学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷（北师大版）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D A D… 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C D A C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．或或（写其中一个即可） 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为.（6分） （2）， ∴ .（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为．（6分） （2）由（1）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，，（10分） 所以.    所以△ABO的面积．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即.（7分） （2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由余弦定理，有， 因为，即， 所以， 因为底面平面， 所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面.（5分） （2）（i）连接， 因为平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，同理，有， 因为底面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，因此，有， 所以为四棱锥的外接球的球心.（8分） 按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，由，有， 又，所以是正三角形， 有，易知， 设，则，有， 因为，所以， 有，得， 即，有， 故四棱锥的外接球的半径为.（12分） （ii），得， 设平面的法向量为， 由有 则，取，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由有 取，则， 得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ． 同理，，，． 该性质成立；（5分） （2）（i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ．（8分） 令，则． 当时，， 当且仅当，即时取等号，得， 所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为； 当时，面积的最大值为．（12分） （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ， ，， 因为，所以． 点在定直线上．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 3．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．0 B．或0 C．0或 D． 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 6．若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 10．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 ．只需写出符合条件的一个方程即可 13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则△AOB面积的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求． 16．（15分） 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 3．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．0 B．或0 C．0或 D． 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 6．若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 10．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 ．只需写出符合条件的一个方程即可 13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则△AOB面积的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求． 16．（15分） 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线⊥轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D．不存在 1．【答案】B 【解析】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 2．【答案】D 【解析】方程变形可得， 因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：D. 3．若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．0 B．或0 C．0或 D． 3．【答案】C 【解析】由题意得，解得或. 故选：C. 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．【答案】D 【解析】由题意，， ， 则， 故选：D. 5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 5．【答案】A 【解析】设，由抛物线的定义可知， 所以，代入抛物线的方程中得到， 由几何关系可知，. 设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，解得， 所以的外接圆面积为. 故选：A. 6．若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】C 【解析】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 7．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线斜率为，且和反射光线PE互相垂直（其中P为入射点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．【答案】D 【解析】因为入射光线斜率为，所以，又，， 所以，又， 所以. 故选：D. 8．如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 8．【答案】B 【解析】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 9．【答案】BC 【解析】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 10．【答案】ABC 【解析】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC. 11．已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，直线的斜率，，两点在轴上方，为坐标原点，则下列结论中正确的是（   ） A． B．四边形面积的最小值为 C． D．若，则直线的斜率为 11．【答案】ACD 【解析】如下图所示： 易知，设， 则直线的方程为，其中， 联立，整理可得， 可得， 对于A，设，易知直线的斜率为，方程为； 同理可得 所以 ，可知A正确； 对于B，由焦点弦公式计算可得， 因为，可得四边形面积为 ， 所以四边形面积的最小值为，即B错误； 对于C，由B可知，即C正确； 对于D，若，可得 ， 即可得，解得，即或（舍）； 因此直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 即直线的斜率为，即D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程 ．只需写出符合条件的一个方程即可 12．【答案】或或（写其中一个即可） 【解析】设圆心，由已知圆与直线：相切，圆与圆：相切， 可得，解得或或， 圆的方程为或或．（写其中一个即可） 故答案为：或或（写其中一个即可） 13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 13．【答案】 【解析】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为：. 14．已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则△AOB面积的最小值是 ． 14．【答案】 【解析】设， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减得， 即是过切点的直线方程， 则，所以， 又因为点到直线的距离， 所以， 又因为在点P在椭圆上， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即△AOB面积的最小值是.    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求． 15．（13分） 【解析】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ ． 16．（15分） 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 16．（15分） 【解析】（1）由题可知：.    当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． （2）由（1）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以.    所以△ABO的面积． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点，边上的中线所在的直线方程为. (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 17．（15分） 【解析】（1）设， 则,即①，②， 又直线与直线垂直，所以，即③， 联立②③解得， 又④，联立①④解得， 所以直线的方程为，即. （2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤， 联立①⑤求解可得， 则直线方程为，即， 设直线的方程为，则 在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为， 即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值． 18．（17分） 【解析】（1）由余弦定理，有， 因为，即， 所以， 因为底面平面， 所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）（i）连接， 因为平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，同理，有， 因为底面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，因此，有， 所以为四棱锥的外接球的球心. 按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接，由，有， 又，所以是正三角形， 有，易知， 设，则，有， 因为，所以， 有，得， 即，有， 故四棱锥的外接球的半径为. （ii），得， 设平面的法向量为， 由有 则，取，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由有 取，则， 得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则．求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为．椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． (1)证明椭圆的光学性质； (2)如图，过的直线交椭圆于，两点（非左右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）求证：椭圆在，两点的切线的交点在定直线上． 19．（17分） 【解析】（1）当时，，，性质成立； 当时，，，， 因为点在椭圆上，所以，， 设与直线，的夹角分别为，，则 ． 同理，，，． 该性质成立； （2）（i）设，，， 所以，消元得， 所以， 所以 ． 令，则． 当时，， 当且仅当，即时取等号，得， 所以的最大值为； 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为； 当时，面积的最大值为． （ii）设两条切线的方程分别为，，消去得： ， ，， 因为，所以． 点在定直线上． / 学科网（北京）股份有限公司 $