第5章 二次函数小结与思考 同步练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

第5章二次函数小结与思考同步练习 一、单选题 1．二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 3．若二次函数的图象经过点，则关于的方程的实数根为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．根据表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断一元二次方程的一个根的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 6．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 7．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 8．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④为实数）．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A．B． C．D． 11．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 12．已知二次函数，若关于x的方程在的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知二次函数，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）. 14．二次函数的对称轴为直线 ． 15．如果二次函数的图象经过坐标原点，那么m的值为 ． 16．如图，两条抛物线与分别经过点，，则平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ．    17．已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ． 18．如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离的长是 m，铅球推出的过程中最大高度是 m． 19．二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为 ． 20．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    21．二次函数的图像一部分如图所示，且顶点在第四象限，令，则S的取值范围是 . 22．已知函数的图象上有，，，三点，则的大小关系是 （用“<”连接）． 23．当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为 ． 24．抛物线（是常数）的顶点在第四象限，且． 下列四个结论： ①； ②； ③若，则当时，随的增大而增大； ④若抛物线的顶点为，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论是 ．（填写序号）． 三、解答题 25．已知，，取什么值时，与相等 26．如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 27．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 28．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．设每吨降价x万元，每天的利润为w万元． (1)求w与x的函数表达式． (2)该果商如何定价才能使每天的利润最大？并求出其最大值． 29．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大； (3)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 30．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．D 9．B 10．D 11．D 12．D 解：， 二次函数对称轴为，且二次函数在对称轴处取得最小值， ，且，，离对称轴越远，函数值越大， 当时，二次函数的最大值为， 在时，关于x的方程有解， 即可以看在与在时有交点， ， 故选：D． 13．增大 14． 15．12 16．8 17． 18． 10 3 19．或 20．4 21． 22． 解：当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴． 故答案为：． 23．2或 解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 24．①②④ 解：①抛物线（a、b、c是常数）的顶点在第四象限， ∴， ∵， ∴图象经过， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴，故①符合题意． ②∵， ∴， ∴，故②符合题意． ③∵， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，错误，故③不符合题意． ④∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴有两个相等的实数根， ∵， ∴， ∴， ∵， 整理得：，而函数图象开口向上， ∴有两个不相等的实数根，故④符合题意． 故答案为：①②④． 25．当为1或4时，与相等 解：根据题意得：， 整理得：，即，解得：， 当为1或4时，与相等． 26．/ 解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 27．（1）解： ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）∵， 抛物线有最大值，当时，， 抛物线离对称轴最远，即时，， ∴当时，函数的最大值为16，最小值为0． 28．（1）解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， ∵原本按每吨5万元出售， ∴现在按每吨万元出售， ∵每吨的成本为2万元， ∴每吨的利润为万元， ∵每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨， ∴每吨降价x万元，每天销售量相应增加吨， ∵原本平均每天可售出100吨， ∴现在平均每天可售出吨， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴万元， 答：定价为每吨4.5万元时，才能使每天的利润最大，最大利润为万元． 29．(1) (2)，销售价为18元时，每天的销售利润最大 (3)15元 （1）解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得 ， 解得：， ∴　y与x之间的函数关系式； （2） 对称轴，在对称轴的左侧w随着x的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，w最大． 即当销售价为18元时，每天的销售利润最大． （3）由 整理得： 解得或（不合题意，舍去） 即：销售价应定为15元． 30．（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 学科网（北京）股份有限公司 $