专题02 实际问题与一元二次方程（4大考点）（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题02 实际问题与一元二次方程 4大高频考点概览 01增长率问题 02与面积有关的问题 03营销问题 04其它类型问题 地 城 考点01 增长率问题 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）某新能源汽车厂商今年八月份销量为1.5万辆，且八月份、九月份、十月份的总销量为6万辆，若设每月的平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北衡水·开学考试）电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河北唐山·期中）在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2022年，A市在省财政补助的基础上投入800万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2024年该市计划投资“改水工程”1800万元． (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率； (2)从2022年到2024年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 地 城 考点02 与面积有关的问题 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以这个正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则c的值及该方程的正数解分别为（    ） A．39，3 B． C．，3 D． 8．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，将图所示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图所示的矩形，若，则 ． 10．（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 11．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角培角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积 （填“能”或“不能”）为625平方米． 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 13．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，小张该怎么剪？ (2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 14．（24-25九年级上·河北沧州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 方案中，当时，求的值． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）素材1：如图是拟建中的一个温室平面设计图纸，图纸上1个单位长度代表实际距离1米，温室是一个矩形，其周长为120，准备在它的四周铺设道路，左右两条纵向道路的宽度都为1，上边横向道路的宽度为1，下边横向道路的宽度为3，中间部分（阴影部分）种植草莓，种植面积为720． 素材2：道路的路面造价是70元/平方米；经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；其余费用为3万元． 任务1：（1）实际中温室的长不能大于35米，通过计算说明拟建的温室是否达标； 任务2：（2）求经过1年后，温室年净利润为多少？（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-其余费用） 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）宫格画（图1）因其独特的艺术性近年来受到年轻人的追捧．如图2，小欣利用宽度相等的纸卡（灰色阴影部分）制作了一个长为，宽为的宫格画画框，空白处的宽度相同，设纸卡的宽为． (1)图2中空白处的宽度_________．（用含x的式子表示） (2)若图2中空白处的面积为，求x的值． 18．（24-25九年级上·河北唐山·期中）校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 19．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽米的小门，设花圃的宽为米．    (1)若围成的花圃面积为平方米，求此时的宽； (2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由直接写出______米时，花圃的面积最大． 地 城 考点03 营销问题 20．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 21．（24-25九年级上·河北沧州·期中）“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 22．（24-25九年级上·河北保定·期中）某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 23．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示． 销售单价x（元/千克） 25 35 销售量y（千克） 50 30 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 24．（24-25九年级上·河北唐山·期中）杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出210件，销售定价每上涨1元，销售量就减少3件． (1)当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出_____件文化衫，每天的销售利润_____元． (2)设每件文化衫的售价上涨元． ①平均每天售出_____件文化衫（用含的代数式表示）． ②若每天的销售利润恰好为2700元，且每件获利不超过，求的值． 25．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 26．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）玩具店销售一款单个成本价为40元的小汽车玩具，每天的销售单价与销售数量之间的关系如下表： 售价/元 58 60 62 64 销量/个 24 20 16 12 设这款小汽车玩具的售价为x元/个． (1)请直接用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)，并求当时的日销售利润； (2)若设定日销售利润为（1）中所得的日销售利润，玩具店想尽快销售完该款商品，求每个小汽车的售价． 27．（24-25九年级上·河北唐山·期中）据统计某电商平台月份的销售额是万元，月份的销售额是万元． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为元千克时，每天能销售千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为元千克，若使销售该水果每天获利元，则售价应降低多少元？ 28．（24-25九年级上·河北保定·期中）某商店购入一批进价为10元/盒的巧克力进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售是盒 56 52 48 44 40 (1)求与的函数表达式； (2)巧克力销售单价定为多少元时，所获日销售利润为400元？ 29．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条彩色图案． (1)若除去彩色图案后剩余的面积为，设彩色图案的宽度为，则可列方程为______；（要求用原数列方程，不要求化简） (2)已知该工艺品的成本是元/件，物价局规定销售单价在元至元的范围内，如果以单价元/件销售，那么每天可售出件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是元，根据销售经验，如果将销售单价每上涨元，每天就少售出件．请问该公司每天把销售单价定为多少元时所获利润为元？ 30．（24-25九年级上·河北衡水·期中）某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元． 领队：超过人呢？ 旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元． 该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？ 31．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 地 城 考点04 其它类型问题 32．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 33．（24-25九年级上·河北保定·期中）淇淇在算一个数的倍时，误算成了这个数的平方，淇淇发现两个结果的和为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控利，第三轮将又有（    ）人被传染． A．98 B．440 C．448 D．128 35．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 36．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某中学的九年级篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛15场，则参加比赛的球队有 支． 37．（24-25九年级上·河北保定·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，则全组共有 名同学． 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6，前4行的点数之和为10，……，当前行的点数之和为210时，的值为 ． 39．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某校组织学生进行研学活动，下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． (1)若参加研学活动的学生共180人，求学生人均研学费用； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社37500元（其中随队的领队、教师共5人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 41．（24-25九年级上·河北沧州·期中）开展盐碱地综合利用对保障国家粮食安全、端牢中国饭碗具有重要战略意义．我市某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行抗盐碱实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了20亩，收获后发现，B品种的平均亩产量比A品种高100千克，且A、B两个品种总产量为14000千克． (1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了小麦的种植方法，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．由于B品种深受市场欢迎，今年决定对两个品种的种植面积进行调整，B品种种植面积比去年增加m亩，且保持总种植面积与去年相同，使总产量达到15200千克，求m的值． 试卷第36页，共36页 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实际问题与一元二次方程 4大高频考点概览 01增长率问题 02与面积有关的问题 03营销问题 04其它类型问题 地 城 考点01 增长率问题 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）某新能源汽车厂商今年八月份销量为1.5万辆，且八月份、九月份、十月份的总销量为6万辆，若设每月的平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出九月份的销售量，再根据题意表示出十月份的销售量，然后将三个月的销售量相加，即可列出方程． 【详解】解：九月份的销售量为：， 十月份的销售量为：， 故总销量为：． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北衡水·开学考试）电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 4．（23-24九年级上·河北唐山·期中）在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少．经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟．设这两次该校每天作业平均时长的下降率为，则可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用经过两个学期的两次调整后每天作业平均时长=原来每天作业平均时长这两次该校每天作业平均时长的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2022年，A市在省财政补助的基础上投入800万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2024年该市计划投资“改水工程”1800万元． (1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率； (2)从2022年到2024年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？ 【答案】(1) (2)3800万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）本题可设A市投资“改水工程”年平均增长率是x，因为2022年投入800万元，2024年投资1800万元，所以可列方程，解之即可求出答案； （2）因为2022年投资800万元，2023年投资万元，2024年投资1800万元，求出三者的和即可． 【详解】（1）解：设A市投资“改水工程”年平均增长率是x， 则， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以A市投资“改水工程”年平均增长率为； （2）解：（万元）， 所以从2022年到2024年，A市三年共投资“改水工程”3800万元． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（时间） … 40 50 60 … 学习效率 … 0.64 m 1 … 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元． (1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值． (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为80分钟的学习效能． ②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围． 【答案】(1)40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8 (2)①48②作业时间的合理范围是60至100分钟 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）设40分钟到60分钟的增长率为x，利用60分钟时学习效率=40分钟时学习效率分钟的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入中，即可求出m的值； （2）①根据学习效能的定义求解即可； ②设每晚作业时间为分钟，根据学习效能低于20的时候为无效学习，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将符合题意的值代入中，可求出最长学习时间，结合规定作业时间不少于1个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围． 【详解】（1）解：设40分钟到60分钟的增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴40分钟到60分钟的增长率为， ∴． 答：40分钟到60分钟的增长率为，m的值为0.8； （2）解：①学习时间为80分钟的学习效能为： ②设每晚作业时间为分钟， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴超过100分钟为无效学习， ∴作业时间的合理范围是60至100分钟． 地 城 考点02 与面积有关的问题 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以这个正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则c的值及该方程的正数解分别为（    ） A．39，3 B． C．，3 D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程的几何解法，先求出大正方形面积，进而求出方程的解，再求出c的值即可得到答案． 【详解】解：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的正方形，得到大正方形的面积为：， ∴该方程的解为， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握以上知识是解题的关键； 设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故答案为1． 9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，将图所示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图所示的矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程、图形的剪拼，解决本题的关键是根据正方纸片的面积与拼接后的长方形纸片的面积相等列出方程解决问题．首先把图中正方形纸片的面积和图中长方形纸片的面积用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积相等列一元二次方程求解即可． 【详解】解：图中正方形纸片的面积为， 图中长方形纸片的长为，宽为， 长方形纸片的面积为， 正方形纸片与长方形纸片的面积相等， ， 整理得： 解得：， 或(舍去)． 故答案为： ． 10．（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【详解】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 11．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角培角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积 （填“能”或“不能”）为625平方米． 【答案】不能 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，由矩形的面积公式正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 由题意得：， 解得：， 当时，， 即当米，米30米， ∴花园的面积不能为625平方米， 故答案为：不能． 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 【答案】(1)道路的宽为米 (2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：全部租出时的租金为：（元） 设月租金上涨元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 13．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，小张该怎么剪？ (2)小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于．”他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)小张应将40cm的铁丝剪成和两段，并将每一段围成一个正方形 (2)他的说法对，见解析 【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可； （2）利用正方形的性质表示出边长进而得出方程，进而利用根的判别式求出即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为． ∴， 即． ∴，． ∴小张应将40cm的铁丝剪成和两段，并将每一段围成一个正方形． （2）他的说法对． 假定两个正方形的面积之和能等于． 根据（1）中的方法，可得． 即， ，方程无解． 所以两个正方形的面积之和不可能等于． 14．（24-25九年级上·河北沧州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 方案中，当时，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程，求出的值，再进行验证即可，解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：当时，根据题意得： ，解得：，， 当时，盒子的长为，符合题意； 当时，盒子的长为，不符合题意，应舍去； ∴的值为． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务： 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律． 学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题： (1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示） (2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程； (3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果． 【答案】(1)； (2)78是第12个三角形数，见解析； (3)55和66． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律，根据图形找出规律是解答关键． （1）根据图形找出规律求解； （2）根据（1）的规律来求解； （3）设较小的三角形数是，则较大三角形数是，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：因为第一个图三角形的个数为：， 第二个图三角形的个数为：， 第三个图三角形的个数为：， ， 第一个图三角形的个数为：． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 整理得， 解得，． 因为是正整数， 所以舍去， 是第12个三角形数． （3）解：设较小的三角形数是， 则较大三角形数是， 由题意得：， 解得，（舍去）， 当时，， ， 所以这两个三角形数是和． 16．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）素材1：如图是拟建中的一个温室平面设计图纸，图纸上1个单位长度代表实际距离1米，温室是一个矩形，其周长为120，准备在它的四周铺设道路，左右两条纵向道路的宽度都为1，上边横向道路的宽度为1，下边横向道路的宽度为3，中间部分（阴影部分）种植草莓，种植面积为720． 素材2：道路的路面造价是70元/平方米；经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；其余费用为3万元． 任务1：（1）实际中温室的长不能大于35米，通过计算说明拟建的温室是否达标； 任务2：（2）求经过1年后，温室年净利润为多少？（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-其余费用） 【答案】任务：（1）温室达标，详见解析； 任务：（2）元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，，，由题意得，，解方程即可得到答案； （2）根据题意正确列算式，求解即可． 【详解】解：任务：（1）设， 则，，， 根据题意得，，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴温室达标； 任务：（2）由（1）知米，米， ∴温室的面积为平方米， ∴道路面积为（平方米）， ∴道路总造价为（元）， ∴草莓的总利润为（元）， ∴净利润为（元）， 答：温室年净利润为元 ． 17．（24-25九年级上·河北保定·期中）宫格画（图1）因其独特的艺术性近年来受到年轻人的追捧．如图2，小欣利用宽度相等的纸卡（灰色阴影部分）制作了一个长为，宽为的宫格画画框，空白处的宽度相同，设纸卡的宽为． (1)图2中空白处的宽度_________．（用含x的式子表示） (2)若图2中空白处的面积为，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是∶ （1）利用画框的长减去三个纸卡的宽，再除以2求解即可； （2）根据空白处的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得，， 即当时，空白处的面积为． 18．（24-25九年级上·河北唐山·期中）校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 19．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽米的小门，设花圃的宽为米．    (1)若围成的花圃面积为平方米，求此时的宽； (2)能围成面积为平方米的花圃吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由直接写出______米时，花圃的面积最大． 【答案】(1)米； (2)不能，见解析；． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式、配方法，()由篱笆的总长度可得出花圃的长为米，根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的最大可用长度为米，即可得出结论；()不能围成面积为平方米的花圃，根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式 ，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为平方米的花圃，利用配方法得到，故可得时花圃的面积最大；熟练掌握一元二次方程的应用以及根的判别式、配方法是解题的关键． 【详解】（1）解∵的长为， ∴长为， 由题意得， 解得，， ∵当时，，不符合题意， ∴， 答：宽是米． （2）不能． 理由：当花圃的面积是平方米时， ， 整理得，， ∵方程无实数根， ∴花圃的面积不能是平方米； ∵， ∴当，即时，花圃的面积最大， 故答案为：． 地 城 考点03 营销问题 20．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 【答案】(1)， (2)每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用提价后每间客房的价格=提价前每间客房的价格+每间客房的定价提高的价格，可用含x的代数式表示出提价后每间客房的价格；利用提价后入住的房间数量=提价前入住的房间数量，可用含x的代数式表示出提价后入住的房间数量；利用提价后总维护费用提价后入住的房间数量，即可用含x的代数式表示出提价后总维护费用； （2）利用纯收入=总收入-维护费用，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要吸引更多的游客，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当每间客房的定价提高了x元时， 房间价格为元， 入住了间房， 总维护费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，， 又∵要吸引更多的游客， ， ∴（元）， 此时租出的房间数为（间）． 答：每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间． 21．（24-25九年级上·河北沧州·期中）“这么近，那么美，周末到河北”，河北拥有得天独厚的自然风光和丰富的历史文化资源，吸引着众多游客前来探索；河北著名旅游景点正定古城今年5月份共接待游客达20万人次，预计在7月份，将接待游客达万人次． (1)求正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率． (2)景区一个纪念品专卖店在销售中发现，一款纪念品每件进价为20元，销售价为35元时，每天可售出100件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若每件纪念品降价1元，则平均可多售出10件，当每件售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款纪念品销售中实现平均每天1560元的利润额． 【答案】(1) (2)32元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由5月份接待游客人次等于7月期间接待游客人次建立方程； （2）设每件纪念品降价元，根据每件利润乘以销售量等于利润建立方程求解． 【详解】（1）解：设正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍）， 答：正定古城景区5月至7月期间接待游客人次的月平均增长率为； （2）解：设每件纪念品降价元，由题意得： ， 解得：或， 当时，每件售价为元； 当时，每件售价为元， ∵让顾客获得最大优惠， ∴每件售价定为32元． 22．（24-25九年级上·河北保定·期中）某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． (1)求第一季度销售量的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 【答案】(1) (2)当商品降价5元时，商场获利6250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键； （1）设第一季度销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可； （2）设当商品降价m元时，商品获利6250元，根据总利润单个利润总数量列出方程即可． 【详解】（1）解：设第一季度销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得：（舍）， 答：第一季度销售量的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价m元时，商品获利6250元， 根据题意可得， 解得：（舍）， 答：当商品降价5元时，商场获利6250元． 23．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某商店以20元/千克的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在一次函数关系，对应数值如下表所示． 销售单价x（元/千克） 25 35 销售量y（千克） 50 30 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现要求尽快售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？ (3)售完该商品后，销售利润能达到500元吗？若能，求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定位每千克30元 (3)销售利润不能达到500元．理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润达到400元，可得方程，解方程即可得到销售单价； （3）根据销售利润达到500元，可得方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 解得， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）解：， 整理得 解得， 因为要尽快售完，所以取，即销售单价定位每千克30元． （3）解：销售利润不能达到500元．理由如下： 化简得 判别式， 所以此方程无解，所以销售利润不能达到500元． 24．（24-25九年级上·河北唐山·期中）杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出210件，销售定价每上涨1元，销售量就减少3件． (1)当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出_____件文化衫，每天的销售利润_____元． (2)设每件文化衫的售价上涨元． ①平均每天售出_____件文化衫（用含的代数式表示）． ②若每天的销售利润恰好为2700元，且每件获利不超过，求的值． 【答案】(1)201，1608 (2)①；② 【分析】本题一元二次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）根据销售定价每上涨1元，销售量就减少3件，列出算式求出销量，根据总利润等于单件利润乘以销量求出总利润即可； （2）①根据销售定价每上涨1元，销售量就减少3件，列出代数式即可； ②根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：（件）； （元）； 故答案为：201，1608 （2）解：①平均每天售出件文化衫； 故答案为：； ②由题意，的：， 解得：，； 不符合题意． ． 25．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)①，②60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值； （2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式； ②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①依题意，得： ； ②依题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 26．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）玩具店销售一款单个成本价为40元的小汽车玩具，每天的销售单价与销售数量之间的关系如下表： 售价/元 58 60 62 64 销量/个 24 20 16 12 设这款小汽车玩具的售价为x元/个． (1)请直接用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)，并求当时的日销售利润； (2)若设定日销售利润为（1）中所得的日销售利润，玩具店想尽快销售完该款商品，求每个小汽车的售价． 【答案】(1)，利润为400元 (2)每个小汽车的售价为50元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，并列式或方程是解题的关键． （1）根据依题可知，售价每增加2元，销量减少4个，以售价58元销量为24为基础列式可得y与x的关系式，根据总利润等于单个利润乘以销量计算利润； （2）根据“日销售利润为（1）中所得的日销售利润”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：售价每增加2元，销量减少4个， ∴销售量． 由表格可知，时，， (元)， 答：用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)为，并当时的日销售利润为400元； （2）依题意得：， 解得：． ∵尽快销售完该款商品， ∴价格要低，销量会更多， ∴， 答：每个小汽车的售价为50元． 27．（24-25九年级上·河北唐山·期中）据统计某电商平台月份的销售额是万元，月份的销售额是万元． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为元千克时，每天能销售千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为元千克，若使销售该水果每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解； （）设售价应降低元，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得， 解得，， ∵尽量减少库存  ， ∴， 答：售价应降价元． 28．（24-25九年级上·河北保定·期中）某商店购入一批进价为10元/盒的巧克力进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值． 销售单价元 12 14 16 18 20 销售是盒 56 52 48 44 40 (1)求与的函数表达式； (2)巧克力销售单价定为多少元时，所获日销售利润为400元？ 【答案】(1) (2)巧克力销售单价定为20元或30元时，所获日销售利润为400元 【分析】本题主要考查一次函数，一元二次方程的应用，正确地理解题意是解题的关键． （1）设y与x的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式； （2）根据题意，可得每盒巧克力的利润为，且日销售量y（个），由日销售利润为400元列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 将，代入，得， 解得：． ∴； （2）解：∵销售单价为x（元），进价为10元/个， ∴每盒巧克力的利润为，且日销售量y（个）， 根据题意得，， 解得，， 答：巧克力销售单价定为20元或30元时，所获日销售利润为400元 29．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条彩色图案． (1)若除去彩色图案后剩余的面积为，设彩色图案的宽度为，则可列方程为______；（要求用原数列方程，不要求化简） (2)已知该工艺品的成本是元/件，物价局规定销售单价在元至元的范围内，如果以单价元/件销售，那么每天可售出件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是元，根据销售经验，如果将销售单价每上涨元，每天就少售出件．请问该公司每天把销售单价定为多少元时所获利润为元？ 【答案】(1) (2)销售单价定为50元时所获利润为9000元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可． （1）由彩色图案的宽度为，则除去彩色图案的剩余部分可合成长为，宽为的长方形，根据长方形的面积公式得； （2）设每件工艺品的售价为元，则每件的销售利润为元，每天可售出件．根据单利润乘以数量等于列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：设每件工艺品的售价为元，则每件的销售利润为元，每天可售出件． 根据题意，得， 整理，得，解得（不符合题意，舍去）， 当该公司每天把销售单价定为元时所获利润为元． 30．（24-25九年级上·河北衡水·期中）某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元． 领队：超过人呢？ 旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元． 该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？ 【答案】30人 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 求出人数为人时的总费用，由该值小于元，可得出该单位参加旅游的人数超过人，设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为，利用总费用＝人均费用×人数，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合人均旅行费用不得低于元，即可确定结论． 【详解】解：∵（元），元， ∴该单位参加旅游的人数超过人． 设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：该单位参加旅游的共有人． 31．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)①；②50 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：① ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 地 城 考点04 其它类型问题 32．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 33．（24-25九年级上·河北保定·期中）淇淇在算一个数的倍时，误算成了这个数的平方，淇淇发现两个结果的和为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答关键． 设这个数为，根据题意得，解这个方程即可求解． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 整理得， ， ． 故选：A． 34．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控利，第三轮将又有（    ）人被传染． A．98 B．440 C．448 D．128 【答案】C 【分析】设一个患者一轮传染人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感．即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再取其正值即可得出结论． 【详解】解：设一个患者一轮传染人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 第三轮将传染（人． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 故选：． 36．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某中学的九年级篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛15场，则参加比赛的球队有 支． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设参加比赛的球队有支，根据的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛15场，列出方程进行求解即可。 【详解】解：设参加比赛的球队有支，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：参加比赛的球队有支； 故答案为：6 37．（24-25九年级上·河北保定·期中）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，则全组共有 名同学． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设全组共有名同学，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设全组共有名同学， 由题意得：， 解得：（舍），， 即全组共有名同学， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·河北保定·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6，前4行的点数之和为10，……，当前行的点数之和为210时，的值为 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目．先找到前几行点数之和的规律，再根据规律列得一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：由于第一行有1个点，第二行有2个点，第行有个点， 前3行的点数之和为， 前4行的点数之和为， ……， ∴前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ，， 为正整数， ． 故答案为：20． 39．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 【答案】(1)6， (2)10人 (3) 【分析】本题考查了一元二次次方程的应用，解题的关键是： （1）根据握手次数参会人数（参会人数，即可求出结论，论结合参会人数为，即可得出结论； （2）由（1）的结论结合共握手45次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）由每两个人之间互送一张照片可得出每个同学需送出张照片，再乘人数即可求出结论． 【详解】（1）解：参加聚会的人数为4，则共握手（次）； 参加聚会的人数为为正整数），则共握手次． 故答案为：6，； （2）设有人参加聚会，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得（张）． 答：共送出张照片， 故答案为：． 40．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某校组织学生进行研学活动，下面是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． (1)若参加研学活动的学生共180人，求学生人均研学费用； (2)若学校研学活动结束后，共支付给旅行社37500元（其中随队的领队、教师共5人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 【答案】(1) (2)学校这次到该景点参加研学活动的学生有人 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 故若参加研学活动的学生共180人，学生人均研学费用为元； （2）解：设学校这次到该景点参加研学活动的学生有人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故学校这次到该景点参加研学活动的学生有人． 41．（24-25九年级上·河北沧州·期中）开展盐碱地综合利用对保障国家粮食安全、端牢中国饭碗具有重要战略意义．我市某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行抗盐碱实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了20亩，收获后发现，B品种的平均亩产量比A品种高100千克，且A、B两个品种总产量为14000千克． (1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ (2)今年，科技小组优化了小麦的种植方法，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．由于B品种深受市场欢迎，今年决定对两个品种的种植面积进行调整，B品种种植面积比去年增加m亩，且保持总种植面积与去年相同，使总产量达到15200千克，求m的值． 【答案】(1)A、B两个品种去年平均亩产量分别为300千克和400千克 (2)5 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意，列出方程是解题的关键． （1）设A品种去年平均亩产量为x千克，B品种去年平均亩产量为千克，根据A、B两个品种总产量为14000千克．列方程，求解即可． （2）根据预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加30千克和千克．则A品种平均亩产量为千克，B品种平均亩产量为千克，根据B品种种植面积比去年增加m亩，则B品种种植面积为亩，又根据保持总种植面积与去年相同，所以A品种种植面积为亩，则A品种总产量为千克，B品种总产量为千克，根据A品种总产量品种总产量今年总产量，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A品种去年平均亩产量为x千克，B品种去年平均亩产量为千克 解得： 答：A、B两个品种去年平均亩产量分别为300千克和400千克． （2）解：根据题意，得 ， 解得：，（舍去） ∴m的值为5． 试卷第36页，共36页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $