22.1.2　二次函数y＝ax2+k的图象和性质学案 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y＝ax²与y＝ax²＋k的图象和性质，课堂导入以复兴号隧道抛物线问题联系实际，引导学生从已学的y＝ax²过渡，通过自主学习的列表描点连线搭建支架，梳理知识脉络。 其特色在于融入现实情境培养数学眼光，通过动手列表描点发展运算能力与推理意识，习题设计强化数形结合，助力学生理解平移规律，提升数学思维与应用意识，促进自主探究与知识内化。

XXX中学学案 姓名 班级 学科 数学 完成情况 课题 22.1.3　二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 学习目标 1.会画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象． 2．理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．了解二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律. 4．会用“数形结合”的思想比较二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的解析式、函数对应表和图象关系. 学习关键 重点 画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质. 难点 对二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律. 学习过程 【课堂引入】 复兴号电力动车组 是中国自主研发、具有完全 知识产权的新一代高速列车，集成了大量国产 高新技术，牵引、制动等关键技术突破显著. 适应高原、高寒、风沙等多样环境.其通行隧道可 看作抛物线，你能计算出隧道的高度吗？ 【自主学习】 问题一：如何画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象呢？ x … … y＝2x2＋1 … … y＝2x2－1 1．列表： 2.描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来. 3.连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状. 问题二：观察二次函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的图象， y＝2x2＋1的图象可以看成是将y＝2x2－1的图象向 平移 单位长度得到的. 问题三：(1)抛物线y＝2x2＋1和y＝2x2－1的开口 、对称轴 、顶点 顶点坐标分别是 、 （2）抛物线y＝2x2＋1和y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么关系？ 把抛物线 向 平移 单位长度得到抛物线y＝2x2＋1，向 平移 单位长度得到抛物线 . （3）抛物线y＝ax2＋k和y＝ax2有什么关系？ 开口方向 ，对称轴都是 ，顶点 ，顶点坐标分别是 ， . 当k>0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线 向 平移 个单位长度得到的；当k<0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向 平移 个单位长度得到的. x … 0 1 2 … y … … 【合作探究】 例1.已知二次函数． (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【巩固训练】 1.下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 2.二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 3.抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4.已知A(－1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y＝ax2－1(a＞0)的图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是 ．(用“＜”连接) 【课堂检测】 1.抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2.抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 3.已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则下列说法错误的是（　　） A．y1＝y2，则x1＝﹣x2 B．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 C．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D．抛物线的对称轴是y轴 4.抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 5.已知，在平面直角坐标系中，二次函数的顶点，且过点． （1）求二次函数解析式; （2）这个函数图象有最高点还是最低点？顶点的坐标是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $