专题04 数列 （10大题型）（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题04 数列 题型1 等差数列通项公式的基本量计算（常考点） 题型6 数列与函数的关系 题型2 等差中项的应用 题型7 确定数列中的最大（小）项 题型3 求等差数列前n项和及其最值（重点） 题型8 求数列通项与前n项和的方法（难点） 题型4等比数列基本量计算（常考点） 题型9 与数列有关不等式恒成立问题（难点） 题型5 数学归纳法 题型10 数列新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列基本量计算（共12小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 2．（23-24高二上·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，， 可知数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， 所以， 故选：A. 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】设插入的这个数分别记为、、、， 由等差数列的性质可得， 这个数列的公差为，这个数列所有项的和为， 这个数列的前项的和为， 因为这个数列的前项的和与后项的和之比为， 则，即，解得， 所有，插入数的个数是个. 故选：B. 4．（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列满足，（，），则 ． 【答案】 【详解】因为（，），故为等差数列，公差为1， 所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项，公差，求第项的值为 . 【答案】 【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为： ，当时，即. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】4 【详解】设等差数列的公差为，则由可得，， 故答案为:4. 8．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，， 两式相加得： ， 故答案为：. 9．（23-24高二上·上海静安·期中）在等差数列中，，，，则 ． 【答案】10 【详解】因为为等差数列，所以由等差数列的性质的：， 即：，解得：. 故答案为：10 10．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列，若，则 ． 【答案】 【详解】已知等差数列，所以 则，所以 故. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【答案】 【详解】设，，， 则，. 故，则，，且. 故，，. 则，，故. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故答案为：2 题型二 等差中项的应用（共3小题） 13．（23-24高二上·上海·期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 【答案】3 【详解】因为2，a，成等差数列， 所以， 故答案为：3 14．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知，，是和的等差中项，则的值等于 . 【答案】 【详解】因为是和的等差中项， 故 则， 故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】 【详解】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 题型三 求等差数列前n项和及其最值（共4小题） 16．（23-24高二上·上海长宁·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则为常数， 所以数列为等差数列，首项为. 由已知对任意的恒成立， 可知有，即，解得. 故选：A. 17．（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求及其最小值． 【详解】（1）设的公差为，则， 解得， 所以． （2）由（1）可得， 所以当或时，取得最小值，最小值为． 18．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，∴， ∴，∴. （2）由（1）得. 由二次函数的性质可得：当时，最大. 19．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 【详解】（1）设的公差为d，则，解得， 所以. （2）由（1）可得， 当或时，取得最小值，最小值为. 题型四 等比数列基本量计算（共11小题） 20．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，且数列为等比数列，设其公比为， 则，，. 故选：B. 21．（23-24高二上·上海宝山·期中）实数和的等比中项为 【答案】 【详解】设和的等比中项为，则，解得. 故答案为： 22．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】128 【详解】∵， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 故答案为：128. 23．（24-25高二上·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，、， 所以，所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 24．（23-24高二上·上海闵行·期中）在等比数列中，若，则公比 ． 【答案】 【详解】，， ， 得. 故答案为：. 25．（23-24高二上·上海静安·期中）等比数列的前3项分别为x，，，则 ． 【答案】 【详解】由，，，所以公比为2， 进而，所以， 故， 故答案为： 26．（23-24高二上·上海闵行·期中）等比数列中，已知，，则 . 【答案】2 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：2. 27．（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 28．（23-24高二上·上海·期中）在等比数列中，若，，则 ． 【答案】8 【详解】在等比数列中，，，也成等比数列， 因为，， 所以， 故答案为： 29．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】数列满足，． 整理得，即（常数） 则数列是等比数列，其中首项为2，公比为1． 所以，即． 故答案为：． 30．（23-24高二上·上海·期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 【答案】3 【详解】设等比数列的公比为，首项为，且， 若，则，与题设矛盾，所以. ，解得， 又因为，所以， 所以. 故答案为： 题型五 数学归纳法（共3小题） 31．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 32．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【详解】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 33．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 题型六 数列与函数的关系（共4小题） 34．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 35．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斐波那契数列性质可得中的数字呈现出奇数、奇数、偶数循环的规律， 因此新数列即为按照成周期出现的数列，周期为， 易知，一个周期内的三个数字之和为； 所以数列的前项的和为. 故选：C 36．（24-25高二上·上海·期中）若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是 ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 【答案】②③④ 【详解】对于①②，取，则， 所以对任意实数，数列都是常数列，故①错误②正确； 对于③④， 对于④，令，假设数列是常数列，则， 由可得或， 则或，无法满足， 故假设不成立，即存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列，故③正确； 且实数， 此时，满足数列是常数列，故④正确. 故答案为：②③④ 37．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以， 由指数函数的性质可知，数列为严格增数列： 若，则，所以， 此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由， 该式在时恒成立； 由. 