第十三章 三角形 素养测评卷-【优品单元卷】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步试卷（人教版2024）

第十三章素养测评卷 (满分：120分时间：100分钟) 八年级上 人教版 一 、选择题（每小题3分，共30分） 1.（曲靖期中)如图，以点A为顶点的三角形有 ( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A C D B B -5-20 第1题图 第3题图 如 2.(毫州期未)在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C,则此三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.[数形结合]（芜湖期中）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A,B对应的数分别 为一5,5，从点C,D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为一2，则 点D在数轴上对应的数可能为 () A.2 B.3 C.4 D.5 救 ®4.（芜湖一模）如图，在△ABC中，点E在CB的延长线上，过点E作ED⊥AB,交AB于点D,交 AC于点F.若∠ABE=60°，∠C=35°，则∠A的度数为 () A.35° B.259 C.20 D.15 B 养 第4题图 第6题图 5.(石家庄开学)在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中点C'是点C 的对应点)，线段AD一定是△ABC的中线的是 A(C） B(C) C D D A B D ☒ 6.[学科融合]（成都期末）如图，一束平行于主光轴（图中的点虚线）的光线经凸透镜折射后，其折 射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=150°，∠2=25°，则∠3的度 数为 () A.75° B.65° C.55 D.45° 。1 7.(兰州期末)如图，在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在 △ABC外的点C'处.若∠1=20°，则∠2的度数为 () A.80 B.90° C.100° D.110° )2 D 第7题图 第8题图 8.(榆林开学)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高.若∠A=24°，则∠BCD的度 数是 A.66 B.22 C.26 D.24° 9.(池州开学)如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D+∠E等于 () A.30° B.40° C.609 D.70 支撑臂 5机械臂 操作台 B oO C E 第9题图 第10题图 10.(汕头期末)如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC= 120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B 旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD,∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为 () A.增大10° B.减小10° C.增大30° D.减小30° 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.[情境式试题]（保定期末）我国建造的港珠澳大桥全长55千米，集桥、岛、隧道于一体，是世界 上最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢 索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性.那么港珠澳大桥斜拉索的建设运用的数学原理是 B 第11题图 第13题图 第15题图 第16题图 ·2· 12.(江苏中考)一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 13.(滨州期末)将一副三角尺按如图所示的方式放置，则图中∠BCQ= 14.[新定义运算]（淮南期末）当三角形中一个内角α是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形 为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征 角”的度数为 15.(淮南期末)如图，将一个直角三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条 直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD= 16.(西安期末)如图，在△ABC中，BE为边AC上的高，CD平分∠ACB,CD,BE相交于点F.若 ∠A=70°，∠ABC=60°，则∠BFC=: 三、解答题（共72分） 17.(6分)（抚顺期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,AH是△ABC的边BC 上的高，且∠ACB=70°，∠ADC=80°，求∠BAH的度数. H 18.(8分)（承德期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上. (1)若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的度数； (2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=9,求AC的长. A 1 人34△ B D ·3 19.(8分)（襄阳期末）如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°. (1)求∠AFB的度数； (2)若∠BAF=2∠ABF,求∠BAF的度数. 20.[一题多解](8分)（安庆期末）已知a,b,c是△ABC的三边长. (1)化简：a-b+c|+|a-b-c|: a+2b=12, (2)若a和b满足方程组 且c为偶数，求这个三角形的周长. 2a-b=-1 21.[新定义运算](10分)（六安期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，那么 这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是 “三倍角三角形”. (1)在△ABC中，∠A=35°，∠B=40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B=30°，求△ABC中最小内角的度数. 。4 22.(10分)（郑州期末）如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A=∠DCB. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE,CD相交于点F.求证：∠CFE=∠CEF. R D B 图1 图2 23.(10分)（咸阳期末）如图，CD为△ABC的角平分线，点E,F,G分别在△ABC的边BC,AB, AC上，连接EF,DG,EF∥CD,∠1=∠2， (1)求证：DG∥BC; (2)若∠B=80°，∠EFD=100°，求∠AGD的度数. E 2 ·5· 24.[学科融合](12分)（广元期末）【生活常识】 射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1， MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面的夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面的夹角为 ∠2，则∠1=∠2. 穿 【应用探究】 有两块平面镜OM,ON,入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD. (1)如图2，若OM⊥ON,求证：ABCD; 学 (2)如图3，光线AB与CD相交于点P,若∠MON=48°，求∠BPC的度数； (3)如图4，光线AB与CD所在的直线相交于点P,∠MON=a,∠BPC=3,试猜想a与B之 间满足的数量关系，并说明理由 /D M 席 A C C4 A 入射光线 反射光线 D 1△2 21 MǒN 0 B B N 图1 图2 图3 图4 8 前 哦 雪 ·6∠PCB=2∠ACB=25 21.解：(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下： 参考答案 ,∠A=35°，∠B=40°， .∠BFC=180°-（∠CBF+∠FCB)=180°- .∠C=180°-35°-40°=105°=35×3=3∠A. (40°+25°)=115°.故答案为115°. 。第十三章素养测评卷● .△ABC是“三倍角三角形”. 17.解：CD平分∠ACB,∠ACB=70, 1.A2.B3.A4.B5.A6.C7.D8.D9.B (2).∠B=30°，.∠A+∠C=150° 10.C解析：起吊物体前，设∠BDC=x. ∴∠ACD=∠ACB=35 设△ABC中最小内角的度数为x. ,∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线， :∠ADC=80, ①当30°=3.x时，x=10°； ∠BD=∠ABD=2∠ABC=60. .∠BAC=180°-∠ACD-∠ADC=180°-35 ②当x十3x=150时，x=37.5°. 30°<37.5°，不符合题意，舍去； 80°=65°. ∴.∠DCE=∠CBD+∠BDC=60°+x. ③30°×3=90°，180°-30°-90°=60°，符合题意， ,AH是△ABC的边BC上的高， 物体被吊起后， .∠AHC=90°. .△ABC中最小内角的度数为10°或30° :机械臂AB的位置不变，∠CBD=2∠ABD, .∠HAC=90°-∠ACB=90°-70°=20° 22.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： ∠CBD+∠ABD=120°， ∴.∠BAH=∠BAC-∠HAC=65°-20°=45. .·在△ABC中，CD是高， .∠CBD=2∠ABD=80° 18.解：(1)∠1=∠2=35°， .∠CDA=90°..∠A+∠ACD=90. ,∠BDC增大了10°， ∴∠3=∠1+∠2=70°.∴.∠3=∠4=70°. ,∠A=∠DCB, .∠BDC=x+10°. ∴.∠DAC=180°-∠3-∠4=40°. .∠DCB+∠ACD=90°..∠ACB=90. .∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+x+10°=90°+x. (2)AD为△ABC的中线，.BD=CD. △ABC是直角三角形. .(90°+x)-(60°+x)=30°. ,△ABD的周长比△ACD的周长大3， (2)证明：，AE是△ABC的角平分线， .∠DCE的变化情况为增大30°.故选C. ..AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=3. .∠DAF=∠CAE. 11.三角形的稳定性12.413.75 ..AB+AD+BD-AC-AD-CD=3. ,∠FDA=90°，∠ACE=90°， 14.90°或60°解析：①“特征角”a为90°； ..AB-AC=3. .∠DAF+∠AFD=90°，∠CAE+∠CEA=90°. ②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征 AB=9,.AC=6. .∠AFD=∠CEA. 角”是2x. 19.解：(1)，∠C=42°，∠CAE=18°， :∠AFD=∠CFE, 由题意，得x十2x=90°.解得x=30°. ∴.∠AEB=∠C+∠CAE=60. .∠CFE=∠CEA,即∠CFE=∠CEF. .“特征角”是60°」 :∠CBD=27, 23.解：(1)证明：EFCD,.∠1=∠BCD. 综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°.故答案 .∠AFB=∠CBD+∠AEB=60°+27°=87. 又.∠1=∠2， 为90°或60. (2),∠BAF=2∠ABF,∠BFE=93°， .∠BCD=∠2.∴.DG∥BC. 15.40°解析：如图，连接BC ∴.∠BFE=∠BAF+∠ABF=3∠ABF=93°. (2)∠EFD是△BEF的一个外角， ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠ABF=31. ∠EFD=∠B+∠1. ∠A=50°， .∠BAF=2∠ABF=62°. ,∠EFD=100°，∠B=80°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A 20.解：(1)，a,b,c是△ABC的三边长， .∠1=∠EFD-∠B=20°. =130°. ∴.a+c>b,b+c>a.∴.a-b+c>0,a-b-c<0. ,EF/CD,.∠BCD=∠1=20. ,∠BDC=90°， ∴.a-b+c|+|a-b-c|=(a-b+c)-(a-b- ,CD为△ABC的角平分线， .∠DBC+∠DCB=90. c)=a-b+c-a+b+c=2c. .∠BCA=2∠BCD=40°」 .∠ABD+∠ACD=(∠ABC+∠ACB) a+2b=12, (∠DBC+∠DCB)=130°-90°=40°.故答案为40. (2)解方程组 得02， :DG∥BC,.∠AGD=∠BCA=40. 2a-b=-1,b=5. 24.解：(1)证明：OM⊥ON, 16.115解析：∠ABC=60°，∠A=70°， 根据三角形的三边关系，得5一2<c<2+5, .∠MON=90°.∠2+∠3=90°. .∠ACB=180°-∠ABC-∠A=50°. 即3<c<7. 又.∠1=∠2，∠3=∠4， ,BE为边AC上的高， c为偶数，∴c=4或6. .∠ABC+∠BCD=180°-∠1-∠2+180°-∠3 .∠CBF=90°-∠ACB=90°-50°=40. ∴.这个三角形的周长为2+5十4=11或2+5+6 ∠4=360°-2（∠2+∠3）=360°-2×90°=180°. CD平分∠ACB, =13. ..AB//CD. ·73· (2),∠MON=48°， ∠APM=∠APD. .DF=BD-BF=20-8=12. ∴.∠2+∠3=180°-∠M0N=132. 同理可得Rt△PCD≌Rt△PCN(HL). 1 1 由(1)可知，∠ABC+∠BCD=180°-∠1-∠2+ .∠CPD=∠CPN. .S△An=2XAD·DF=2X16X12=96, 180°-∠3-∠4=360°-2（∠2+∠3）=360°-2× ∠MPN=2∠APC. :Sam=号BD·AD=2×20X16=160, 132°=96°. .∠ABC+2∠APC=180°.故②正确； .∠BPC=180°-（∠ABC+∠BCD)=180°-96°=84°， ③：AP平分∠CAE,BP平分∠ABC, .S△BDE=S△ABF=S△ABm-S△AFm=160-96=64. (3)3=2a.理由如下： ∴.∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM 故答案为64. ,∠BDP=∠ODC, ∴.∠BPC+∠PBD=∠MON+∠4. ∠PAM=∠ABP+∠APB=号∠ABC+∠APB, 17.证明：：∠BAC=∠EAD, .∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 又∠4=∠3=180°-∠BC0=180°-(180° ∴.∠ABC+∠ACB=∠ABC+2∠APB, 即∠BAE=∠CDA. ∠MON-∠2)=∠MON+∠2，∠1=∠2=∠PBD, ∴∠ACB=2∠APB.故③正确； ∠ABE=∠ACD, ∴.∠PBC+∠PBD=∠MON+∠MON+∠PBD, ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),Rt△PCD≌ 在△ABE和△ACD中，AB=AC, 即B+∠PBD=a十a十∠PBD. Rt△PCN(HL) ∠BAE=∠CAD, 第十四章素养测评卷 ∴.S△APD=S△APW,S△cPm=S△CnN. .△ABE≌△ACD(ASA). 1.C2.A3.B4.D5.B6.B7.A8.D ∴.S△APM十S△CPN=S△AD十S△cD=S△A.故④正确. ..AE=AD. 9.C解析：，△ACB≌△ECD, 综上所述，结论正确的是①②③④，共4个.故选D. 18.解：(1)证明：：∠ACE+∠DCE=180°，∠BDF+ .AB=ED=6cm,AC=EC,∠A=∠E, 11.100°12.DE=EF(答案不唯一) ∠CDF=180°，且∠DCE=∠CDF, 在△ACP和△ECQ中， 13.4:314.40° .180°-∠DCE=180°-∠CDF, 15.4cm解析：，CD⊥AB,∴.∠CDB=90°. ∠ACP=∠ECQ, 即∠ACE=∠BDF AC=EC, ∴.∠B+∠BCD=90° 在△ACE和△BDF中， ∠A=∠E, ,∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°， D ∠A=∠B, .△ACP≌△ECQ(ASA)..AP=QE. ∠ACD=∠B. {∠ACE=∠BDF, 当点P由点A向，点B运动时，4t=6一t, EF⊥AC,.∠FEC=90°.∠FEC=∠ACB. AE=BF, .'BC=3 cm,CE=3 cm,.'.BC=CE. 解得t=1.2. .△ACE≌△BDF(AAS), 当点P由点B向点A运动时，6×2一4t=6-t, ∠B=∠ACD, (2)由(1)可知，△ACE≌△BDF, 解得t=2. 在△ACB和△FEC中，BC=CE, .'AC=BD 综上所述，t的值为1.2或2.故选C ∠ACB=∠FEC, AC=4,.BD=4. 10.D解析：①如图，过点P作PD⊥AC于，点D ∴.△ACB≌△FEC(ASA). AB=16, :BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE, ..AC=FE. .CD=AB-AC-BD=16-4-4=8. PN⊥BF,PD⊥AC, ,EF=7cm,∴.AC=7cm. CD的长为8. ∴PM=PN,PM=PD.PN=PD. .AE=AC-CE=7-3=4(cm).故答案为4cm. 19.解：(1)，BD平分∠ABC,∠ABC=40°， 16.64解析：：∠ABD=180°-∠BDA-∠BAD= ,PN⊥BF,PD⊥AC, 点P在∠ACF的平分线上，即CP平分∠ACF, 90°-∠BAD, ∴∠DBc=7∠ABC=7×40=20. 故①正确； ∠C=180°-∠ABC-∠BAD=90°-∠BAD, ,CD平分∠ACB,∠ACB=70°， ②PM⊥AB,PN⊥BC, .∠ABD=∠C.∠E=∠C,.∠ABD=∠E. (AB=BE, ∠DCB-日∠ACB2X7G-35 .∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°. 在△ABF与△BED中，∠ABF=∠E, .∠BDC=180°-20°-35°=125°. ∴.∠ABC+∠MPN=180°. BF=ED, (2):BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,DE=2, 在Rt△PAM和Rt△PAD中， .△ABF≌△BED(SAS). .DF=DE=2. (PM=PD, PA=PA, ∴.S△ABF=S△BE· BC=9, .Rt△PAM≌Rt△PAD(HL). DE=BF-号BD=8, ÷Sam=2×BCXDF=-2X9X2=9, 1 74 。75