精品解析：甘肃省定西市岷县2025-2026学年上学期第一次学业水平检测九年级数学试题

岷县城关初级中学2025年秋季第一次学业水平检测试卷 九年级数学 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误； B、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误； C、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( ) A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2 【答案】A 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可． 【详解】方程整理得：x2−3x+10=0， 则a=1，b=−3，c=10. 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式. 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”． 4. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为 A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程的解法,根据题意可得: 2x2+1+4x2－2x－5=0,解方程可得:,. 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=121，解方程即可求解． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121 解方程得(舍去) 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用解题的关键是读懂题目，，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解． 6. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论①，②，③，④其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析函数图象，根据图象的开口方向、对称轴的位置进行判断是解题的关键． 根据开口方向可判断的大小，根据对称轴的位置可判断出的大小，根据图象与轴的交点可判断出的大小，根据函数图象与轴的交点个数可判断出的大小． 【详解】开口方向向下， ，故错误； 由图象可知，对称轴在轴右侧， ，异号， ， ，故正确； 由图象可知，函数图象与轴正半轴相交， ，故正确； 由图象可知，函数图象与轴有2个交点， ，故正确； 综上所述，正确的有②③④． 故选． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 12. 抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了抛物线性质，抛物线的对称轴为直线据此即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 故答案为：直线． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程计算求出的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握一元二次方程解的概念是解题的关键． 14. 关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则实数k的取值范围为_____． 【答案】k≤0 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根和根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 15. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________． 【答案】12 【解析】 【详解】试题分析：解方程，得，， ∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12． 考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系． 16. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 三、解答题（本题共6小题，共39分） 17. 解方程 （1） （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法等知识，根据方程特点选择不同解法，达到简化运算目的是解题关键． （1）整理为一般形式，用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）将方程变形，之后用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， 则或 所以，． 18. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？ 【答案】14 【解析】 【分析】设这个小组共有名同学，根据将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个小组共有名同学， 由题意可得： 整理得：， 解得：，（负值舍去）， 答：这个小组共有14名同学． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系式，列出方程． 19. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数． 【答案】62. 【解析】 【详解】试题分析：首先根据“个位上的数字比十位上的数字少4”这句话设十位数字为x，则个位数字为x－4，分别表示出原来的两位数和个位、十位交换后的两位数，列方程求解. 试题解析：解：设原数十位数字为x，个位数字为(x－4)，则原数为10x＋(x－4)；交换位置后新数为10(x－4)＋x.由题意得[10x＋(x－4)]×[10(x－4)＋x]＝1612，整理得x2－4x－12＝0，解得x1＝6，x2＝－2.数字－2不合题意，应舍去，∴x＝6，x－4＝2，∴原来这个两位数是62. 点睛：若个位上数字为a，十位上数字为b，则这个两位数为：10b+a. 20. 如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，求小路的宽应为多少m． 【答案】2米 【解析】 【分析】先把两条小路平移靠长方形的边，设小路的宽应为m，则空白部分长方形的长为m，宽为m，再利用栽种花草的面积是55m2，列方程，解方程并检验即可. 【详解】解：如图，把两条垂直的小路通过平移得到如下图形， 设小路的宽应为m，则空白部分长方形的长为m，宽为m， 则 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，取 答小路的宽应为2米. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用平移的性质与利用一元二次方程解决图形面积问题”是解本题的关键. 21. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可； （2）令，得到关于x的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 这条抛物线与x轴的交点坐标为，． 22. 已知抛物线的顶点坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当x满足什么条件时，y的值随x的增大而增大？ 【答案】（1）； （2）当时，y的值随x的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 所以当时，y的值随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 四、解答题（本题共5小题，共33分） 23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件．商店想在让顾客实惠的同时还要使月销售利润达到240元，每件玩具应涨价多少元？ 【答案】涨价3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“单件利润×销售件数=总利润”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每件玩具应涨价x元， 由题意得，， 解得：（舍去），或， 答：每件玩具应涨价3元． 24. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有实数根； （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 25. 阅读下列材料： 解方程：． 解：①当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； ②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； 综上所述，原方程的解为，． 仿照上边例题的解法，解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】参照例题解法，分和两种情况，去绝对值后分别解一元二次方程即可． 【详解】解：， ①当，即时，．即，解得，； ②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 综上所述，原方程的解为，． 【点睛】本题考查解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是看懂例题的解法，通过分类讨论将原方程中的绝对值去掉． 26. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 27. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岷县城关初级中学2025年秋季第一次学业水平检测试卷 九年级数学 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( ) A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为 A. －1或 B. 1或 C. 1或 D. 1或 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人． A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 6. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论①，②，③，④其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝ax＋2b（ab≠0）的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如果函数是关于x的二次函数，则________． 12. 抛物线的对称轴是______． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为_____． 14. 关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则实数k的取值范围为_____． 15. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为________________． 16. 若，则_______． 三、解答题（本题共6小题，共39分） 17. 解方程 （1） （2）； （3）． 18. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？ 19. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数． 20. 如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，求小路的宽应为多少m． 21. 已知二次函数． （1）用配方法将解析式化为的形式； （2）求这个函数图象与x轴的交点坐标． 22. 已知抛物线的顶点坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当x满足什么条件时，y的值随x的增大而增大？ 四、解答题（本题共5小题，共33分） 23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件．商店想在让顾客实惠的同时还要使月销售利润达到240元，每件玩具应涨价多少元？ 24. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 25. 阅读下列材料： 解方程：． 解：①当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； ②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； 综上所述，原方程的解为，． 仿照上边例题的解法，解方程：． 26. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． （1）填空：___________，___________；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 27. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $