠BAD=∠BCD=90°,所以∠BED=90°. 因为 BC = CD,所以 ∠DBC=∠DEC=45°.所以△CEH 是等腰直角三角形.在 Rt△BCD 中，由勾股定理，得 在Rt△BDE 中,由勾股定理，得 在Rt△CEH 中,由勾股定理,得 即 因为BE=DH,所以 即 解得 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $