第三章整式及其加减培优A卷2025-2026学年 北师大版（2024) 七年级数学上册

2025-2026学年七年级上学期第三章整式及其加减 培优卷 数学(北师大版2024) 姓名： 班级： 座号： （本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。考试时间：120分钟 满分120分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．单项式的系数为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的系数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．根据单项式系数的定义可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数是：， 故选：A． 2．下列各式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，只有同类项才能合并，据此逐一求出答案即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、与不是同类项，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 3．下列说法正确的有（    ）个． ①单项式x的系数和次数都是0；②的次数是11；③多项式是由1，，三项组成；④在，，，0中整式有2个；⑤的系数是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法． 根据多项式、单项式、整式的相关概念解答即可． 【详解】解：①单项式的系数和次数都是，原说法错误； ②的次数是，原说法错误； ③多项式是由，，三项组成，原说法正确； ④在，，，中整式有个，原说法错误； ⑤的系数是，原说法错误． ∴说法正确的有个． 故选：A． 4．如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于的一元多项式与（其中，，，为常数）恒等，则（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，根据两个多项式恒等可得对应系数相等，即可得解，熟练掌握多项式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元多项式与（其中，，，为常数）恒等， ∴，，，， 故选：A． 5．如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，有1根，有3根，有7根……照此规律摆下去，的火柴棒根数是（    ）根 A．23 B．63 C．127 D．129 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 先根据前四个图形中火柴棒的个数得变化特点得出规律，进而得出答案． 【详解】解：因为图中有1根火柴棒； 因为图中有根火柴棒； 因为图中有根火柴棒； 因为图中有根火柴棒， 因为图中有根火柴棒． 故选：C． 6．下列说法：整数和分数统称为有理数；的相反数是；互为相反数的两个数的积一定是负数或；是五次三项式．正确的说法有（   ） A．1个 B． C．3个 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数和相反数的定义，以及多项式系数和次数的定义，根据有理数和相反数的定义，以及多项式系数和次数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①整数和分数统称为有理数，正确； ②的相反数是，正确； ③ 互为相反数的两个数的积一定是负数或0，正确； ④ 是二次三项式，原说法错误， 则说法正确的为：①②③， 故选：C． 7．如图，长方形中，，，动点从点出发，以秒的速度沿长方形的边按的顺序运动，动点从点出发，以秒的速度沿长方形的边按的顺序运动．若动点、同时从发，运动的时间设为秒，则动点、第十次相遇时，的值是（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探究，解题关键是找出规律是：动点、第（是正整数）次相遇时，，从而得出结论． 【详解】解：长方形中，cm，cm，由题意动点、第1次相遇时，； 动点、第2次相遇时，，即； 动点、第3次相遇时，，即； 规律是：动点、第（是正整数）次相遇时，， 动点、第10次相遇时，，即的值是秒； 故选D． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，合并同类项，添括号，根据有理数的运算法则、合并同类项法则及添括号法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 9．已知整式，其中为自然数，为正整数，且． ①满足条件的整式中单项式有3个． ②当时，满足条件的所有整式的和为． ③满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题综合考查了整式的定义，整式的加减运算，新定义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出每个整式是解题的关键． 【详解】解：当时，，即，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时，，即，， 当时，，整式为， 同理：当时，，整式为， 当时，，，不符合题意； 满足条件的所有整式M中有3个单项式，①正确； 当时，，其中， ∴当时，有，，， 当时，有，， 当时，， ∴这6个整式的和为：，故②错误； 当时，则，且， 此时整式有4种，即，，，， 当时，则，且， 由②可得此时整式有6种， 当时，则，且， 此时整式有4种，即，，，， 当或时，此时整式不存在， ∴整式一共有（个），故③正确， 综上正确的个数是2个． 故选：B． 10．观察下面三行数： ，，，① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，根据每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为，即可得即，，，再代入代数式计算即可求解，根据每行所给数找出规律是解题的关键． 【详解】解：由每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为，第②行数的规律为，第③行数的规律为， ∴第①②③行的第个数分别为，，， 即，，， ∴ ， 故选：． 2、 填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若，则的值为 ． 【答案】2017 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，将原式变形为，再代入式子的值即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：2017． 12．观察一组代数式：．则第个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知第n个代数式的系数为，指数为，据此可得答案． 【详解】解；第1个代数式为，系数为，指数为， 第2个代数式为，系数为，指数为， 第3个代数式为，系数为，指数为， 第4个代数式为，系数为，指数为， ．．．．．．， 以此类推，第n个代数式的系数为，指数为， ∴第个代数式是， 故答案为： 13．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行（从第1行开始计数）最中间的数字是 ． 【答案】20 【分析】本题考查数字找规律，解题关键是掌握杨辉三角每行数字个数规律、数字对称特点及除两端1外每个数等于它肩上两数和的规律来推导所需数字． 观察杨辉三角形的规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1，第n行有n个数．要求第7行最中间的数字，需要先确定第7行的数字个数以及中间位置． 【详解】观察杨辉三角形的规律是： 每行数字左右对称，由1开始逐渐增大再减小到1 每行除两端的1以外，每个数都是它肩上两个数的和． 第n行有n个数， ∴第7行有7个数． ∵第5行是1  4   6   4   1， 根据规律，第6行第一个数是1，第二个数是第5行第一个数1与第二个数4相加，即；第三个数是第5行第二个数4与第三个数6相加，即；第四个数是第5行第三个数6与第四个数4相加，即；第五个数是第5行第四个数4与第五个数1相加，即；最后一个数是1． ∴第6行是1  5   10  10  5   1． 第7行：第一个数是1；第二个数是第6行第一个数1与第二个数5相加，即；第三个数是第6行第二个数5与第三个数10相加，即；第四个数是第6行第三个数10与第四个数10相加，即． ∴第7行：1  6  15  20  15  6  1 ∵第7行共7个数，最中间是第4个数， ∴第7行最中间数字是20． 7个数的中间位置是第4个． ∴第7行最中间的数字是20． 故答案为：20． 14．将一列自然数按如图所示的规律排列，表示的数为1，表示的数为10，表示的数为 ． 【答案】370 【分析】本题考查了规律型问题，分别找到前几个数，发现规律，表示的数为，继而将逐步分解计算即可． 【详解】解：根据图形可知： 表示的数为1， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， …， ∴表示的数为， ∴ … ， 故答案为：370． 15．观察以下等式： 请你用含字母n的等式表示这个规律 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索． 观察等式，总结规律即可． 【详解】解：设两个数为，（，且为整数）， 则， ∴这个规律是， 故答案为：． 16．已知一列数的和，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减混合运算和代数式求值，重点在观察式子特征，能够相互联系起来，先将所有式子相加，从而出现求得k值，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可． 【详解】解： = = ， ∴2024个k相加等于0，则， 则， ∴，， ∴． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算 (1) (2) (3) (4)     【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和整式的加法与减法： （1）根据有理数混合运算的顺序求解即可； （2）根据有理数混合运算的顺序求解即可； （3）根据整式的加法与减法的运算法则计算即可； （4）根据整式的加法与减法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 18．已知，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减法的计算，理解合并同类项的概念是解答关键． 将和的值代入中，整式加减法的运算法则进行计算求解． 【详解】解： ． 19．化简： 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项，进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值；先去括号，再合并同类项，得到化简后的整式；最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．“囧（jiǒng）”是最近一段时期的网络流行语．“囧”字像一个人面部郁闷的神情．如图，一张边长为的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分），得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为，，剪去的小长方形长和宽也分别为，． (1)用含，，的式子表示“囧”字图案（空白部分）的面积为________； (2)当，，时，求该图案（空白部分）的面积． 【答案】(1) (2)88 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，准确识图并根据已知列出代数式是解题的关键． （1）根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可； （2）把x、y的值代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）当，，时， 原式． 22．阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)判断：263______万象数；495______万象数（填“是”或“不是”）； (2)填空：当时，______；______； (3)小明经过观察、思考，发现并提出猜想：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除，小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由． 【答案】(1)不是，是 (2)862，369 (3)小明的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查有理数的运算，整式的加减运算： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）设，则，求出进行判断即可． 【详解】（1）解：，故263不是万象数，，故495万象数； 故答案为：不是，是； （2）∵， ∴， ； 故答案为：862，369； （3）小明的猜想正确，理由如下： 设，则， ∴ ， ∵均为整数， ∴能被9整除． 23．某商店出售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价1500元，羽毛球每桶定价100元，促销期间有两种付费方式：A．买一副羽毛球赠送2桶羽毛球；B．羽毛球拍和羽毛球都按定价的9折优惠 (1)某训练队购买6副羽毛球拍和羽毛球x（）桶，请你帮他计算两种付费金额（结果需化简）． (2)当时，通过计算说明哪种付费方式更划算？ 【答案】(1)A方式元；B方式元 (2)B种付费方式更划算 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． （1）根据题意列得代数式即可； （2）将分别代入（1）中所列代数式运算后比较大小即可． 【详解】（1）解：A方式：元； B方式：元； （2）解：当时， ， ， ∵， ∴B种付费方式更划算． 24．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：    (1)应用一：已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出有最小值为______，此时满足条件______． (2)应用二：在图①中，将数轴沿着点折叠，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为两点之间距离为4，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是______；点表示的数是______；点表示的数是______． (3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． 【答案】(1) (2)，4，或 (3) 【分析】此题考查了列代数式，绝对值的应用，数轴上两点间的距离的计算方法以及整式加减的应用，综合性比较强，难度比较大． （1）根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可； （2）先判断出点和点到表示数的点的距离为6，即可得出结论； （3）分别找出正半轴和负半轴在点上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和． 【详解】（1）已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为， 则两点的距离可以表示为， 应用这个知识，有最小值为， 此时满足条件． 故答案为：； （2）两点沿着点折叠后重合， 点和点关于表示数的点对称， 两点之间距离为12， 点和点到表示数的点的距离都为， 点表示的数为，点表示的数为， 两点之间距离为4， ①当点在点左侧时，点表示的数为， ②当点在点右边时，点表示的数为， 点表示的数为或． 故答案为：，4，或； （3）①如果正半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 负半轴的线缠绕了圈，绕在点的数分别为：， 点的数为：； 则绕在点上的所有数字之和为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上学期第三章整式及其加减 培优卷 数学(北师大版2024) 姓名： 班级： 座号： （本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。考试时间：120分钟 满分120分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．单项式的系数为（　　） A． B．2 C． D．3 2．下列各式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（    ）个． ①单项式x的系数和次数都是0；②的次数是11；③多项式是由1，，三项组成；④在，，，0中整式有2个；⑤的系数是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如果两个多项式恒等，那么将两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等．已知关于的一元多项式与（其中，，，为常数）恒等，则（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，有1根，有3根，有7根……照此规律摆下去，的火柴棒根数是（    ）根 A．23 B．63 C．127 D．129 6．下列说法：整数和分数统称为有理数；的相反数是；互为相反数的两个数的积一定是负数或；是五次三项式．正确的说法有（   ） A．1个 B． C．3个 D． 7．如图，长方形中，，，动点从点出发，以秒的速度沿长方形的边按的顺序运动，动点从点出发，以秒的速度沿长方形的边按的顺序运动．若动点、同时从发，运动的时间设为秒，则动点、第十次相遇时，的值是（　　） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知整式，其中为自然数，为正整数，且． ①满足条件的整式中单项式有3个． ②当时，满足条件的所有整式的和为． ③满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．观察下面三行数： ，，，① ，，，② ，，，③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若，则的值为 ． 12．观察一组代数式：．则第个代数式是 ． 13．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据杨辉三角形的规律，第7行（从第1行开始计数）最中间的数字是 ． 14．将一列自然数按如图所示的规律排列，表示的数为1，表示的数为10，表示的数为 ． 15．观察以下等式： 请你用含字母n的等式表示这个规律 ． 16．已知一列数的和，且，则 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算 (1) (2) (3) (4)     18．已知，，求． 19．化简： 20．先化简，再求值：，其中． 21．“囧（jiǒng）”是最近一段时期的网络流行语．“囧”字像一个人面部郁闷的神情．如图，一张边长为的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分），得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为，，剪去的小长方形长和宽也分别为，． (1)用含，，的式子表示“囧”字图案（空白部分）的面积为________； (2)当，，时，求该图案（空白部分）的面积． 22．阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)判断：263______万象数；495______万象数（填“是”或“不是”）； (2)填空：当时，______；______； (3)小明经过观察、思考，发现并提出猜想：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除，小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由． 23．某商店出售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价1500元，羽毛球每桶定价100元，促销期间有两种付费方式：A．买一副羽毛球赠送2桶羽毛球；B．羽毛球拍和羽毛球都按定价的9折优惠 (1)某训练队购买6副羽毛球拍和羽毛球x（）桶，请你帮他计算两种付费金额（结果需化简）． (2)当时，通过计算说明哪种付费方式更划算？ 24．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：    (1)应用一：已知图①，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出有最小值为______，此时满足条件______． (2)应用二：在图①中，将数轴沿着点折叠，若数轴上点在点的左侧，两点之间距离为两点之间距离为4，且两点沿着点折叠后重合，则点表示的数是______；点表示的数是______；点表示的数是______． (3)应用三：如图②，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上．如果正半轴的线缠绕了圈，负半轴的线缠绕了圈，求绕在点上的所有数之和（用表示）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $