学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷01（天津专用，人教A版）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第一节。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 6．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 7．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 9．用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（    ）    A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知在直线上，则的最小值为 ． 11．直线与圆相交所得的弦长为 ． 12．已知，，则向量在向量上的投影向量是 ． 13．若过点作直线与圆：相切，则切线长为 ，直线的方程为 ． 14．如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 ． 15．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知的顶点坐标为，，． （1）求边上的高的长； （2）求的面积． 17．（15分） 已知点是圆上任意一点． （1）求点到直线的距离的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值． 18．（15分） 如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为． （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，证明：BC⊥平面； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在一点N，使平面与平面 夹角为，若存在，求的长．若不存在，说明理由 19．（15分） 已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的坐标； （3）求四边形的面积的取值范围． 20．（16分） 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为为椭圆上一点，且． （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，试判断是否为定值，如果是定值，求出定值，若果不为定值，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 7[A][B][C[D] 2[A[B][C[D] 5[A[B][C]D] 8[A[B][CD] 4 3[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A[B][C[D] 闻 二、 填空题（每小题5分，共30分） 10 11 12 3 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) N D 、 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 4 5 6 8 9 C B D D 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.3 11.25 13.3;y=1或3x+4y-4=014.①②④ 15.4+45 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(14分) 【详解】)由题意，直线B的方程为：2即r+3打-2=0一 故点C到直线AB的距离即为AB边上的高CD的长， D B 所以1CD3+3x4-2-130 (8分) √1+9 10 (2)因为|AB=√9+1=V10, 所以BC的面积为：Se=引8C0×0x1B (14分) 10 Γ2 17.(15分) 1/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)由题意，圆心为(-2,0)，半径r=1, 则圆心到直线3x+4y+12=0的距离为d=13×(-2)+4×0+12!-6 V32+42 >1. 5 11 P点到直线3+4y+12=0的距离的最大值为d+r=;+1=5,最小值为d-r 6 61-51 1 (7分) (2)方法一：设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点， -2-≤1，解得-5-2≤135-2， V12+(-2)2 则=V5-2,n=-2-V5,即x-2y的最大值为V5-2,最小值为-2-5. (15分) 方法二：设x=-2+cos0,y=sin0,则x-2y=-2+cos0-2sin0=-2-√5sin(0-p), 其中0=，则-2-5≤x-2y≤-2+5， 即x-2y的最大值为√5-2，最小值为-2-√5， (15分) 18.(15分) 【详解】(1)设点A到平面PBC的距离为，由四面体P-ABC的体积为号，△PBC的面积为2√2，得 }xh=写25A=号解得h=反， 3 而AD/BC,BCC平面PBC,AD平面PBC,则ADII平面PBC, 所以点D到平面PBC的距离为2 (5分) (2)取PB的中点F,连接AF,由AP=AB,得AF⊥PB,由平面PBC⊥平面ABP, 平面PBC∩平面ABP=PB,AFC平面ABP,得AF⊥平面PBC,即AF=h=√2， 则AP=AB=2,BP=2√2，由AF⊥平面PBC,BCC平面PBC,得AF⊥BC, 又PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,则PA⊥BC,而PAOAF=A,PA,AFC平面ABP, 因此BC⊥平面ABP, (10分) (3)存在：NC=√5 由(2)知，又AB,PBc平面ABP,则AB⊥BC,PB⊥BC, 而△PBC的面积为2√2，BP=2√2，则BC=2,AD=4,PC=25, 由ADI1BC,得AD⊥AB,以A为原点，直线AB,AD,AP分别为xy,z轴建立空间直角坐标系， 2/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B 则A0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),设CN=1CP(0≤1≤1， 则N(2-2元，2-22,22)，BC=(0,2,0),PB=(2,0,-2),AB=(2,0,0), AN=(2-21,2-21,21), 设平面BNC的法向量为i=(x,y1,), PB.i=2x-2z1=0 则 ，取z1=1,得i=(1,0,1）, BC.i=2y=0 设平面ABN的法向量为m=(x2,y2,2), AB.m=2x2=0 则 AN.m=(2-2)x2+(2-22)y2+22z2=0 取y2=21,得m=(0,22,21-2), 21-2 cos(m,)= 22V2-22+,由平面48N与平面BNC的夹角为60， 符万272中解-即N为PC的中点， 1-λ 1 所以NC=√5 (15分) 19.(15分) 【详解】(1)由题可知c=√a2-b=2,即a2-b2=4, 若MF=NF,，且MF/NF2,则此时ME⊥x轴， 所以，阿即导+号1，将84 a b2 b2 质以C的方程为了+号1 (4分) (2)设M(x,),y1>0,N(x2,y2),y2>0, 3/5 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -2-x=3(2-),解得 X2= +8 3 由题可知MF=3NF,则 -y1=-3y2 += x2+2y-8=0 84 因为两点M,N在椭圆C上，所以 ,所以 +8)2 84 [x+22-8=0 (x+8)2+2-72=0解得=0，y=2,所以M的坐标为0,2). 即 (9分) (3)设M(x,y,y>0,N(x2,y2),y2>0,F(-2,0),F(2,0), 则V关于原点的对称点N(5,y),即5=- =-2 由FM=(x+2,y),F2N=(x2-2,2),MF/1NF,得x1+2)y2=(x2-2y1, 则-x1+2)y=(-x-2)y1,即(x1+2)y3=+2)y, 则FM∥FN,则M,F,N'三点共线， 又aNOF=△N'OF,得NF=N'F, x=y-2 设MW':x=my-2,联立 ￡+上-1得(m+2y-4my-4=0, 84 47m 则△=32(m2+1),乃+⅓= m2+2’3= 4 m2+21 则MN1=1+m2y-为=1+m /4m21642(m2+1 m2+2+m2+2 m2+2 ME+NE-E+NIMN1-4V2+1 m2+2 又点到直线MN'的距离d=√+ 则楼形MEF的面积S=R+N5d-85, m2+2 令1=√m2+1≥1，则2+1=m2+2, 1 ≤4W5,当1=1即m=0时等号成立， t 4/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故S的取值范围为0,4√2] (15分) M 20.(16分) 【详解】(1)由题意知，√x-1)2+y2+√x+1)2+y=2W2,则PF+|PF,=2V2, 由椭圆的定义知2a=2√2，所以a=√2，又c=1, 所以公=心-d产1，所以裤圆E的方程为号+=1 (5分) (2)易知直线CD的斜率不为0，设其方程为x=y-1,C(x,y),D(x2,y2), 1x+y.得（m2+2)2-2my-1=0, 2 x=my-1 则+22得* 2m 又A(-V2,0),B(V2,0),C在x轴上方，所以k>0, 万万 龙2-V2, 将会：语-8-*0+ 导无%+g-1+2m4-0-2加m( 2-v2 0+)-1-V2) -6+22)y+y 0+2ex+3252.6+2g+B-2l3+2w5 片+(3-2W2)y2 片+(3-2V2)y2 片+(3-2V2)y2 所以点为定值3+2N5 k (16分) B 5/5 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第一节。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 6．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 7．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 9．用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（    ）    A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知在直线上，则的最小值为 ． 11．直线与圆相交所得的弦长为 ． 12．已知，，则向量在向量上的投影向量是 ． 13．若过点作直线与圆：相切，则切线长为 ，直线的方程为 ． 14．如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 ． 15．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知的顶点坐标为，，． （1）求边上的高的长； （2）求的面积． 17．（15分） 已知点是圆上任意一点． （1）求点到直线的距离的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值． 18．（15分） 如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为． （1）求点到平面的距离； （2）若，平面平面，证明：BC⊥平面； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在一点N，使平面与平面 夹角为，若存在，求的长．若不存在，说明理由 19．（15分） 已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的坐标； （3）求四边形的面积的取值范围． 20．（16分） 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为为椭圆上一点，且． （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，试判断是否为定值，如果是定值，求出定值，若果不为定值，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第一节。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 3．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形为，根据题意可得，计算即可得答案. 【详解】方程变形可得， 因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：D 6．已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 7．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 9．用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（    ）    A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等 C．所得椭圆的离心率 D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有 【答案】D 【分析】根据题意利用椭圆定义可判断AB；结合图形的几何特征利用椭圆的离心率定义可判断C；结合图形的几何特征利用解三角形可判断D. 【详解】设P为截口曲线的椭圆的一点，如图，过点作线段分别与球切于点， 故有， 由椭圆定义可知，该椭圆以，为焦点，为长轴长，故B正确．    设椭圆长半轴长为，半焦距为，设O为的中点， 与球切于点，，，故， 有，则 即椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等，故A正确． 由题意可得，则，故C正确． 由题意知（这是因为）， 则，故， 即，故D错误． 故选：D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】利用两点间距离公式，将最值转化为原点到直线距离即可. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 11．直线与圆相交所得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 12．已知，，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 13．若过点作直线与圆：相切，则切线长为 ，直线的方程为 . 【答案】 3 或 【分析】过点作圆的一条切线，切点为，利用切线长定理求解；根据题意设直线：，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】解：如图： 过点作圆的一条切线，切点为，连接，，则三角形为直角三角形，且，而，， 所以，则. 依题意斜率存在，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为， 整理得，解得或， 故直线的方程为或. 故答案为：3，或 14．如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②的最小值为； ③不存在点E，使得与所成的角为45°； ④面积的取值范围为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对①，根据高和底面均为定值可判断；对②，转化到同一个平面，利用余弦定理计算；对③，建系，利用夹角公式进行判断；对④，表示出点到直线的距离，然后用面积公式计算判断. 【详解】对①，点到平面的距离是定值，为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确； 对②，将平面沿着旋转到平面，如图： ，，则， 所以，， 所以， ，正确； 对③，建立空间直角坐标系： ，设， 所以， 若与所成的角为45°，则（舍）， 所以存在点E，使得与所成的角为45°，错误； 对④，设，， 所以，点到直线的距离为， 由，当时，有；当时，有. 所以面积，正确. 故答案为：①②④ 15．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值. 【详解】设圆心到直线的动点的距离为， 根据点到直线距离公式，. 因为，是圆的切线，所以（其中）. 又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即. 的周长为. 因为是圆的弦，且和全等，所以. 根据三角形面积公式，（其中是圆的半径）， 可得，所以， 则的周长. 因为与均在上单调递增， 所以当时，周长取得最小值. 最小值为. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解； （2）求出的长，用面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即. 故点到直线的距离即为边上的高的长，    所以. （2）因为 ， 所以的面积为：. 17．（15分） 已知点是圆上任意一点． （1）求点到直线的距离的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 18．（15分） 如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为. (1)求点到平面的距离； (2)若，平面平面，证明：BC⊥平面 (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在一点N，使平面与平面 夹角为，若存在，求的长.若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用等体积法计算，结合线面平行得出点到平面距离； （2）由平面平面性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理证明； （3）应用空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算求参. 【详解】（1）设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，得，解得， 而平面平面，则平面， 所以点到平面的距离为. （2）取的中点，连接，由，得，由平面平面， 平面平面平面，得平面，即， 则，由平面平面，得， 又平面平面，则，而平面， 因此平面， （3）存在： 由（2）知，又平面，则， 而的面积为，，则，， 由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则， 取，得， ，由平面与平面的夹角为， 得，解得，即为的中点， 所以. 19．（15分） 已知分别是椭圆的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的坐标； (3)求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标可得，再结合及轴可得，解方程组即可求解椭圆方程； （2）设，，由题可知，根据向量坐标运算得，又，解方程组即可求解的坐标. （3）设关于原点的对称点，进而由平行关系判断三点共线，再设直线的方程，与椭圆方程联立，将转化为，再求点到直线的距离，然后利用梯形的面积公式求，最后通过变形利用基本不等式可求最大值即可. 【详解】（1）由题可知，即， 若，且，则此时轴， 所以，即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，， 由题可知，则，解得， 因为两点在椭圆上，所以，所以， 即，解得，所以的坐标为. （3）设，，，， 则关于原点的对称点，即， 由，，得， 则，即， 则，则三点共线， 又，得， 设，联立得， 则，，， 则， 则， 又点到直线的距离， 则梯形的面积， 令，则， 则，当即时等号成立， 故的取值范围为.    20．（16分） 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，试判断是否为定值，如果是定值，求出定值，若果不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义可知，即可求解； （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式化简计算可得，即可下结论. 【详解】（1）由题意知，，则， 由椭圆的定义知，所以，又， 所以，所以椭圆的方程为； （2）易知直线的斜率不为0，设其方程为，， ，得， 则，得， 又，在x轴上方，所以， 由， 得 ， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． / 学科网（北京）股份有限公司 $