当时，， 又，所以，此时：， 因为，，所以. 即在时成立. 综上可知，的取值范围为：. 题型七 确定数列中的最大（小）项（共3小题） 38．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 39．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 【详解】（1）由题意得，， 因为广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件， 所以，… 于是可得 ， 由等比数列求和可得， ， 所以. （2）由（1）可得，设利润为， 则， 所以当，时， ， 若要使最大，则，代入可得， 故，此时， 所以商家应生产7875件产品且广告费用为5000元时利润最大. 40．（24-25高二上·上海·期中）已知数列满足，对任意正整数、都有. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 【详解】（1）对任意正整数、都有成立，， 所以令，得，， ∴数列（）是首项和公比都为2的等比数列. ∴（）. （2）由，得 ， 故， 所以， 当时，，， 于是，， 当时，； 当时， 又时，， 综上，有，. （3）因为，， 所以， 所以， 数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为. 题型八 求数列通项与前n项和的方法（共9小题） 41．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 【答案】C 【详解】数列中，，，而， 所以. 故选：C 42．（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 43．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则 ． 【答案】 【详解】因为，对任意正整数，，，成等差数列，公差为， 所以 当时，可得， 当时， 所以当时， 故答案为： 44．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 故答案为： 45．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 【答案】 【详解】若，则，因为，所以都大于0， 从而， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为：. 46．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 47．（23-24高二上·上海·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前n项和． 【详解】（1）数列中，，， 当时，，两式相减得， 而，即对任意，， 因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 当为偶数时， ； 当为奇数时，， 所以的前n项和 48．（22-23高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式． 【详解】（1）∵点在直线上，为直线l与y轴的交点， ，， ∵等差数列的公差为1（）， ，. （2）由（1）可得，， ， ， ， . （3）证明：时，， ， ∴数列为等比数列，首项为，公比为2， ，∴． 49．（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【详解】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明：由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 【点睛】方法点睛：（1）利用递推关系证明数列单调性； （2）利用题目中给的条件来构造等比数列求通项. 题型九 与数列有关不等式恒成立问题（共3小题） 50．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取， 则有，因此数列是首项，公比的等比数列， 则，而恒成立，于是， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 51．（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 【详解】（1）设公比为，且， 由可得，解得， 所以，， （2）由于，所以，故，因此为等差数列，且公差为1，故， 由得， 进而可得对任意的恒成立， 令,则， 记，当且仅当时等号成立，但由于，，而，，， 所以，故， ，则 因此，故, 即的最小值为， 52．（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 【详解】（1）依题意，，当时，， 两式相减得，而当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，，， 因此 所以的符号为正. （3）由（2）知数列是单调递增数列，是其最小项，即， 假设存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立， 于是恒成立，则，即， 解得或，取，当时，对于一切正整数，都有恒成立， 所以存在，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立. 题型十 数列新定义问题（共5小题） 53．（24-25高二上·上海·期中）设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 【答案】 【详解】当为偶数，则 当为奇数，则 因此， 当时，， 于是 ， 依题意，，则，为奇数， 又，则， 所以集合中元素的个数． 故答案为： 54．（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若，则由题意得，得， 由得或， 若，由题意得，，得，不可能， 综上所述，， 或 （2）设等差数列的公差为， ， ，， 即，当时，与数列的条件矛盾; 当时，据数列的条件得，， ，即，由得， 即， ； 当时，同理可得，即， 由得，即，， 综上所述，当时，， 当时，. （3）记中非负项和为，负项和为，则， 得，即， 若存在，使，由前面的证明过程知： ， 且， 若数列为数列，记数列的前项和为， 则，， 又， ，， 又，， ， 又与不能同时成立， 数列不为数列. 55．（24-25高二上·上海·期中）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为数列为“3关联数列”，所以前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得 （2）因为数列为“6关联数列”，所以前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列， 则而且，解得， 根据等差，等比数列通项公式可得：， 所以数列前十项列举为：， 则数列前十项列举为： 所以数列前十项列举为： 通过上述列举可猜想对任意正整数n，都有， 证明：当时，由数列列举可得， 当时，， 所以 当时，，所以，而， 所以仍然满足， 综上可得：对任意正整数n，都有； （3）由数列为“r关联数列”，且，则有 且，解得，所以数列通项公式为：， 而当时，， 当时， ， 所以， 当时，由二次函数对称性计算可得： 当时，是一个递增数列，所以要使得，， 则有，即满足， 变形得：， 当，； 当，； 当，； 而当时，， 而当时，，所以，不可能满足， 综合上述使得的k、m为，，， 56．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 57．（24-25高二上·上海嘉定·期中）设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； (2)若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以. （2）由数列的前n项和（），得 时，， 时，， 验证，当时，，成立， 所以 所以，， 因为对任意，，即， 所以，，即是“紧密数列”. （3）由数列是公比为q的等比数列，得， 因为是“紧密数列”，所以. ①当时，，， 因为， 所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意. ②当时，，则. 因为数列为“紧密数列”， 所以，对任意恒成立. （i）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，， 所以，， 所以，当时，，对任意恒成立. （ii）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，. 所以，解得， 又，此时q不存在. 综上所述，q的取值范围是. $专题04 数列 题型1 等差数列通项公式的基本量计算（常考点） 题型6 数列与函数的关系 题型2 等差中项的应用 题型7 确定数列中的最大（小）项 题型3 求等差数列前n项和及其最值（重点） 题型8 求数列通项与前n项和的方法（难点） 题型4等比数列基本量计算（常考点） 题型9 与数列有关不等式恒成立问题（难点） 题型5 数学归纳法 题型10 数列新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列基本量计算（共12小题） 1．（24-25高二上·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·上海闵行·期中）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列满足，（，），则 ． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项，公差，求第项的值为 . 6．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 8．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 9．（23-24高二上·上海静安·期中）在等差数列中，，，，则 ． 10．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列，若，则 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 12．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 题型二 等差中项的应用（共3小题） 13．（23-24高二上·上海·期中）已知2，a，成等差数列，则a的值为 ． 14．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知，，是和的等差中项，则的值等于 . 15．（24-25高二上·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 题型三 求等差数列前n项和及其最值（共4小题） 16．（23-24高二上·上海长宁·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·上海静安·期中）已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求及其最小值． 18．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 19．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 题型四 等比数列基本量计算（共11小题） 20．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（    ）． A． B． C． D． 21．（23-24高二上·上海宝山·期中）实数和的等比中项为 22．（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且，则 . 23．（24-25高二上·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则 24．（23-24高二上·上海闵行·期中）在等比数列中，若，则公比 ． 25．（23-24高二上·上海静安·期中）等比数列的前3项分别为x，，，则 ． 26．（23-24高二上·上海闵行·期中）等比数列中，已知，，则 . 27．（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 28．（23-24高二上·上海·期中）在等比数列中，若，，则 ． 29．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，，则 ． 30．（23-24高二上·上海·期中）等比数列的n前项和为，若，，则 ． 题型五 数学归纳法（共3小题） 31．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 33．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 题型六 数列与函数的关系（共4小题） 34．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 35．（24-25高二上·上海·期中）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被除后的余数构成一个新数列，则数列的前项的和为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·上海·期中）若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是 ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 37．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，若数列为严格增数列，则实数q的取值范围是 . 题型七 确定数列中的最大（小）项（共3小题） 38．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 39．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 40．（24-25高二上·上海·期中）已知数列满足，对任意正整数、都有. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值. 题型八 求数列通项与前n项和的方法（共9小题） 41．（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 42．（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 43．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知数列，对任意正整数，，，成等差数列，公差为，则 ． 44．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 45．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 46．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 47．（23-24高二上·上海·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前n项和． 48．（22-23高二上·上海·期中）已知点在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求的值； (3)若，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式． 49．（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 题型九 与数列有关不等式恒成立问题（共3小题） 50．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 51．（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 52．（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 题型十 数列新定义问题（共5小题） 53．（24-25高二上·上海·期中）设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为 . 54．（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 55．（24-25高二上·上海·期中）设且，数列的各项均为整数，其前n项和为、定义：若满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第项起往后依次成公比为2的等比数列，则称为“r关联数列”； (1)若为“3关联数列”，求； (2)若为“6关联数列”，证明：对任意正整数n，都有； (3)设k、m为正整数且．若为“r关联数列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有满足条件的k、m；若不存在，请说明理由． 56．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 57．（24-25高二上·上海嘉定·期中）设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； (2)若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； (3)设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. $