第十五章 轴对称 素养测评卷-【优品单元卷】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步试卷（人教版2024）

●第十五章素养测评卷 (2)①·DE是边BC的垂直平分线，.BD=DC 1.C2.C3.D4.C5.D6.C7.C8.D9.D AB=4,AC=7, 10.A解析：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村 .△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+DC+ 庄B的路程最短，只要AV+BM最短即可 AD=AB+AC=4+7=11. AA'垂直于河岸12，AA'=d, ②，BD=CD,.∠DBC=∠C. 连接BA',与另一条河岸相交于点M,过，点M作 ,∠ADB=∠DBC十∠C=52°，.∠DBC=26°. MN⊥直线I1, 19.解：(1)如图，△A1B,C1即为所求作. 由平移的性质，知MN∥AA',且MN=AA'=d, y个 MA'=NA, 4 根据“两点之间，线段最短”，所以BA'最短，即AN十 3 2 BM最短.故方案一符合题意.故选A. 1A: 11.-112.1713.(1,0)14.15°15.6 -543-2-1012.3.4.5 16.45°或90°或0°解析：△PCD是等腰三角形， -1A 2 B ∠PCD=120°-∠a,∠CPD=30°， 3 ①当PC=PD时， 5 ∠PCD=∠PDC=180°-30 =75° 点C1的坐标为(2，-3). 2 (2)y轴(-2,3) .120°-∠a=75°..∠a=45° ②当PD=CD时，.∠PCD=∠CPD=30. (8)S446,=8X2-7×1X2-7×1X2 2大 .120°-∠a=30°..∠a=90° 1×3=2.5. ③当PC=CD时，∴.∠CDP=∠CPD=30. .△A1B1C1的面积为2.5. .∠PCD=180°-2X30°=120° 20.解：(1)AB=AC,∠BAC=120°， 120°-∠a=120°..∠a=0°.此时，点P与点B重 合，点D与点A重合. ∠B=∠C-2X180-∠BAC)=0 综上所述，当△PCD是等腰三角形时，∠a=45°或 DE是AB的垂直平分线， 90°或0°.故答案为45°或90°或0. .DA=DB..∠BAD=∠B=30°. 17.解：作轴对称图形如图所示.（答案不唯一） (2),DE是AB的垂直平分线， .'DA=DB=2 cm. ∠BAC=120°，∠BAD=30°， .∠CAD=∠BAC-∠BAD=90 又∠C=30°，.CD=2AD=4cm. 图1 图2 ∴.BC=CD+DB=6cm. 21.解：(1)AD是△ABC的中线，AB=AC, .AD⊥BC. ,△ABC的面积是20，且BC=4, 图3 图4 18.解：(1)如图，DE即为所求作. ÷2BCAD=20.∴2×4XAD=20.∴AD=10. (2)AD⊥BC,∠CAD=20°， .∠ACD=90°-∠CAD=70. :CE是△ABC的角平分线， ∠ACE=3∠ACB=8S ·79. 22.解：(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C 【拓展延伸】如图，作出点M关于OA的对称点M', BE=CF, 点M关于OB的对称点M",连接M'M”,交OA于点 在△DBE和△ECF中，∠B=∠C, P,交OB于点Q,此时△MPQ的周长最小. BD=CE, ∴.△DBE≌△ECF(SAS). .DE=EF. △DEF是等腰三角形. (2)如图，标注各角. 期中自主评价卷。 ,△DBE≌△ECF, 1.D2.D3.D4.B5.B6.A7.C8.D9.B .∠1=∠3，∠2=∠4. 10.A解析：如图，标注EH与AD交于点M. .∠A+∠B+∠C=180°， .∠ACB=45°，BE⊥AC, ∠B-2×180-40)=70 ∴.∠EBD=90°-∠ACD=45. 故①正确； ∠1+∠2=180°-∠B=110° .AD⊥BC,∠EBD=45°， .∠3+∠2=110°. R .∠BFD=45..∠AFE=∠BFD=45 .∠DEF=180°-（∠3+∠2）=70. BE⊥AC,∴.∠FAE=∠AFE=45 23.证明：(1)AB=AC,AD⊥BC, ∴.△AEF为等腰直角三角形 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC. ,EM是∠AEF的平分线， .∠BAC=120°， .EM⊥AF,AM=MF,即EH为AF的垂直平分线. ∠BAD=∠DAC-2×120=60 ∴.AH=HF.故②正确； :AD⊥BC,∠ACD=45°， AD=AB,∴.△ABD是等边三角形. ∴.△ADC是等腰直角三角形. (2),△ABD是等边三角形， ∴.AD=CD.同理，BD=DF. ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD. AD-CD, ,∠EDF=60°，∴∠ADB=∠EDF, 在△ABD和△CFD中，∠ADB=∠CDF, .∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE. BD=FD, ∴.∠BDE=∠ADF. .△ABD≌△CFD(SAS).故③正确； ∠DBE=∠DAF=60°， .△ABD≌△CFD,∴.AB=CF. 在△BDE与△ADF中，BD=AD, ,CH=CF+HF,由②知HF=AH, ∠BDE=∠ADF, .CH=AB十AH.故④正确； ∴.△BDE≌△ADF(ASA). :BD=DF,CD=AD,又：DF=AD-AF, ..BE=AF. .BD=CD-AF.故⑤正确. 24.解：【解决问题】证明：如图3，在直线1上另取任一点 综上所述，正确的结论有5个.故选A. E,连接AE,BE,DE 11.三角形具有稳定性12.7.513.125°14.14 直线l是点B,D的对称轴，点C,E在直线l上， 15.2.4解析：如图，作点Q关于AD的对称点Q',连接 ∴.CB=CD,BE=DE. PQ',CQ',过，点C作CH⊥AB于点H. ∴.AC+CB=AC+CD=AD, ,AD是△ABC的角平分线， ,在△ADE中，AD<AE十DE(三角形的两边之和 点Q与点Q'关于AD对称， 大于第三边)， ∴.点Q'在AB上，PC+PQ ∴.AC+CB<AE+DE,即AC+CB最小. PC+PQ'≥CH. 故答案为CD,DE,AD. AC=3,BC=4,AB=5, ·80· ZAC·BC=AB.CH. 17.解：(1)点A关于x轴对称的点的坐标为(2，一3)；点 B关于y轴对称的点的坐标为（一4,2）. .CH=2.4.CP+PQ≥2.4. 故答案为(2，-3)；（一4,2）. PC+PQ的最小值为2.4.故答案为2.4. (2)如图，△A'B'C'即为所求. 16.①②③④解析：如图，过点P作PD⊥AC于点D. y ①：BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE, PN⊥BC,PD⊥AC, ∴.PM=PN,PM=PD ..PM=PN=PD. 543-2-1小 又，PN⊥BC,PD⊥AC, .CP平分∠ACF. CN 故结论①正确； 18.解：(1)证明：ABCF,.∠A=∠FCE. ②.PM⊥BE,PN⊥BC, I∠A=∠FCE, ∴∠PMB=90°，∠PNB=90°. 在△ADE和△CFE中，∠AED=∠CEF, 又：∠ABC+∠PMB+∠MPN+∠PNB=360°， DE-FE, ∴.∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°. .△ADE≌△CFE(AAS). .∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180° (2)由(1)可知，△ADE≌△CFE, (PM=PD, 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ..AD=CF. PA=PA, CF=5,.AD=5. .Rt△PAM≌Rt△PAD(HL). .BD=AB-AD=9-5=4. ∠APM=∠APD..∠MPD=2∠APD. BD的长为4. 同理可得Rt△PCD≌Rt△PCN(HL), 19.解：(1)证明：如图，标注各角. .∠CPD=∠CPN..∠NPD=2∠CPD. FG∥AE, B 71 ,∠APC=∠APD+∠CPD, .∠2=∠3. .∠MPN=2∠APC. ∠1=∠2， 又：∠ABC+∠MPN=180°， .∠1=∠3 23入 E GD ∴∠ABC+2∠APC=180°.故结论②正确； .AB//CD. ③：∠CAE是△ABC的外角， (2).AB∥CD,.∠ABD+∠D=180° .∠CAE=∠ABC+∠ACB. ,∠D=100°， ∠PAM是△ABP的外角， .∠ABD=180°-∠D=80°. ∠APB+∠ABP=∠PAM BC平分∠ABD, :AP平分∠CAE,BP平分∠ABC, ..∠CAE=2∠PAM=2∠PAC, ∴∠4=号∠ABD=40 ∠ABC=2∠ABP=2∠CBP. ,FG⊥BC,∠1+∠4=90. .∠ABC+∠ACB=∠CAE=2∠PAM. .∠1=90°-40°=50°. .∴.∠ACB=2∠PAM-∠ABC=2∠PAM-2∠ABP. 20.解：(1)根据题意，得∠BAC=90°-75°=15°，∠CBE ∠ACB=2∠APB.故结论③正确： =90°-60°=30°，AB=15×(10-8)=30(海里). ④由②可知AM=AD,CD=CN, ∴.∠C=∠CBE-∠BAC=30°-15°=15°. .AC=AD+CD; .∠BAC=∠C. .AM+CN=AC.故结论④正确. .BC=AB=30海里. 综上所述，正确的结论是①②③④.故答案为①②③④. 答：B处到灯塔C的距离为30海里. ·81第十五章素养测评卷 (满分：120分时间：100分钟) 八年级上 人教版 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(湖北中考)现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴 对称图形的是 A遇 B见 c美 D.好 2.(海南中考)如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于号BC的长为半径画 弧，两弧相交于M,N两点，作直线MN,交边AC于点D,连接BD,则∠ADB的度数为( A.40 B.50 C.80 D.100° 和 M 米N CN C 第2题图 第3题图 3.(淄博期末)如图，若△ABC与△A,B,C1关于直线MN对称，BB,交MN于点O,则下列说法 不一定正确的是 () 救 A.AC=AC B.BO=BO C.CC,⊥MN D.AB∥B,C 4.(湖北中考)若点P(a十1,2一2a)关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表 示为 A.1 D. 5.(济宁期末)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上，连接BE, CE.若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为 ) A.18° B.20° C.30° D.15 笨 C D 150° h B D B A B 第5题图 第6题图 第7题图 6.(内蒙古中考)如图，直线a仍，直线1与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上，且CA =CB.若∠1=32°，则∠2的度数为 ) A.32 B.58 C.74 D.75 ☒ 7.[新情境试题]（唐山期末）如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图.其中 AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线.若∠ABC=150°，BC=10m,则乘电梯从点B到点 C上升的高度h是 () A.33m B.4√2m C.5m D.5√3m 。19。 8.[一题多解]（青海中考）若等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是() A.55°，55 B.70°，40°或70°，55° C.70°，40° D.55°，55°或70°，40° 9.(杭州期末)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, ∠A=∠ABE.若AC=10,BC=6,则BD的长为 A.5 B.3 DA C.4 D.2 10.[新情境试题]（烟台期末）如图，直线l1,l2表示一条河的两岸，且11亿2，两岸间的距离为d.现 要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种 设计方案，下列说法正确的是 () 方案一： 方案二： B .B M B ①将点A向上平移d得到点A'; A ①连接AB交l1于点M;②过点M ②连接A'B交l1于点M;③过点 作MN⊥l1,交l2于点N,MN即 M作MN⊥l1,交l2于点N, 桥的位置 MN即桥的位置. A.唯方案一可行 B.唯方案二可行 C.方案一、二均可行 D.方案一、二均不可行 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.(西安开学)已知点(m一1，n十2)与点(2m一4,2)关于x轴对称，则(m十n)25的值为 12.(烟台期末)如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别以点A,C为圆心，大于2AC的长为半 径作弧，两弧交于点F,直线FD交BC于点E,连接AE.若AD=3,△ABE的周长为11，则 △ABC的周长为■ y 37 2 B 1 -2-10123x -1 B E -2 第12题图 第13题图 ·20· 13.（宜春期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(一1,2)和点B(2,1),在x轴上取一点P,使点P 到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 14.(南昌期末)如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD,则∠EDC= M 30° E B D C B D P 第14题图 第15题图 第16题图 15.(青海期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°. 若DC=3,则BD的长度为 16.[动，点问题]（赣州期末）在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°，将一个足够大的直角三角尺 PMN(∠M=90°，∠MPN=30)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角 边PM始终经过点C,且与CB的夹角∠PCB=a,斜边PN交AC于点D.在点P的滑动过 程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是 三、解答题（共72分） 17.[动手操作](8分)（扬州期中）在图1中补充2个小方块，在图2、图3、图4中分别补充3个小 方块，分别使它们成为轴对称图形， 图1 图2 图3 图4 18.(9分)（张家口期末）如图，在△ABC中，AB=4,AC=7. (1)用尺规作边BC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若边BC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E. ①连接BD,求△ABD的周长； ②若∠ADB=52°，求∠DBC的度数. ·21· 19.(9分)（赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4, 2),C(2,3). (1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△AB,C1,并写出点C,的坐标； (2)在图中，若点B2(一4,2)与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ,此时 点C关于这条直线的对称点C2的坐标为 (3)求△A1B1C1的面积. y个 4 B 27 1A: -543-2-1012345x -2 3 20.(8分)（赣州期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，腰AB的垂直平分 线交底边BC于点D,垂足为E,连接AD. (1)求∠BAD的度数； (2)若DB=2cm,求CB的长. 21.(8分)（安庆期末）如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC. (1)若△ABC的面积是20，且BC=4,求AD的长； (2)若∠CAD=20°，求∠ACE的度数. ·22· 22.（10分)（重庆期末）如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且BE =CF,BD=CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数. D B E 23.(10分)（潮州期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD =AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F.求证： (1)△ABD是等边三角形； (2)BE=AF. ·23· 24.[新情境试题](10分)（上海期末）【问题提出】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白 日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图1所示，诗中将军在 观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后再到点B宿营.请问怎样走才能使总的 路程最短？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题 学 图1 图3 【解决问题】如图2，作点B关于直线1的对称点D,连接AD,AD与直线l交于点C,点C就是 所求的位置 证明过程如下：如图3，在直线1上另取任一点E,连接AE,BE,DE. ,直线1是点B,D的对称轴，点C,E在直线1上， 黑 ..CB= ,BE= ∴.AC+CB=AC+CD= ,在△ADE中，AD<AE十DE(三角形的两边之和大于第三边)， '.AC+CB<AE+DE,即AC+CB最小. 8 本问题实际上是利用了轴对称变换的思想，把点A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两 侧，从而可利用“两点之间，线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中鹰 点C在AD与直线1的交点上，即A,C,B三点共线)，本问题可归纳为“求定直线上一动点与 直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型， 【拓展延伸】如图，M是锐角AOB内部的一点.请你在边OA和边OB上分别找到点P,Q,使 得△MPQ的周长最小. ●M B 雪 ·24·