专题05 期中真题百练通关（11大易错题型）（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题05 期中真题百练通关（11大易错题型） 题型1 线面平行判定定理使用不当致错 题型7 直观图概念理解不清楚致错 题型2 线面垂直判定条件不严谨致错 题型8 空间角求解错误 题型3 面面平行判定混淆概念致错 题型9 数列公式使用错误 题型4 面面垂直定理应用错误 题型10 数列最值问题求解错误 题型5 结构特征理解不透彻致错 题型11 错位相减求和时项数处理不当 题型6 平面图形与立体图形转化出错 题型一 线面平行判定定理使用不当致错（共3小题） 线面平行的判定定理是若平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行。学生容易忽略 “平面外” 这个关键条件，直接用平面内的两条共面直线来判定线面平行，导致错误。 1．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 3．（24-25高二上·上海·期中）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明. 题型二 线面垂直判定条件不严谨致错（共3小题） 直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直。但学生在证明过程中，常常没有验证两条直线是否相交，就直接得出线面垂直的结论，使得证明过程不严谨。 4．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 6．（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 题型三 面面平行判定混淆概念致错（共2小题） 面面平行的判定定理是一平面内两条相交直线分别平行于另一平面，则面面平行。部分学生容易混淆 “相交直线” 与 “任意直线” 的区别，用平面内的任意两条直线平行于另一平面来判定面面平行，从而出现错误。 7．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题中，是真命题的选项为（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行． 8．（22-23高二上·上海静安·期中）条件“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的（　　）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 题型四 面面垂直定理应用错误（共3小题） 若一平面过另一平面的垂线，则两面垂直。学生在应用该定理时，往往没有明确垂线的来源，直接套用定理，导致证明错误。 9．设为两个平面，则的充要条件是（    ） A．垂直于同一条直线 B．内有两条直线与内无数条直线垂直 C．内有一条直线与垂直 D．垂直于同一平面 10．（24-25高二上·上海黄浦·期末）正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 11．如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ． 题型五 结构特征理解不透彻致错（共5小题） 对于棱柱、棱锥、棱台等多面体的结构特征，学生可能存在理解不深入的情况。例如，有两个侧面是矩形的立体图形不一定是直棱柱，侧面都是等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥，侧面都是矩形的直四棱柱不一定是长方体等。 12．（22-23高二上·上海徐汇·期中）将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（    ）. A．正三棱柱 B．正四棱锥 C．正四棱柱 D．正六棱锥 13．（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 14．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 15．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 题型六 平面图形与立体图形转化出错（共4小题） 在解决一些涉及平面图形与立体图形关系的问题时，学生可能无法正确地进行转化。 17．（24-25高二上·上海·期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为 ． 18．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    20．（24-25高二上·上海·期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为    题型七 直观图概念理解不清楚致错（共5小题） 对于直观图的概念，学生可能存在理解误区。在根据直观图还原原平面图形时，容易出现错误，不能准确地根据直观图中的线段长度和角度关系，还原出原平面图形的真实情况。 21．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 22．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的面积是 . 23．（24-25高二上·上海·期中）如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为 .    24．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    25．（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 题型八 空间角求解错误（共6小题） 混淆异面直线的夹角与向量的夹角，异面直线所成角的范围是，而两向量的夹角范围是。在使用向量法求异面直线所成角时，若不注意角度范围的转化，容易得到错误的结果。 用向量法求直线与平面所成角时，一般有两种途径，一是直接求线面角，二是通过求平面的法向量与直线向量的夹角进而转化求解。但学生在转化过程中，容易出现错误，没有正确理解线面角与向量夹角之间的关系。 在求解二面角时，学生往往不能准确判断二面角是锐角还是钝角，导致最终结果错误。 26.（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 27.（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28.（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 29.（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 .    30．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，. (1)求直线与平面所成的角的大小； (2)求直线与直线所成的角的大小. 31．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 题型九 数列公式使用错误（共5小题） 等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键，但学生可能会记错公式或用错公式。 32．（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 33．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 34．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 35．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，，则 ． 36．（23-24高二上·上海·期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 题型十 数列最值问题求解错误（共5小题） 数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，学生在求数列最值时，容易忽视n为正整数的特点，或者对于n取何值能够取到最值求解错误。 37．（22-23高二上·上海·期中）设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（　　） A．310 B．212 C．180 D．121 38．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 39．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 40．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 41．（24-25高二上·上海·期中）已知数列满足，对任意正整数、都有. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 题型十一 错位相减求和时项数处理不当（共4小题） 错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的求前n项和的题型。学生在用错位相减法求和时，往往不能正确处理好相减后得到的和式的三部分，即原来数列的第一项、一个等比数列的前（n-1）项的和以及原来数列的第n项乘以公比后在作差时出现的项，从而导致计算错误。 42．（21-22高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列满足，，等比数列的公比，令的前项和为，若“”是“”的充分条件，则正整数的最小值为 . 43．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知数列中，， (1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求的前n项和. 44．设数列的前项和为，若． （Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求； （Ⅲ）求证：． 45．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”． (1)若是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）； (2)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求． (3)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值． 一、单选题 1．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   2．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 二、填空题 3．如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为 .    4．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为 .    5．如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是 . 三、解答题 6．已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 7．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 8．如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为边上的点，点在底面圆上，且.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（11大易错题型） 题型1 线面平行判定定理使用不当致错 题型7 直观图概念理解不清楚致错 题型2 线面垂直判定条件不严谨致错 题型8 空间角求解错误 题型3 面面平行判定混淆概念致错 题型9 数列公式使用错误 题型4 面面垂直定理应用错误 题型10 数列最值问题求解错误 题型5 结构特征理解不透彻致错 题型11 错位相减求和时项数处理不当 题型6 平面图形与立体图形转化出错 题型一 线面平行判定定理使用不当致错（共3小题） 线面平行的判定定理是若平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行。学生容易忽略 “平面外” 这个关键条件，直接用平面内的两条共面直线来判定线面平行，导致错误。 1．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【答案】③④ 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知正方形在平面的同一侧，若A、B、C三点到平面的距离分别为1、2、3，则直线与平面的位置关系为 .（填“平行”或“相交”） 【答案】平行 【详解】根据题干信息，连结，相交于点.则点为的中点， 分别作平面，平面，平面. 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为，两点到平面的距离分别为1、3. 则，点到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点距离都为2，则直线平面. 故答案为：平行. 3．（24-25高二上·上海·期中）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明. 【详解】平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行； 已知，求证； 证明如下： 假设，由于，则， 则在平面内过点作一条直线，使得， 由于，则，这与矛盾， 故假设不成立，故 题型二 线面垂直判定条件不严谨致错（共3小题） 直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直。但学生在证明过程中，常常没有验证两条直线是否相交，就直接得出线面垂直的结论，使得证明过程不严谨。 4．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交， 所以不一定能推出直线与平面垂直， 但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线， 即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 题型三 面面平行判定混淆概念致错（共2小题） 面面平行的判定定理是一平面内两条相交直线分别平行于另一平面，则面面平行。部分学生容易混淆 “相交直线” 与 “任意直线” 的区别，用平面内的任意两条直线平行于另一平面来判定面面平行，从而出现错误。 7．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题中，是真命题的选项为（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行． 【答案】D 【详解】如图，正方体，    对于A，平面与平面都与直线平行，而平面与平面相交，A是假命题； 对于B，相交平面与平面分别经过直线，且，B是假命题； 对于C，直线平面，直线平面，且平面平面， 而直线与直线是异面直线，C是假命题； 对于D，直线是两条异面直线，是两个不同平面，， 过直线上的点作直线，则直线确定平面，由，得点， 而，于是，因此，所以，D真命题.      故选：D 8．（22-23高二上·上海静安·期中）条件“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的（　　）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】如下图示，若“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”，此时“△ABC所在平面与平面α不平行”，充分性不成立； 而“△ABC所在平面与平面α平行”，则“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”，必要性成立. 所以，“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的必要非充分条件. 故选：B 题型四 面面垂直定理应用错误（共3小题） 若一平面过另一平面的垂线，则两面垂直。学生在应用该定理时，往往没有明确垂线的来源，直接套用定理，导致证明错误。 9．设为两个平面，则的充要条件是（    ） A．垂直于同一条直线 B．内有两条直线与内无数条直线垂直 C．内有一条直线与垂直 D．垂直于同一平面 【答案】C 【详解】对于A项，，垂直于同一条直线则两个平面平行，A项错误； 对于B项，如图长方体中，平面中直线，直线与平面中平行于直线的无数条直线都垂直， 但是平面与平面不垂直，B项错误； 对于C项，平面过垂直于的直线，则；反之，若，在内作垂直于交线的直线垂直于，C项正确； 对于D项，如图长方体中，平面与平面都垂直于平面，但是平面与平面不垂直，D项错误. 故选：C. 10．（24-25高二上·上海黄浦·期末）正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 . 【答案】 【详解】在正方体中， 平面、平面、平面、平面均与平面垂直， 平面与平面平行， 故正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为个. 故答案为： 11．如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有 ． 【答案】平面，平面，平面 【详解】连接面对角线，因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面， 同理可知平面⊥平面，平面⊥平面. 故答案为：平面，平面，平面. 题型五 结构特征理解不透彻致错（共5小题） 对于棱柱、棱锥、棱台等多面体的结构特征，学生可能存在理解不深入的情况。例如，有两个侧面是矩形的立体图形不一定是直棱柱，侧面都是等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥，侧面都是矩形的直四棱柱不一定是长方体等。 12．（22-23高二上·上海徐汇·期中）将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（    ）. A．正三棱柱 B．正四棱锥 C．正四棱柱 D．正六棱锥 【答案】D 【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A成立； 正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B成立； 正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C成立； 因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长， 所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不成立； 故选：D. 13．（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（    ） ①经线②北纬③西经④赤道 A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆， 故①③④正确，②错误. 故选：C 14．（24-25高二上·上海·期中）以下命题中真命题的是（   ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 15．（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 16．（22-23高二上·上海浦东新·期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（    ） A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】D 【详解】对于选项A，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A； 对于选项B，考虑如图所示的正四棱锥. 满足， 为底面正方形中心，EO平面ABCD. 因底面为正方形，故， 则，，，两两全等，得. 故存在满足条件的正四棱锥，排除B； 对于选项C，考虑如图所示的五棱锥. 满足， O为底面正五边形中心，FO平面ABCDE. 因底面为正五边形，故， 则，，，，两两全等.得. 故存在满足条件的正五棱锥，排除C； 对于选项D，考虑如图所示的正六棱锥. 满足， O为底面正六边形中心.GO平面ABCDEF. 但注意到OA=AB，，则有. 这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D正确. 故选：D 题型六 平面图形与立体图形转化出错（共4小题） 在解决一些涉及平面图形与立体图形关系的问题时，学生可能无法正确地进行转化。 17．（24-25高二上·上海·期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为 ． 【答案】 【详解】将正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，连接， 易知，则或其补角为直线与直线所成的角， 在中，易知，所以， 故答案为：. 18．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里. 【答案】32 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段， 而，则， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， 因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得. 故答案为：32 19．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 .    【答案】 【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，    由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·期中）如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合于点M，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为    【答案】3 【详解】依题意，直线，点直线，点直线， 在几何体中，两两垂直，而平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 又平面，因此平面平面， 而，则平面，又平面，因此平面平面， 令平面平面，由，平面，平面， 得平面，而平面，于是，同理平面， 则平面，平面，则，是平面与平面的夹角， 而是锐角，因此平面与平面不垂直， 所以与平面垂直的平面个数为3. 故答案为：3    题型七 直观图概念理解不清楚致错（共5小题） 对于直观图的概念，学生可能存在理解误区。在根据直观图还原原平面图形时，容易出现错误，不能准确地根据直观图中的线段长度和角度关系，还原出原平面图形的真实情况。 21．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【答案】 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 22．（24-25高二上·上海静安·期中）如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的面积是 . 【答案】 【详解】根据题意，在中，，， 因为，所以， 因此的面积， 所以原三角形面积． 故答案为：． 23．（24-25高二上·上海·期中）如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为 .    【答案】 【详解】设直观图的面积为，原图形的面积为，则， 故原三角形的面积为. 故答案为： 24．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【答案】 【详解】    在直观图中，设与交于点， 根据题意，为矩形，， 则，所以， 在平面直角坐标系下还原图形，如图：   ， 所以原图形的周长为：. 故答案为： 25．（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 题型八 空间角求解错误（共6小题） 混淆异面直线的夹角与向量的夹角，异面直线所成角的范围是，而两向量的夹角范围是。在使用向量法求异面直线所成角时，若不注意角度范围的转化，容易得到错误的结果。 用向量法求直线与平面所成角时，一般有两种途径，一是直接求线面角，二是通过求平面的法向量与直线向量的夹角进而转化求解。但学生在转化过程中，容易出现错误，没有正确理解线面角与向量夹角之间的关系。 在求解二面角时，学生往往不能准确判断二面角是锐角还是钝角，导致最终结果错误。 26.（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 27.（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 28.（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【详解】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 29.（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角的余弦值等于 .    【答案】 【详解】   ,为边长为1的等边三角形，将沿着翻折形成三棱锥 ,如图，点在底面上的投影在的平分线上， 则三棱锥的高为过点的高， 所以当平面平面时，三棱锥的高最大，体积最大， 此时为平面平面平面所成的角，所以, 且平面, 所以平面， 分别取中点为,连接, 因为所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中， , 在直角三角形中，, 所以, 由余弦定理可得，,    所以异面直线与所成的角的余弦值为， 故答案为: . 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，. (1)求直线与平面所成的角的大小； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 平面的一个法向量为， 故直线与平面所成的角的正弦值为 ， 所以直线与平面所成的角的大小为； （2）设直线与直线所成角的大小为， ， 故直线与直线所成角为. 31．（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正三棱柱中，，点、分别为、的中点．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，连接， 则，又平面，所以平面， 又平面，所以，，又， 如图建立空间直角坐标系， 因为，所以.    因为为的中点，所以， 从而， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为为的中点，所以， 因此，. 设为平面的一个法向量， 则，即，不妨取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 题型九 数列公式使用错误（共5小题） 等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键，但学生可能会记错公式或用错公式。 32．（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】4 【详解】设等差数列的公差为，则由可得，， 故答案为:4. 33．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，， 两式相加得： ， 故答案为：. 34．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【答案】 【详解】设，，， 则，. 故，则，，且. 故，，. 则，，故. 故答案为：. 35．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】数列满足，． 整理得，即（常数） 则数列是等比数列，其中首项为2，公比为1． 所以，即． 故答案为：． 36．（23-24高二上·上海·期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 【答案】3 【详解】设等比数列的公比为，首项为，且， 若，则，与题设矛盾，所以. ，解得， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 题型十 数列最值问题求解错误（共5小题） 数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，学生在求数列最值时，容易忽视n为正整数的特点，或者对于n取何值能够取到最值求解错误。 37．（22-23高二上·上海·期中）设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（　　） A．310 B．212 C．180 D．121 【答案】D 【详解】解：∵等差数列满足，，设公差为，则， 其前项和为， ∴，，，， ∵数列也为等差数列， ∴， ∴， 解得． ∴，， ∴， 由于为单调递减数列， ∴， 故选：D． 38．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【详解】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 39．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 40．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 【详解】（1）由题意得，， 因为广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件， 所以，… 于是可得 ， 由等比数列求和可得， ， 所以. （2）由（1）可得，设利润为， 则， 所以当，时， ， 若要使最大，则，代入可得， 故，此时， 所以商家应生产7875件产品且广告费用为5000元时利润最大. 41．（24-25高二上·上海·期中）已知数列满足，对任意正整数、都有. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 【详解】（1）对任意正整数、都有成立，， 所以令，得，， ∴数列（）是首项和公比都为2的等比数列. ∴（）. （2）由，得 ， 故， 所以， 当时，，， 于是，， 当时，； 当时， 又时，， 综上，有，. （3）因为，， 所以， 所以， 数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为. 题型十一 错位相减求和时项数处理不当（共4小题） 错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的求前n项和的题型。学生在用错位相减法求和时，往往不能正确处理好相减后得到的和式的三部分，即原来数列的第一项、一个等比数列的前（n-1）项的和以及原来数列的第n项乘以公比后在作差时出现的项，从而导致计算错误。 42．（21-22高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列满足，，等比数列的公比，令的前项和为，若“”是“”的充分条件，则正整数的最小值为 . 【答案】6 【详解】，，，，故； ，故， 两式相减得， 所以，因为， 所以， 整理得到，，，，所以. 正整数的最小值为. 故答案为： 43．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知数列中，， (1)判断数列是否为等差数列？并求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求的前n项和. 【详解】（1）∵，，∴，∴， 又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列. ∴， ∴； （2）∵， ∴， ， ∴ ， ∴. 44．设数列的前项和为，若． （Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求； （Ⅲ）求证：． 【解析】（Ⅰ）由已知利用与的关系得，当时，，即，即可证得结论，写出其通项公式，即可求得结果； （Ⅱ）知，利用错位相减法求数列的前项和； （Ⅲ）知，则，利用放缩法知，再结合分组求和及等比数列的求和公式可证得结论. 【详解】（Ⅰ）由得，当时， 两式作差得：，即，即， 令得，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，故． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 两式作差得： 所以． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，则， 恒成立，，即 所以， 所以． 45．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”． (1)若是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）； (2)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求． (3)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值． 【详解】（1）. （2）由“等差向量列”定义和：等比向量列“定义知 ， ， ， 设， ， 两式相减得 ， 所以. （3），所以，所以为等差数列， 所以， 由题意知， 构造函数， 则 ， 所以函数至少又三个零点，，，， 由函数的图象与性质，可知为偶数，且满足，解得， 所以，解得， 的最大值为26. 一、单选题 1．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 2．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 二、填空题 3．如图是水平放置的的斜二测直观图，已知，，则边的实际长度为 .    【答案】 【详解】    如图，将直观图还原成平面图， 则，，， 所以， 所以边的实际长度为. 故答案为：. 4．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为 .    【答案】 【详解】连接，因为是正方体，所以平面， 又平面，所以，即是直线与平面所成角，    由题意，正方体的棱长为1，所以， 又是棱的中点，所以，所以， 所以. 故答案为： 5．如图，正方体中，分别为的中点，则    ①四点共面 ② ③三线不共点 ④ 以上四个结论中，正确结论的序号是 . 【答案】①② 【详解】解：由题意可得，， ，， 所以且， 所以四点共面，故①，②正确； 所以四边形为梯形，为两底， 因为四边形为梯形，为腰， 所以设， 所以平面，平面， 又因为平面平面， 所以， 所以三线共点，故③错误； 易知三角形为等腰直角三角形， 所以； 设正方体的棱长为1， 在中，, 所以 又因为， 所以， 所以，故④错误. 故答案为：①② 三、解答题 6．已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【详解】（1）为等差数列，为等比数列. 设公差为，公比为， 由，，， 可得，即， 又，解得， 可得，； （2）由（1）知， 设， ， 以上两式相减，得， 所以， 即数列的前项和为； （3）由题设可得，要使对任意的正整数，恒有， 即，即恒成立. 当为奇数时，恒成立， 而，故且； 当为偶数时，恒成立， 而，故且， 综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有. 7．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 8．如图，已知圆锥的底面圆的半径，且圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，点是母线的中点，，垂足为边上的点，点在底面圆上，且.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【详解】（1）平面，平面，， 又，平面，， 为中点，为中点，， 又，， ，则， 平面，平面，， ，平面，平面. （2）由（1）知：， 异面直线与所成角即为与所成角，即（或其补角）， 设圆锥母线长为，则，解得：， ，， 平面，平面，， 又，，， 即异面直线与所成角为. （3）平面，，平面， ， ，，， ，则， ， 设点到平面的距离为， 则，解得：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $