专题05 实际问题与二次函数（5大考点）（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题05 实际问题与二次函数 5大高频考点概览 01图形问题 02拱桥问题 03投球（喷水）问题 04营销问题 05其它问题 地 城 考点01 图形问题 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，的长米，菜园的面积为（单位：平方米）．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（   ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图所示，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长32米，篱笆长60米．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为平方米． (1)求与，与的关系式（写出的取值范围）； (2)围成的矩形花圃面积能否为432平方米，若能，请求出的值；若不能，请说出理由． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过． (1)求出y关于x的函数解析式． (2)当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． (3)此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 5．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整． (1)列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____； (2)上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出_____； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想． 地 城 考点02 拱桥问题 6．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 7．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米． 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 9．（22-23九年级上·河北保定·期中）2021年7月，河南遇特大暴雨，河道水位猛涨，多处村县组织居民前往临时安置点．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为（如图所示），从16点开始，水位开始上涨，该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度h随时间t变化的情况大致如下表所示． 时间t（分钟） 10 20 30 40 50 桥下水位上涨的高度h（单位：m） 2 4 6 8 10 (1)求桥下水位上涨的高度关于时间t（分钟）的函数解析式； (2)在17点20分，该拱桥的水面宽为． ①如图，以抛物线形拱桥的对称轴为y轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线形拱桥的交线为x轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式； ②有一艘装满物资的小船沿河道向居民的临时安置点行驶，该小船露出水面的部分的高为3米，宽为6米，通过计算判断在19点10分时，该小船能否从该拱桥的桥下通过？ 10．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由． 地 城 考点03 投球（喷水）问题 11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）在体育训练中嘉淇掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是，则嘉淇此次掷球的初始高度和掷球的成绩（即的长度）分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 12．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）①某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式．则火箭模型发射塔的高度为 ． ②掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，嘉嘉发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则嘉嘉这次实心球训练的成绩为 ． 13．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，以的速度将小球沿与水平地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系． （1）小球飞行的最大高度是 米； （2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了 秒． 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 17．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）一固定发球器立在地面上，发球点P距地面，球（看成点）发出后所经过的路径是抛物线的一都分，按如图方式建立平面直角坐标系． (1)若球的运动路径的顶点到出发点P的水平距离为，求： ①球运动路径的函数表达式； ②球在无障碍阻挡的情况下落地，求球落地点的坐标． (2)收球箱是矩形，在发球器的前方，已知点，，，当球从点P发出后，为使球落入收球箱中（不触碰C，D两点），求m的取值范围． 18．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．嘉嘉在点处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线的一部分，当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为，其高度为，淇淇恰在点处将球击回．在与点O水平距离处设有一个高为的球网，P，Q为两侧边界，与球网的距离均为（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． (1)求抛物线的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； (2)当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 19．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．    (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围． 20．（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 地 城 考点04 营销问题 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）中秋节期间某超市销售一款进价为20元/盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量y（单位：盒）与销售单价x（单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是w元． (1)求w与x之间的函数关系． (2)当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出，若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最高，最高为多少元？ 24．（24-25九年级上·河北张家口·期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 25．（23-24九年级上·河北唐山·期中）某工厂生产的一种产品按质量分为10个档次．若生产第一档次（最低档）的产品，则一天可以生产76件，每件的利润为10元．每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设生产的产品质量的档次（每天只生产一个档次的产品）为x时，一天的利润为y元． (1)用含x的代数式分别表示出每件产品的利润及每天生产的件数． (2)若生产该产品一天的总利润为1080元，则该工厂生产的是第几档次的产品？ 26．（23-24九年级上·河北邢台·期中）近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔、在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（）满足函数关系．专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩． (1)设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式； (2)嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1700元．”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 27．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 (1)求y与x的函数解析式； (2)已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式；     ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 地 城 考点05 其它问题 28．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 29．（23-24九年级上·河北沧州·期中）中国国家跳水队是中国体育王牌中的王牌，被称为“中国跳水梦之队”．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2m，跳板距水面的高为3m，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到距水面最大高度km．现以为横轴，为纵轴建立平面直角坐标系． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） ②求运动员落水点与点C的距离． (2)已知，，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求符合条件的k的整数值． 30．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米， ①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部； ②绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？ 31．（24-25九年级上·河北邢台·期中）超市每天购进一批成本价为元的某品牌大米，以不低于成本价且不超过元/的价格销售．当售价为元/时，每天售出大米；当售价为元/时，每天售出大米．通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量（）与售价（元/） 满足一次函数关系． (1)求出与的函数关系式（不必写的取值范围）； (2)设每天销售该品牌大米可获得的利润为元． ①要使的值达到元，则该品牌大米的售价应定为多少元/? ②直接写出的最大值． 32．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是从点A射出的光点P的运动轨迹示意图，其运行路线近似抛物线的一部分，光点运行的竖直高度记为，光点运行的水平距离记为，测得如下数据． 水平距离x 0 1 2 3 竖直高度y 2 3 (1)观察表格，抛物线的顶点坐标为 ； (2)求满足条件的抛物线解析式； (3)若斜坡所在直线的解析式为，在斜坡上有一个竖直高度为的障碍物，若使点P能够通过，求出障碍物放置的水平距离的取值范围． 33．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）为提升旅游影响力，我省某地区打造冰雪旅游节，举办单位在园区内设置“雪屋”项目，共提供甲、乙两个区域的雪屋，每个区域的雪屋均为间，每个区域每天雪屋均入住间，甲区域雪屋每间固定价格为元，甲区域雪屋每天全部收入为（单位：元），乙区域雪屋每间价格m（单位：元）与入住房屋数量之间满足，当乙区域房间全部住满时，元，乙区域雪屋每天全部收入为（单位：元）．设乙区域雪屋比甲区域雪屋每天多收入总金额为元． (1)求的值，并直接写出与和与之间的函数关系式． (2)求的最大值． (3)乙区域雪屋推出入住返现活动，每间固定返现金（单位：元），若活动推出后乙区域雪屋每天全部收入比甲区域最多多元，请直接写出的值．（注：） 34．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为，基准点K的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为（d为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为． (1)c的值为 ； (2)若运动员落地点恰好到达K点；且此时，，求基准点K到起跳台的水平距离d； (3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 35．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 36．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）杂技节目“爬杆”的一个基本动作是演员从一根杆子飞跃到另一根杆子上，如图，在地面上每隔2米依次有O，A，B，C，D五点，分别直立着高度为5米的五根木杆．将演员看作点，在某次训练中，演员从O杆上的点处起跳，飞跃落至B杆上的点处，其运动路线为抛物线：的一部分，该演员在B杆向上攀爬到处，并再次跃起，去抓向D杆，运动路线为抛物线的一部分，已知抛物线与的形状相同． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)若抛物线的最高点到x轴的距离为5米，试判断该演员能否抓住D杆？说明理由； (3)若演员从B杆起跳后沿抛物线在空中飞行，下落后能抓住D杆，且飞行的最大高度为米，直接写出演员从点开始向上攀爬的最小距离． 37．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； (2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； (3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 38．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图1，两根相距10米、高3米的立柱垂直立于水平地面上，在之间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，绳子无法绷直．以点B为坐标原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，绳子的形状可近似看成抛物线    (1)绳子最低点与地面的距离为________米； (2)一段时间后，绳子被抽长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段的中点处用一根立柱撑起绳子，使立柱两侧绳子最低点与地面的距离和原来绳子最低点与地面的距离相等，且两侧最低点与立柱的距离都为1米，求立柱的长； (3)如图2，若加在线段之间的立柱的长度是2.4米，并通过调整的位置，使立柱左侧的抛物线的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点与地面的距离与原来的相同，求与的最远距离． 39．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_________； (2)求该拋物线的函数表达式； (3)点是该拋物线上的动点，过点作轴于点，交AC于点，设点的横坐标为． ①当时，则点的坐标是_________； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 40．（24-25九年级下·河北邢台·期中）嘉嘉在练习无人机飞行控制，如图所示，在平面直角坐标系中，无人机从x轴上的点A处起飞，沿直线飞到y轴上的点B处，然后沿抛物线降落，设该抛物线的顶点为点C，与x轴的交点为点D． (1)当L的对称轴为时，求b，c的值，并判断点D是否与点A重合． (2)若L的对称轴交线段于点E．是x轴上一动点，过点P作直线轴交线段于点F、交抛物线L于点G． ①是否存在点P，使四边形为平行四边形．若存在，求n的值；若不存在，请说明理由； ②若点M是直线上位于第一象限内的一点，且，当点M在线段上（不与端点重合）时，请直接写出n的取值范围． 试卷第2页，共53页 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实际问题与二次函数 5大高频考点概览 01图形问题 02拱桥问题 03投球（喷水）问题 04营销问题 05其它问题 地 城 考点01 图形问题 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，的长米，菜园的面积为（单位：平方米）．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（   ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．根据题意求得y和S与x的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判别即可． 【详解】解：由题意可知：， ，则，即，y与x满足一次函数关系 菜园的面积：，S与x满足二次函数的关系 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解应用题，若设矩形小花园边的长为，则，由矩形面积公式代值得到，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答案，熟练掌握求二次函数最值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：若设矩形小花园边的长为，则， ， ， ， ，则抛物线开口向下， 当时，取最大值，为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图所示，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长32米，篱笆长60米．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为平方米． (1)求与，与的关系式（写出的取值范围）； (2)围成的矩形花圃面积能否为432平方米，若能，请求出的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)； (2)围成的矩形花圃面积能为432平方米，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用； （1）根据可求出y与x的关系式；再根据矩形的面积得出与的关系式； （2）根据矩形花圃面积为432平方米得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴与关系式为， 围成的矩形面积为， 由题意得，解得， ∴与关系式为，与的关系式为； （2）解：令，整理得， 解得， ∵， ∴， ∴围成的矩形花圃面积能为432平方米，此时． 4．（23-24九年级上·河北保定·期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过． (1)求出y关于x的函数解析式． (2)当挂图面积为，时，求金色纸边的宽． (3)此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值． 【答案】(1) (2) (3)当cm时，最大值为 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式； （2）当挂图面积为时，即可求得宽； （3）根据二次函数的性质，即可求得最值． 【详解】（1）解：镶金色纸边后风景画的长为cm，宽为cm， ∴ ()． （2）解：当cm时，即， 解得 ∵ ∴ 答：当挂图面积为时，金色纸边的宽为1cm． （3）解：∵二次函数的对称轴为， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当cm时，取最大值，最大值为． 答：金色纸边的宽为cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，掌握二次函数最值是解题的关键． 5．（24-25九年级上·河北唐山·期中）某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整． (1)列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____； (2)上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____； (3)列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 写出_____； (4)画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想． 【答案】(1) (2) (3) (4)图见解析，当时，y有最大值，最大值为4． 【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）由题意，长方形的另一边长为，可得函数解析式； （2）上述函数表达式中，表示长方形的边长，则，由题知，，则，可得自变量的取值范围是； （3）把代入，可得； （4）根据图表可画出函数图象．化成顶点，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为，面积为，则另一边长为， ∴． 故答案为：； （2）解：由题意得，，则， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：； （3）解：时，， 故答案为：； （4）解：函数图象如图所示： 由图象可知矩形面积的最大值应是4． ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为4． 地 城 考点02 拱桥问题 6．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 【答案】22.5 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，由题意，抛物线过点，求出函数解析式，求出顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图： 由题意，得：抛物线过点， 设抛物线的解析式为：，把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值为22.5， ∴这些钢索中最长的一根长为22.5米； 故答案为：22.5 7．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：；． 8．（24-25九年级上·河北保定·期中）中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键． （1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值； （2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长． 【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同， ∴； （2）解：由（1）可知函数解析式为． ∵水面的宽度为， ∴点B的横坐标为． 将代入，得：， ∴桥拱顶点到水面的高度． 9．（22-23九年级上·河北保定·期中）2021年7月，河南遇特大暴雨，河道水位猛涨，多处村县组织居民前往临时安置点．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为（如图所示），从16点开始，水位开始上涨，该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度h随时间t变化的情况大致如下表所示． 时间t（分钟） 10 20 30 40 50 桥下水位上涨的高度h（单位：m） 2 4 6 8 10 (1)求桥下水位上涨的高度关于时间t（分钟）的函数解析式； (2)在17点20分，该拱桥的水面宽为． ①如图，以抛物线形拱桥的对称轴为y轴，以正常水位时桥下的水面与抛物线形拱桥的交线为x轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的解析式； ②有一艘装满物资的小船沿河道向居民的临时安置点行驶，该小船露出水面的部分的高为3米，宽为6米，通过计算判断在19点10分时，该小船能否从该拱桥的桥下通过？ 【答案】(1) (2)①，②能 【分析】（1）根据判断变化符合一次函数的规律，设解析式求解即可． （2）①设抛物线的解析式为，根据题意，抛物线经过点；计算，代入确定h，结合已知水面宽度为80m，确定抛物线经过点，分别代入解析式计算即可． ②先计算，代入确定h，结合小船露出水面的部分的高为3米，宽为6米，确定船的右上角的位置为，计算的函数值，比较函数值与的大小，大于则通过，反之不能． 【详解】（1）该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度h与时间t之间是一次函数，设. 将点代入，得 ， 解得， 所以． （2）①设抛物线的解析式为，根据题意，抛物线经过点； 因为（分钟）， 所以， 因为拱桥的水面宽为， 所以抛物线经过点， 所以， 解得， 所以． ②因为（分钟）， 所以， 因为小船露出水面的部分的高为3米，宽为6米， 所以船的右上角的位置为， 当时，， 所以在19点10分时，该小船能从该拱桥的桥下通过． 【点睛】本题考查了坐标系的建立，抛物线的实际应用，一次函数解析式确定，正确进行函数建模，确定函数的解析式是解题的关键． 10．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）令即可求出点F的坐标，从而求出支柱的长度． （3）令求得y的值，再与3比较大小即可求解． 【详解】（1）根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为： ∵相邻两支柱间的距离均为， 两点都在抛物线上， （2）当时， ∴ （3）由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到A或B的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当时，y的值与3的大小即可判定， 当时， ∴能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． 地 城 考点03 投球（喷水）问题 11．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）在体育训练中嘉淇掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球飞行的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是，则嘉淇此次掷球的初始高度和掷球的成绩（即的长度）分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 分别令，，再解方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） ∴掷球的成绩为， 令，此时， ∴初始高度为， 故选：B． 12．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）①某中学航模组设计并制作了一种火箭模型，已知此火箭模型升空的高度与飞行时间满足函数表达式．则火箭模型发射塔的高度为 ． ②掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，嘉嘉发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米）与飞行的水平距离（米）之间具有函数关系，则嘉嘉这次实心球训练的成绩为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数应用中变量与函数表达式的实际意义，读懂题意，将或代入表达式求解即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：①由题意，当时，； ②由题意，当时，，即，则，解得或（舍去）； 故答案为：①；②． 13．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，以的速度将小球沿与水平地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系． （1）小球飞行的最大高度是 米； （2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了 秒． 【答案】 20 2 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立方程是解决问题的关键． （1）求出抛物线的顶点坐标，即可得到结论； （2）把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴小球飞行的最大高度是米； 故答案为：20； （2）当时，， 整理得， 解得，， （秒）， ∴小球在高于15米（包括15米）的空中保持了2秒． 故答案为：2． 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面． ． (1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能被射进球门 【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ，解得 抛物线的函数表达式为； （2）当时， 球不能被射进球门． 15．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，一名运动员在距离篮圈中心的为（水平距离）远处跳起投篮． 已知篮球运行的路线为抛物线，球出手时离地面的高度为，当球水平运行时到达离地面的最大高度． 若篮圈中心距地面． (1)以地面为x轴，建立平面直角坐标系，使最高点坐标为，在图中补画y轴，求抛物线的解析式； (2)通过计算说明篮球能否投中篮圈中心． 【答案】(1)见解析， (2)不能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意，建立直角坐标系，设二次函数的表达式为：，将点代入解析式，利用待定系数法求出二次函数解析式即可． （2）把代入（1）的函数解析式， 看函数值是否等于即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 设二次函数的表达式为：， 将点代入可得：，解得：， 二次函数的表达式为：， （2）解：由（1）可知， 当时，， 答：篮球不能命中篮圈中心． 16．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)试通过计算判断此球能否过网． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入可得出的值，继而得出抛物线解析式； （2）令，求出的值与比较即可． 本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般． 【详解】（1）解：根据题意设抛物线解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此球能过网，理由： 当时，， ， 此球能过网． 17．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）一固定发球器立在地面上，发球点P距地面，球（看成点）发出后所经过的路径是抛物线的一都分，按如图方式建立平面直角坐标系． (1)若球的运动路径的顶点到出发点P的水平距离为，求： ①球运动路径的函数表达式； ②球在无障碍阻挡的情况下落地，求球落地点的坐标． (2)收球箱是矩形，在发球器的前方，已知点，，，当球从点P发出后，为使球落入收球箱中（不触碰C，D两点），求m的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）①根据题意得，对称轴为直线，据此根据对称轴计算公式结合待定系数法求解即可；②求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）根据题意可得，，求出抛物线经过，时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意得， 当球运动的水平距离为时，球到达顶点， 解得 ； ②当时，． 解得，只取正值， 球落地点的坐标为； （2）解：根据题意知：，， ∵，即， ． 当抛物线过点时，有， 解得； 当抛物线过点时，有，解得． 要使球落入收球箱中，m的取值范围是． 18．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表长．嘉嘉在点处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线的一部分，当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为，其高度为，淇淇恰在点处将球击回．在与点O水平距离处设有一个高为的球网，P，Q为两侧边界，与球网的距离均为（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． (1)求抛物线的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； (2)当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2)①球可以过网，球没有出界；② 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，顶点式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可解题； （2）①由（1）可以得到的解析式，然后令，解出x的值即可解题；②先计算时的自变量的值，然后借助图像写出时自变量的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：依题意，嘉嘉发球时，球在处达到最高点， 设抛物线的解析式为，由经过点， 得，解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 故c的值为1； （2）①由（1）得，故抛物线的解析式为， 当时，， 球可以过网； 当时，， 整理得， 解得（舍去），， 由题意可得， ， 球没有出界； ② 拋物线的解析式为，令，即，解得或（舍去）， 当时，，即嘉嘉会因接球高度不够而失球，故． 19．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．    (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，然后把代入解析式可求C，最后把解析式化为顶点式即可求解；②令，得出，然后解方程即可求解； （2）先根据求出c，然后求出E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 解得， ∴， 由题意知抛物线经过， ∴， ∴ ∴， ∴当时，y有最大值， ∴小球达到的最大高度； ②令，则， 解得，， ∴球落地时的水平距离； （2）解：由题意知抛物线经过， ∴， ∴， 根据题意知，， 当抛物线经过时， 则， 解得， 当抛物线经过时， 则， 解得， ∴要使小球落入筐中，则． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 20．（24-25九年级上·河北张家口·阶段练习）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)8米 (2)不能，见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 地 城 考点04 营销问题 21．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价1元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“每降价1元，每星期可多卖出20本”列方程即可． 【详解】解：设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元， 由题意得：， 故选：B． 22．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）中秋节期间某超市销售一款进价为20元/盒的月饼，市场调查发现，这款月饼每天的销售量y（单位：盒）与销售单价x（单位：元）满足如下关系：．设这款月饼每天的销售利润是w元． (1)求w与x之间的函数关系． (2)当这款月饼的销售单价是多少元时，这款月饼的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当这款月饼的销售单价是30元时，这款月饼的销售利润最大，最大利润是100元 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据销售利润等于销售量乘以单件的利润，列出函数关系，即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ． （2）对称轴，在范围内， ， 当时，取最大值， 此时（元）． 答：当这款月饼的销售单价是30元时，这款月饼的销售利润最大，最大利润是100元． 23．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出，若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最高，最高为多少元？ 【答案】(1)6m (2)当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入最高，最高为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程和函数是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出二次函数解析式并根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为元， 根据题意得，， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为， 答：当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入最高，最高为元． 24．（24-25九年级上·河北张家口·期中）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】(1)； (2)售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意正确列出对应的二次函数关系是解题的关键． （1）设与的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为，根据利润（售价进价）数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的解析式为 把，代入，得 解得：， 设与的解析式为 故答案为：． （2）解：设利润为元，则， 当时，取最大值， 获利不得高于进价的，即售价不得高于（元）， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为128元时，月销售利润达到最大． 25．（23-24九年级上·河北唐山·期中）某工厂生产的一种产品按质量分为10个档次．若生产第一档次（最低档）的产品，则一天可以生产76件，每件的利润为10元．每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设生产的产品质量的档次（每天只生产一个档次的产品）为x时，一天的利润为y元． (1)用含x的代数式分别表示出每件产品的利润及每天生产的件数． (2)若生产该产品一天的总利润为1080元，则该工厂生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1)第x个档次的单件利润为，每天生产的件数为 (2)当生产的产品一天利润为1080元时，该工厂生产的是第五档次的产品 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，利用总利润每件的利润件数列关系式是解题的关键． （1）每件的利润为，生产件数为; （2）依据总利润数量每件的利润，可列出y与x的函数关系式；由题意可令，求出x的实际值即可； 【详解】（1）由题意：第x个档次的单件利润为， 每天生产的件数为； （2）由（1）可得 （其中x为正整数，且）， 整理，得（其中x为正整数，且）； 当利润是1080元时，即 解得， 因为，不符合题意，舍去 因此，取， 答：当生产的产品一天利润为1080元时，该工厂生产的是第五档次的产品． 26．（23-24九年级上·河北邢台·期中）近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔、在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（）满足函数关系．专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩． (1)设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式； (2)嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1700元．”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）根据利润=（售价−成本）×数量，得到关于x的函数关系式； （2）首先将配方成顶点式，然后根据二次函数的性质得到最大值为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）∵， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，w有最大值， ∴该专卖店的月销售的最大利润达不到1700元， ∴嘉嘉的说法不正确． 【点睛】本题考查了销售问题的数量关系在解决实际问题时的运用，二次函数的解析式的运用，解题的关键是根据题意建立函数关系． 27．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 (1)求y与x的函数解析式； (2)已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式；     ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 【答案】(1) (2)40 【分析】本题考查函数的应用，根据题意找到各个量之间的关系，建立正确的函数解析式并把问题转化成对应的数学模型再准确计算是正确解决本题的关键． （1）根据题意可设材料费用为，制造费用为，则，把，代入解析式中，建立方程组求解即可； （2）①根据等量关系：利润售价生产成本，可知，把和代入化简即可；②把与的函数解析式配方得：，根据二次函数的性质可知，求解可得，结合代入中即可． 【详解】（1）解：依题意，设材料费用为，制造费用为， 则：， 根据题意可知，，满足解析式， 代入可得：， 解得：， 与的函数解析式为：； （2）解：① 综上所述，与的函数解析式为：； ②， 配方得：， 当生产吨数是吨时，利润最大， 即当时，有最大值， ， 解得， 此时． 地 城 考点05 其它问题 28．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】，能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， （1）根据题意代点求出值， （2）根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能 29．（23-24九年级上·河北沧州·期中）中国国家跳水队是中国体育王牌中的王牌，被称为“中国跳水梦之队”．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2m，跳板距水面的高为3m，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1m时达到距水面最大高度km．现以为横轴，为纵轴建立平面直角坐标系． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式；（不必写x的取值范围） ②求运动员落水点与点C的距离． (2)已知，，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求符合条件的k的整数值． 【答案】(1)①；②运动员落水点与点C的距离为5m (2)k的整数值为4，5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式； （1）①根据抛物线顶点坐标，可设抛物线解析为：，将点代入可得；②在①中函数解析式中令，求出即可； （2）若跳水运动员在区域内（含点，入水达到训练要求，则在函数中当，，当时，解不等式后，取整数值即可． 【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为． ②令，得， 解得，， ∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右侧，， ∴运动员落水点的坐标为， ∵点C为原点， ∴运动员落水点与点C的距离为5m． （2）解：设抛物线的解析式为， 把，代入可得， 整理得， 则， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， ∴， ∴k的整数值为4，5． 30．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米， ①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部； ②绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？ 【答案】(1) (2)①不能；②3米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解打式、二次函数图象平移及二次函数图象上点的坐标牲是解题的关键． （1）题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解； （2）①把代入，求出此时y值与3.75比较，若则能，否则不能． ②设抛物线向后平移了米，用（1）中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米， 则可设水流形成的抛物线为， 将点代入可得， 抛物线， （2）解：①不能；理由： 把代入，得 ， ∵， ∴水流不能刚好喷射到小树的顶部； ②设喷射架向左水平平移了m米， 则平移后的抛物线可表示为， ∵斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米， ∴点， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 喷射架应向左水平移动3米． 31．（24-25九年级上·河北邢台·期中）超市每天购进一批成本价为元的某品牌大米，以不低于成本价且不超过元/的价格销售．当售价为元/时，每天售出大米；当售价为元/时，每天售出大米．通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量（）与售价（元/） 满足一次函数关系． (1)求出与的函数关系式（不必写的取值范围）； (2)设每天销售该品牌大米可获得的利润为元． ①要使的值达到元，则该品牌大米的售价应定为多少元/? ②直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)①元/；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）①求出与之间的函数关系式，再把代入计算即可求解；②利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得， 与的函数关系式为； （2）①由题意得，， 当时，即， 解得，， 该品牌大米的售价不低于成本价元/且不超过元/， ∴， 要使的值达到元，则该品牌大米的售价应定为元/； ②∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 32．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图是从点A射出的光点P的运动轨迹示意图，其运行路线近似抛物线的一部分，光点运行的竖直高度记为，光点运行的水平距离记为，测得如下数据． 水平距离x 0 1 2 3 竖直高度y 2 3 (1)观察表格，抛物线的顶点坐标为 ； (2)求满足条件的抛物线解析式； (3)若斜坡所在直线的解析式为，在斜坡上有一个竖直高度为的障碍物，若使点P能够通过，求出障碍物放置的水平距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数图象的对称性可得对称轴以及抛物线的顶点坐标； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）设障碍物的最高点坐标为，要使点P能够通过障碍物，则需要障碍物的最高点在抛物线的下方，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得：， 抛物线解析式为； （3）∵在斜坡上有一个竖直高度为的障碍物，斜坡所在直线的解析式为， ∴设障碍物的最高点坐标为， 要使点P能够通过障碍物，则需要障碍物的最高点在抛物线的下方， 即，即， 先解方程， 得到， ∴的在第一象限的解为， 故障碍物放置的水平距离的取值范围为． 33．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）为提升旅游影响力，我省某地区打造冰雪旅游节，举办单位在园区内设置“雪屋”项目，共提供甲、乙两个区域的雪屋，每个区域的雪屋均为间，每个区域每天雪屋均入住间，甲区域雪屋每间固定价格为元，甲区域雪屋每天全部收入为（单位：元），乙区域雪屋每间价格m（单位：元）与入住房屋数量之间满足，当乙区域房间全部住满时，元，乙区域雪屋每天全部收入为（单位：元）．设乙区域雪屋比甲区域雪屋每天多收入总金额为元． (1)求的值，并直接写出与和与之间的函数关系式． (2)求的最大值． (3)乙区域雪屋推出入住返现活动，每间固定返现金（单位：元），若活动推出后乙区域雪屋每天全部收入比甲区域最多多元，请直接写出的值．（注：） 【答案】(1)，， (2)元 (3) 【分析】（）把，代入可求出，再根据题意求出函数关系式即可； （）求出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴， 解得， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ， ∴当时，取最大，最大值为， 答：的最大值为元； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，最大，最大值为， 的最大值为元， ， 解得，（不合，舍去）， 的值为． 34．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．某次比赛某跳台滑雪台的起跳台的高度为，基准点K的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为（d为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为． (1)c的值为 ； (2)若运动员落地点恰好到达K点；且此时，，求基准点K到起跳台的水平距离d； (3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】(1) (2)基准点K的水平距离d为 (3)他的落地点能超过K点，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． （1）根据起跳台的高度OA为，即可得； （2）由，，知，根据基准点K的高度为，即得基准点K到起跳台的水平距离d； （3）由题意设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过K点． 【详解】（1）解：∵起跳台的高度为， ∴， 把代入得： ， 故答案为：60； （2）解：∵，， ∴， ∵基准点K的高度为， ∴， 解得：，舍去 ∴基准点K的水平距离d为； （3）解：他的落地点能超过K点，理由如下： ∵运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴他的落地点能超过K点． 35．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 36．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）杂技节目“爬杆”的一个基本动作是演员从一根杆子飞跃到另一根杆子上，如图，在地面上每隔2米依次有O，A，B，C，D五点，分别直立着高度为5米的五根木杆．将演员看作点，在某次训练中，演员从O杆上的点处起跳，飞跃落至B杆上的点处，其运动路线为抛物线：的一部分，该演员在B杆向上攀爬到处，并再次跃起，去抓向D杆，运动路线为抛物线的一部分，已知抛物线与的形状相同． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)若抛物线的最高点到x轴的距离为5米，试判断该演员能否抓住D杆？说明理由； (3)若演员从B杆起跳后沿抛物线在空中飞行，下落后能抓住D杆，且飞行的最大高度为米，直接写出演员从点开始向上攀爬的最小距离． 【答案】(1)；； (2)该演员不能抓住D杆，理由见解析； (3)米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）根据两个抛物线的形状相同，得到相同，设，待定系数法求出解析式，再求出时的函数值进行求解即可； （3）设，将代入解析式求出的，进而求出函数值，减去点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式，得： ，解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； （2）∵抛物线与的形状相同， ∴设， 把代入解析式，得：， 解得：（舍去）； ∴， 当时，， ∴不能抓住点； （3）由题意，设， 当时，，解得：或（舍去）， ∴， 当时，； ∵， ∴演员从点开始向上攀爬的最小距离为米． 37．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； (2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； (3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】(1)y关于x的关系式为 (2)动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 (3)①运动员甲不能成功完成此动作；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； （2）解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； （3）解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 38．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图1，两根相距10米、高3米的立柱垂直立于水平地面上，在之间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，绳子无法绷直．以点B为坐标原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，绳子的形状可近似看成抛物线    (1)绳子最低点与地面的距离为________米； (2)一段时间后，绳子被抽长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段的中点处用一根立柱撑起绳子，使立柱两侧绳子最低点与地面的距离和原来绳子最低点与地面的距离相等，且两侧最低点与立柱的距离都为1米，求立柱的长； (3)如图2，若加在线段之间的立柱的长度是2.4米，并通过调整的位置，使立柱左侧的抛物线的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点与地面的距离与原来的相同，求与的最远距离． 【答案】(1)2 (2)米 (3)与的最远距离为米 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，理解两个抛物线开口大小相同即是二次项系数相同以及正确表示出函数解析式是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （2）利用待定系数法求得左侧抛物线的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线， 故可设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上，∴，解得， ∴绳子最低点与地面的距离为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知，立柱两侧抛物线的形状相同． 设左侧抛物线的解析式为， 把的坐标代入解析式，得， 解得 ∴． 当时，， ∴米； （3）解：∵抛物线的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点与地面的距离与原来的相同 ， ∴设抛物线的解析式为， 把的坐标代入解析式，得， 解得 (舍去)，， ∴抛物线的解析式为， ∵，∴当时，， 解得，， ∴与的最远距离为米． 39．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_________； (2)求该拋物线的函数表达式； (3)点是该拋物线上的动点，过点作轴于点，交AC于点，设点的横坐标为． ①当时，则点的坐标是_________； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①；②；最大值． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）对于函数，令和分别求出点A和C的坐标即可； （2）设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解； （3）设则求出长，然后根据列方程，并解方程即可； ②根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可． 【详解】（1）解：对于函数，当时，； 当时，，解得， ∴直线与轴，轴的交点坐标分别为， 故答案为： （2）∵抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入, 得: 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为, 即； （3）①设则 ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； 故答案为： ②， ， ∴当时, 有最大值． 40．（24-25九年级下·河北邢台·期中）嘉嘉在练习无人机飞行控制，如图所示，在平面直角坐标系中，无人机从x轴上的点A处起飞，沿直线飞到y轴上的点B处，然后沿抛物线降落，设该抛物线的顶点为点C，与x轴的交点为点D． (1)当L的对称轴为时，求b，c的值，并判断点D是否与点A重合． (2)若L的对称轴交线段于点E．是x轴上一动点，过点P作直线轴交线段于点F、交抛物线L于点G． ①是否存在点P，使四边形为平行四边形．若存在，求n的值；若不存在，请说明理由； ②若点M是直线上位于第一象限内的一点，且，当点M在线段上（不与端点重合）时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，，点D不与点A重合 (2)①  ② 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）求出点，的坐标，设抛物线的解析式为，然后求出值即可得到解析式，然后计算当时的函数值判断解题即可； （2）①先求出抛物线的解析式，得到顶点C的坐标，然后根据平行四边形的性质求直线的解析式，然后联立解方程组即可解题； ②根据点的坐标得到点的坐标为，点G的坐标为，然后根据M的位置得到不等式组求出n的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，，解得， ∴点A的坐标为，B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，， 当时，， ∴点D不与点A重合； （2）解：①∵是平行四边形， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴， ∴顶点C坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴； ②∵点P的坐标为， ∴点的坐标为，点G的坐标为， ∵点M在线段上， ∴， 解得． 试卷第2页，共53页 10 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $